网球运动的物理学

如同针对其他运动一样，研究并应用网球运动中简单和复杂的物理现象是很有趣的。例如惯性矩、弹性碰撞和动量等概念，都是在一场比赛中的固定部份。网球运动员所需的技术准备也考虑了物理学，多亏了击球点/冲击点(point of impact)、平衡、惯性和质量等物理学概念，多数的训练技巧都是以此为基础的。

网球拍

在使用工具来击球的运动中，网球拍(参见图1)通常比网球重六倍，而且只有网球选手手臂重量的六分之一。一个网球重57公克(g)，一只手臂的重量大约有2公斤(Kg)重，一支网球拍的理想重量约为340g。

这些数字关系的理由是什么呢？网球拍的重量会减缓手臂的速度，尤其是当球拍的重量超过这个比例的时候。当球拍击球时，球的速度也与球拍的重量有关。在相同的速度下，网球被较重的球拍击出时的球速较快。但是，如果球拍的重量增加太多，球拍击出的速度会降低且击球的效果也没那么好。这使得一个500g的球拍能够产生相当于600g球拍的击球效果。

此外，比起100g的球拍，一支200g的球拍能够产生2倍的击球效果，但是100g的球拍没有办法达到2倍于200g球拍的移动速度。因此，网球拍的理想重量大约是340g。网球和球拍、球拍和手臂之间的(重量)比例能够维持在1/6才是最佳状态。

图1：网球拍被视为手臂的自然延伸。

考虑到网球拍和网球之间的撞击，当这两个对象碰撞在一起时，他们会产生一个改变其运动状态的力量。根据以下的公式，改变一个物体运动状态所需要的力量，不论是加速或减速的力量，都与它的质量有关：

其中：

‘F’是改变运动状态的力量；

‘m’是质量；

‘a’是加速度。

对于一个质量更高2倍的物体，你需要2倍的力量来对此物体进行加速或减速。

两个移动物体之间的碰撞，决定了一定量的动能释放，这是根据它们的质量和速度(动能等于质量的一半乘以速度的平方)来决定的。由于网球和球拍上的网线都是弹性材料，在撞击的时候能够保留一定的动能，并将其转换成弹性能量，然后在撞击的时候传回到这些物体上。一部分累积的潜在弹性位能会无可避免地消耗掉，并且由于摩擦而转换成震动和热能；在网球和网线的撞击案例中，网球大约会损失45%弹性能量。这样的损失是网球规则中所要求的，可以防止网球跑太快和变得太危险。一般而言，没有完美的球拍，但是球员最终选择上场比赛时所使用的球拍型号之前，都会尝试过好几种不同的球拍。

网球球员的动作

现在，为了改进自身的表现，网球运动员们也会研究任何动作的差异行为。在训练员的协助下，球员透过运动学和动态分析，研究作用在身体上的力量及其与运动之间的关系。在网球运动中，最常被研究的姿势是发球，因为它是透过一连串精准的移动所产生的击球动作，而不需要依赖对手或比赛过程中其他成员的参与(参见图2)。发球是非常重要的一击，因为它不仅开启了一场比赛，也提供了立即得分的可能性。然而，它也是一个双面刃，因为两次错误的发球，球员就会因为双重失误而失分。击球的威力与腿部的推力、身体躯干的旋转、肩膀的活动和手臂围绕着它旋转有关，同时也必须考虑到球拍的位置及其与旋转轴的的变动距离。

