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信号处理从最早的时域统计到Fourier变换的频域分析，是人们认识信号本质的一次巨大飞跃，信号分析的角度从时域转变到频域。傅里叶真正得到广泛应用是在fft算法的出现后，关于Fourier变换理论，课程介绍的太多了，就不一一介绍了。

信号的傅里叶分析图

下面，说说傅里叶变换的缺点，考虑下面一个信号s(t)：

信号s(t)，初始频率较高，中间频率较低，Fourier变换中包含了这些信息，但是却无法指示高频、低频发生的时间。Fourier变换作为一个全局变换，天然的少了另一个维度（时域），如果将时间域信号比作一个平面中的物体的话，那么频域信号也同样是一个平面中的物体，只是给我们换了一个角度而已，而人们总是希望能对三维世界的物体更具有直观了解。信号也一样，工程人员总是想知道信号有哪些频率，且这些频率在何时产生，而这个需求就给分析方法提出了一个要求，必须多一个维度，也就是给出信号的时频域信息。

需求促成技术的突破。这时短时傅里叶变换 (SIFT) 便出现了，这个信号分析带来了时频分析的概念，而其优点是同时给了我们时间和频率的信息。其方法的形象化的描述就是“把整个时域过程分解成无数个等长的小过程，每个小过程近似平稳，再做Fourier变换，就知道在哪个时间点上出现了什么频率了。”这就是短时傅里叶变换。时域上分成一段一段做FFT，不就知道频率成分随着时间的变化情况了吗！用这样的方法，可以得到一个信号的时频图了。

下面信号s(t) 被分解为4个时间段，其分别对应的fft结果如下。这样，我们可以知道在每段时间信号的频率信息。

短时Fourier变换选Gauss窗函数一般被称为Gabor变换。选高斯窗的原因在于：

• Gauss函数的Fourier变换仍是高斯函数，这使得Fourier逆变换也用窗函数局部化了，同时体现了频率域的局部化；

  
  

• 根据Heisenberg测不准原理，Gauss函数窗口面积已达到测不准原理下界，是时域窗口面积达到最小的函数，即Gabor变换是最优的STFT。

数学上的描述是将Fourier变换的核函数修改了一下，Gabor变换的基函数为

Gabor变换的定义为

Gabor变换是两个变量t 和ω 的函数，即它是一种时频变换。g(τ−t) 函数充当时间滤波器，用于在特定的时间窗口上定位信号。对参数进行积分τ 滑动时间滤波窗口下的整个信号，以便在每一时刻提取频率信息。

但由于一旦窗口函数选定后，时频窗口的形状便保持不变，割断了频率与窗口宽度的内在联系，Gabor变换实质是具有单一分辨率的分析。

举个例子，构建三种Gauss窗函数：

利用一种窗函数对信号s(t) 进行STFT变换提取局部频域信息和时域信息。

再看看不同形状窗口下的时频分析图：

左上图有较好的时间分辨率但却损失了频率分辨率，右下图在频域上有很好的分辨率，但无法在时间上准确的定位信号。

因此，Gabor变换在一定程度上解决了局部分析的问题，但对于突变信号和非平稳信号仍难以得到满意的结果，即Gabor变换仍存在着较严重的缺陷。

• Gabor变换的时频窗口大小、形状不变，只有位置变化，而实际应用中常常希望时频窗口的大小、形状要随频率的变化而变化，因为信号的频率与周期成反比，对高频部分希望能给出相对较窄的时间窗口，以提高分辨率，在低频部分则希望能给出相对较宽的时间窗口，以保证信息的完整性，总之是希望能给出能够调节的时频窗；

  
  

• Gabor变换基函数不能成为正交系，因此为了不丢失信息，在信号分析或数值计算时必须采用非正交的冗余基，这就增加了不必要的计算量和存储量。

为了解决这些问题，小波变换诞生了。小波直接把Fourier变换的基给换了——将无限长的三角函数基换成了有限长的会衰减的小波基。这样不仅能够获取频率，还可以定位到时间了。小波将时频分析推向了研究高潮，这一时期小波理论不断发展，出现了许多小波，db系列小波，coif系列小波等等。可以看出来，小波研究都是基于小波基函数的研究，它不像傅里叶变换一样，基是固定的，而小波基函数有很多形式。这种灵活性给了小波广泛的运用优势。

在STFT基础上，不妨假设窗函数具有抽象的形式

它是ψ(t) 经平移和放缩的结果。引入形如ψa,b(t) 的窗函数，在a 自动改变的情况下，它能够对低频和高频信号起到自适应的短时分析效果。

因此可以定义连续小波变换 (CWT)

小波满足条件

不像Fourier变换用sin、cos函数来表示信号，而是利用有限长的会衰减的小波基来表示信号。第一个构造的小波是Haar小波。

从上图可以看出，在定位信号方面，haar小波比Fourier变换更有效，然而在频域却有较差的定位性能，因为它在sinc函数一样衰减，这也是Heinsenberg不确定原理导致的。然后改变母小波基的a、b参数，可实现对整个信号的时频分析。

