信号分析基础 | 时域和频域

面包板社区 2021-09-28 20:00

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在分析信号解决问题时，模态域、时域和频域是可以互换的，可以将信号进行域之间的转化，这其中的好处是：在时域视角难以解决的问题，转换成频域或模态域后通常可以变得非常清晰。之前我们了解了模态域（信号分析基础 | 信号表达方式——模态域），今天来聊一聊时域和频域。

时域

在时域中观察信号是一种最传统的方法。时域是指对系统中某个参数随时间变化的记录。如下图中的一个简单的弹簧质量系统，在该系统中，我们将笔连接到质量块上，使得弹簧在振动时，笔可以在纸上画出痕迹，同时以恒定的速度拉动纸片，最终得到的结果是质量块相对于时间的位移的记录。

一般很少会使用这种直接记录时域信息的方法，使用传感器将目标参数转换为电信号更为常用，如麦克风、加速度计、压力探头等。

系统中的电信号可以记录在专用的记录仪中，如下图所示。这时我们可以调整系统的增益，从而对测量进行校准。同时，也可以精确再现上图中的简单直接的记录结果。

那我们就会想，为什么要使用这种间接方法？原因有二：

我们并不总是测量位移；
通常就算是需要测量位移，也是通过间接的方式，就拿上述案例举例，弹簧必须足够硬，质量块必须足够重，那样笔才不会影响被测对象，因此我们需要将测量过程对被测系统的影响降到最低，所有使用另外一套系统进行放大处理。

这里，我们看到用笔把时域信号记录下来，是一种比较古老的方式，应用有限。当物理量变化很快时，驱动笔的系统就很难将每一帧的数据记录下来了，这时候就要用到示波器，一个可以直接将物理量的电压显示出来的设备，如下图所示。

黄色和蓝色曲线分别代表两个信号随时间变化的曲线，这就是信号的时域表现形式。横轴为时间，纵轴为幅值，这里的幅值单位是电压。

频域

一百年前的傅里叶男爵 (Baron Jean Baptiste Fourier) 证明，现实世界中的任何波形都可以通过多个正弦波的叠加来产生。就下图中的案例来说，这是由两个正弦波组成的简单波形。通过正确选择正弦波的幅度、频率和相位，就可以生成任何信号。

但是在现实世界中却恰恰相反，我们可以将真实的信号分解为多个正弦波的组合。同时，正弦波的这种组合是独特的，任何真实的信号都只能由一种正弦波的组合表示。

下图a是上述正弦波叠加的三维图。同时域中一样，时间和幅度是我们熟悉的，第三个轴是频率，这让我们能够在视觉上分离正弦波。如果我们以时间为x 轴，幅度为y 轴查看此三维图，则可以看到图b中的结果，这就是我们之前提到的正弦波的时域图，其中，把每个时间点的值加在一起便得到原始波形。

但是，如果在图a中以频率为x 轴查看图形，则会得到完全不同的结果，如图c。此处的信号幅度随频率变化的关系，通常称为频域。输入信号中的每个组成的正弦波在频域中都显示为一条垂直线。它的高度代表振幅，位置代表频率。这里称信号的这种频域表示为信号频谱，频谱中的每个正弦波线都称为总信号的一部分。

那么，频域这个分析方法到底好在哪里呢？很多时候在时域中观察一个信号，无法分辨其中较小的频率成分。假设需要观察一个信号失真的状态，就必须在频域内观察，如下图所示，图中为一个时域信号，看起来像是一个正弦波。

但是将信号转到频域中，如下图所示，这显然是三个正弦波的叠加，其中有一个幅值较大，也就是我们能明显观察到的；另外两个幅值较小，在时域中无法直接观察得到结果。这就是在频域中分析信号的优势。

当然，在刚刚接触时，你会觉得频域非常陌生，但这其实是日常生活的重要组成部分。您的耳朵-脑的组合就是一个出色的频域分析仪，它将听到的声音分成许多窄带，并且能确定每个频带中的能量，这个功能可以使人轻松地从嘈杂的背景噪音中听到很小的声音。医生听病人心脏和呼吸的声音，机械师听机器的声音，就能一定程度上判别问题的所在。

不同频谱的案例

现在让我们来看看时域和频域中的一些常见信号。在下图a中，我们看到正弦波的频谱是一条直线，我们从构建频域的方式中期望这一点。图b中的方波由无穷多个正弦波组成，称之为谐波，其中最小频率是方波周期的倒数。上两个例子说明了频率变换的性质：一个周期性并且一直存在的信号具有离散的频谱。但这与图c中具有连续频谱的瞬态信号相反。也就是说，组成这个信号的正弦波在频谱上两两之间是无限接近的。