根据以下的公式：

由此公式可知，与旋转轴的距离越远，身体的惯性就越大。

图2：网球发球的动作很可能让你立即得分。

牛顿运动定律主宰网球比赛

物理和数学是所有运动赛事的基础。在一场网球竞赛中，可以不断地观察到牛顿(Newton)的三大运动定律：

惯性的原理指出，一个物体(身体)会维持其静止状态或是一致的直线动作，直到有外部力量介入或是其状态发生变化。

力学的第二定律指出，作用在一个物体上的力量决定了其加速度，这个加速度与该力量的强度成正比，而与该物体的质量成反比。

作用力与反作用力的原理指出，如果一个力量作用在一个物体上，就会有相等且反向的力量(反作用力)作用在另一个物体上。

冲击之后的球速

与球拍上的网线撞击之后的球速，可由下列公式算出：

其中：

v_inp是来球的速度；

V_r是球拍头在击球点上的速度；

A则是显著的回弹系数。

当网线张力(string tension)是280N时，显著的回复系数大约是0.4。如果网线张力减少到224N，显著的回复系数会增加7%，成为0.433。这么一来就会增加3%的球速。在实务上，球拍产生230N的网线张力，产生的错误较少，而具备180N网线张力的球拍则容易造成更多错误。

甜蜜点

“甜蜜点”(sweet spot)是指在击球时，被网球在网在线所挤压出的一个点。这是你在线床上所拥有的最佳回弹位置。一支网球拍有两个甜蜜点，如果网球击中这两个区域当中的一个，从球拍框传到手臂的力量会非常小，而且球员也不会察觉到震动。这些甜蜜点会对网球框上的网线造成一定的震动，大约是100Hz (弹性的网球拍框)和大约185Hz (刚性的网球拍框)。网球在球拍框上的冲击相当短暂，只有5毫秒(ms)。甜蜜点的位置并不会和网球接收到的最大推力点相同。

一个较具弹性(而不那么刚硬)的网球拍能够产生较少的震动，更柔软且对关节的伤害更小。更进一步来说，网球拍的震动频率取决于网球拍框的刚性(参见图3)。刚性的网球拍振动频率大约为180Hz或更高的频率，而弹性的网球拍振动频率则在140Hz或更低频率。

还有另外一个临界点，即“哑点”(dead spot)，能量在这个地方不会完整地从网球拍回传到球上，因为在这个点上，网球拍的实际质量是和球的质量相同。不同的点会在不同的位置上，对每个类型的球拍而言，这些点的位置都是不同的。增加球拍的重量会降低或提高这些点的位置。人们或许会认为一个球拍最佳的击球点是在球拍的中心，但事实并非如此。

很明显地，为了防止球拍握把在手中旋转，撞击点必须发生在从手把位置延伸的垂直轴上。在网线的正中央，对手臂回弹的力量最小，许多的力量会因为发生在手腕上所产生的震动而消失。最轻微的振动发生在击球点出现在网线中央的上方；另一方面，当击球点在网线中央的下方，则会产生最大的力量。

图3：不同的撞击点产生不同的振动。

网球拍：手臂的自然延伸

网球的每个动作都涉及了手臂、手和网球拍之间的紧密联系。网球拍可以视为是我们手臂的自然延伸；它是一个需要有意识且精准地加以管理的工具，就好像它是人体的一部份。为了展现一个正确的动作，时间、空间和加速度都必须完美地相关。换句话说，必须计算出到达最佳击球点的正确距离。为此，就必须在手臂和网球的活动中创造足够的空间，以取得最佳的击球和完美的击球时机。在这个时空背景之下，我们尝试让球拍在所创造的空间中移动，以提供最佳的加速度，让最大的能量能够传送到球上。击球时机涵盖了所有的活动，是一个包含了时间、空间和加速度的正确结合。手臂和球拍的动作要能够在一个特定的空间中快速地移动，而且能够跟随从上到下的椭圆形轨迹。这个动作也会受到重力的影响，网球运动员必须将这个力量与其肢体所产生的力量相结合，以产生最大的能量。网球拍的动作伴随着加速度，并在达到最大负荷时准备击球。由于重力的影响，让网球拍能够从上到下移动，网球运动员不能突然停止这个动作，否则会让所有产生的能量归零。

挥拍重量

挥拍重量(swingweight)是球拍的惯性矩，可被定义为「相对于轴线的旋转阻力」。旋转身体的惯性矩是从旋转轴到正方形的距离中所有质量点的总和(参见图4)。我们用一个例子来解释这个概念。假设我们有两支网球拍：