这张图反映了四种方法的特点：

• 时序分析在时域内实现了好的分辨率，但没有频率信息；

  
  

• 在傅里叶变换中，频域被很好的解决但损失了时域信息；

  
  

• Gabor变换在时频域内都有一定的分辨率，每一小格的面积却固定；

  
  

• 小波变换拥有多分辨率的能力，开始于较大的频域窗口，不断改变时频窗的大小，直到达到期望的时频分辨率。

相应的小波变换称为离散小波变换。

ψm,n(ω)的频窗中心为ω*；ψm,n(ω)的频窗半径为Δω。

经过ψm,n(t)作用的小波变换实际上把信号f(t) 的频率范围限制在[ω*-Δω，ω*+Δω]自频带内，小波变换的结果是这个频带内的时域分量。

小波变换不像Fourier变换那样把时域信号变视为若干个精确的频率分量之和，而是将其变视为若干描述子频带的时域分量之和。

考虑两个问题：

• 一是如何将时域信号分解为代表子频段特点的时域分量之和，这些时域分量正是小波变换所确定的。

  
  

• 二是如何确定构造小波函数的统一方法。

数学上把能量有限的信号（函数）的集合记为L²(R)，L²(R) 是一个无穷维的函数线性空间，空间中有无穷个线性无关的向量，{Φ(t)}1^inf(t) 构成L²(R)的基函数族。更进一步考虑基函数族的正交性。正交性非常重要，像Fourier展开中计算系数。

同样， L²(R)空间中也有子空间的概念。设Wm和Wn是L²(R) 的两个子空间，若对任意的f(t)∈Wm，g(t) ∈Wn，f(t) 与g(t) 正交，则称Wm和Wn是正交子空间。

设Vj ⊂ L²(R)，Wj ⊂ L²(R)，Vj +1 ⊂ L²(R)，若Vj +1= Vj + Wj ，则称Wj 是Vj 在Vj +1中的补子空间，若Wj 和Vj 还是正交的，则称为正交补空间。

多分辨率分析 (MRA) 是理解和构造小波的统一框架，比较复杂，它将一个函数表示为一个低频成分与不同分辨率下的高频成分。

说一下一些重要的结论，MRA确定了L²(R)的子空间直和分解关系。

任意一个信号f(t)∈L²(R) 的频率被分割成若干互不重叠的子频带的直和，也就是说f(t) 在多分辨率分析的框架下被分解为若干表示子频带的分量W ^j(t) 的直和。

同时还有小波变换的快速算法，Mallat塔式算法

想了解更多可参考小波分析的相关书籍。

最后利用MATLAB的Wavelet Analyzer进行信号的小波分析的实例。

然而，工程运用中信号千变万化，小波基选择始终是摆在分析人员面前的问题， 后小波时代崛起了一批数据驱动的非线性非平稳信号处理方法，这些方法的提出就是摆脱小波基选择困难，测不准原理限制的问题，这类方法典型代表就是EMD，EMD方法根据信号自身特点不断分离开来，噪声和有用信号按照不同频带划分分离开，但是EMD方法本身存在诸多问题，其数学基础问题依然存疑。

EMD的关键是它能使复杂信号分解为有限个本征模函数 (IMF)，所分解出来的各IMF分量包含了原信号的不同时间尺度的局部特征信号。

EMD分解方法是基于以下假设条件：

• 数据至少有两个极值，一个最大值和一个最小值；

  
  

• 数据的局部时域特性是由极值点间的时间尺度唯一确定；

  
  

• 如果数据没有极值点但有拐点，则可以通过对数据微分一次或多次求得极值，然后再通过积分来获得分解结果。

IMF的分解过程：

• 找出原始数据序列的X(t) 的所有极大值点并用三次样条差值函数拟合形成原数据的上包络线，同时找出所有极小值点，并将所有极小值点通过三次样条插值函数拟合形成数据的下包络线，上包络线和下包络线的均值极为ml。

  
  

• 将X(t) 减去该平均包络ml，得到新的数据序列h，如果h 还存在负的局部极大值和正的局部极小值，说明这不是一个本征模函数，需要继续筛选，即识别h 的极大值和极小值并重复以上所有步骤，指导满足某个给定的标准。

  
  

• 如果成功完成筛选过程，则我们完成对第一个IMF的提取。需要从原始数据减去提取的IMF并再一次重复上述过程，并获得下一个IMF，直到提取完所有IMF为止。

下面直接拿网上的图作为示例：

EMD依据数据自身的时间尺度特征来进行信号分解，即局部平稳化，而无须预先设定任何基函数。这一点与建立在先验性假设的谐波基函数（或基频）和小波基函数上的Fourier分解与小波分解方法具有本质性的差别。目前，拿EMD做金融数据分析的现在也比较多。

接下来信号处理来到了compressed sening的时代。

总之，信号处理的整体趋势是要让信号根据自己特点分开而不是人为的选择基函数对其进行分解，一切应该是自适应才是最好的。

来源：材料机器学习微信公众号，作者：一棵树

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