第一支球拍重340g，其中心有一个10g的砝码；

第二支球拍重340g，两端各有1个5g的砝码。

因此，这两支球拍的重量都是350g，都有相同的平衡点，但是第二支球拍感觉更重些。第二支球拍在一开始旋转时有些困难，但是一旦开始旋转了，速度会比较快，即使它看起来比较重些。这个原理被称为“挥拍重量”或“惯性矩”，而且很大程度上影响到一支球拍的操作。挥杆重量的数值越大，球拍似乎就越重且越难被操控，但是它能够转移更多的力量和速度到网球上。因为这个原因，球员的四肢必须要有更强健的肌肉组织。它的计算公式如下：

其中：

m：增加在网球拍上的质量；

d：从球拍框底部到增加重量之处的距离；

这个结果会增加初始的挥拍重量(SW)。如果把重量加到手把上，SW不会增加，只会改变球拍的整体重量和操控性。

图4：挥拍重量的概念。

 上旋球

“上旋球”(topspin)是网球比赛中最重要的击球方式之一。这个动作包含手腕快速的转动和从下往上的击球。你需要透过球拍让球产生旋转的动作，以启动流体力学中的“马格纳斯效应”(Magnus Effect；如同足球一样)，以便让网球能够在流体(空气)中快速地旋转。在流体中一个旋转的物体会立即拖着与它接触的流体层，之后再拖曳其他流体层，形成许多围绕着不同同心圆旋转的流体层。根据旋转速度的不同，球的平移效果也有所不同。

球场的类型

比赛的场地可能有不同的表面型态。草地、黏土和混凝土各自产生不同的比赛结果。在物理层面上，球的行为是不同的，根据回弹理论所提供的第一特征指出，一个球体的物理系统是受到由球拍撞击(vx1)所产生的水平速度和由于重力影响所产生的垂直速度(vy1)所决定的，如图5所示。在球体表面受到撞击之后，针对一个确定的入射角，这两个速度会降低(vx2和vy2)，网球则短暂变形并升温，同时也会根据所回弹的表面不同而损失部份的能量。

图5：网球在地面上的弹跳。

在网球落下的几分之一秒内，也会开始在球场上滑动，覆盖一小段距离(D)，而该距离的长短取决于球场表面的摩擦力。在此转换阶段，球会恢复旋转运动，然后上升以准备下一个反弹动作。当然，不论是不是上旋球，这个反弹都是不同的。图6显示在一个黏土球场(红色图)和草地球场(绿色图)的击球模拟。第一张图显示没有上旋球的击球，第二张图则显示采取上弦球的击球动作。在没有上旋球的击球时，以130km/hr的速度抛球，到达底线的速度会比原来的速度少14%。如果是每分钟400转(400RPM)的上旋球，则网球到达底线(和之后的回弹)都是相同的速度和相同的时间。这其中唯一的差别在于50公分的高度差，较有利于黏土球场。

图6：网球在黏土球场和草地球场上的不同反弹型态。

在强力的旋转球状况下，当网球与球场表面撞击的瞬间，球顶端的切线速度会比整个水平速度来的大。在撞击期间，较上方的切线速度会降低到和水平速度一样，然后球会开始旋转，在受到表面摩擦力的效应之后，再次启动(向上弹)。地形可能使得平击球比旋转球慢得多。

结论

网球是一种随时都会应用到物理和数学概念的运动。地形和击球的差异会让比赛变得难易预测，而网球运动员必须彻底地研究这些概念才能取得胜利。坚硬的场地会减慢平击球的速度，但提高旋转击球的速度。整个比赛几乎变成是运动员之间的个人事务。大气条件也会影响击球：湿度、温度和气压都是必须考虑的因素。但有一件事是可以确定的：以最大速度丢出去的网球具有极大的动能，足以对人们造成致命伤害。

(参考原文：Physics in Tennis，by Giovanni Di Maria)

本文同步刊登于EDN Taiwan 2021年10月刊杂志