浅谈“数字电路”的学习（7）- 一切数字计算的核心功能、被教程忽略的加法器

原创电子森林 2021-09-27 22:17

我们每个人从小最先学的数学就是1+1=2，然后就是小九九，因为这是我们长大以后混世界的最基本的能力，加、减、乘、除是人脑“数字逻辑”的基础。作为替代人脑进行运算的数字计算机，无论是控制器还是处理器，无论是简单的单片机还是大型的服务器，以加、减法为基础的算术单元自然是最重要的核心部件。

虽然我们对十进制的加减乘除都已经熟悉到了本能的地步，如何让晶体管构建的、以二进制为基础的数字电路来实现我们人类需要的加、减、乘、除？

著名科普专家“冬瓜哥”在其定价为600元的巨著《大话计算机》开篇就对这个问题进行了阐述：

十余年的困惑，自然是上升到了常人不可达的层面才想明白的一些道理，有兴趣的同学可以跟着他的思路绕一绕，苏老师读了半个小时就已经感觉到脑细胞严重疲劳。

他切入计算机的入口就是加法器，准确地讲就是在我们的数字电路中一带而过的Adder - 半加器、全加器以及超前进位加法器（很多教程仅给出了半页的篇幅）。冬瓜哥得出的结论是“CPU内部就是个加法器”。可见它的重要性，也可见我们对它真的是严重忽略了，就像1+1=2一样，它重要得实在太平凡了。

但，它确实是我们数字计算的基础，理解了它才能够理解整个的数字逻辑世界。

我们先通过硬禾学堂制作的一个7分钟的视频教程来看一下加法器最基本的两个示例：

第一个案例 - 1位半加器

根据我们人类在十进制领域定义的加法规则，来操作2个1位的数据相加，从最基本的门的功能以及加法的规则需求，我们得到来实现它的电路 - 通过一个“异或门”得到加法以后的1位的结果，以及通过一个“与门”得到一个“进位”位的值，就像我们十进制的加法，如果两个数字相加超过了一个“位”（十进制的位）能够表达的范围，就要生成一个进位信号。通过真值表能够比较直观地看出反映2个输入位同经过加法操作以后得到的输出位的关系。

使用Verilog代码的1位半加器：

  module halfadder    (      input a,             //第一个加数a      input b,             //第二个加数b      output sum,          //显示和的led      output cout          //显示进位的led    );     assign sum=a ^ b;     //sum=a⊕b    assign cout=a & b;    //cout=ab  endmodule

第二个案例 - 1位全加器

毕竟2个1位的数相加只是基础，太局限，我们扩展一下，如果需要有超过1位的数字相加，该如何操作？那就需要将“进位”的值考虑进来，作为一个输入，有了进位输入、进位输出的加法器被称之为“全加器”，全了，谁都不缺了。

使用Verilog代码的1位全加器的Verilog代码：

  module adder1    (      input wire a,           //输入的低位进位及两个加数cin、a、b      input wire b,      input wire cin,      output wire sum,        //输出的和与进位      output wire cout    );      wire     s1,s2,s3;   //定义中间变量    xor (s1,a,b);                 //调用基本异或门    xor (sum,s1,cin);    nand (s2,a,b);    //调用基本与非门    nand (s3,s1,cin);    nand  (cout,s2,s3);   endmodule

通过上面的两段Verilog代码，可以看出用Verilog这种硬件描述语言的一些特点，这个在后面的文章中会专门介绍。

多数的“数字电路”教程关于加法器也基本上点到此为止了。

但上述的基本单元能用来做啥的？如果不做扩展，同学们很难有进一步的理解，因此我建议大家可以自行做一些扩展：

支持多位二进制数相加的并行二进制加法器

比如2个4位二进制的加法器，它可以由3个全加器和1个半加器构成，低位的加法进位可以作为相邻高位加法的一个输入端，最低位仅用一个半加器，最高位生成的进位信号作为后续电路的输入。

是不是像极了我们的十进制加法？原理是一样的，只是采用的进制不同，而二进制可以通过数字电路的0、1比较容易地实现。

了解了加法器，减法器也就不难理解，就像我们十进制中的加和减的关系一样。它的基本规则：

0 - 0 = 0
0 - 1 = （借）1 1
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0

对应的也有：

1位半减器

一位半减器的符号、电路构成以及真值表

1位全减器

用半减器构成的全减器

并行二进制减法

用三个全减器和一个半减器构成的4位并行减法器

用4个全加器也可以构成一个4位并行减法器

既然多位的全减器也可以用全加器来实现，是不是可以有一种统一的结构能够实现加、减的功能？毕竟减和加是对偶的，减法也可以看作是+（-）的操作。

统一结构的并行加、减法

从前面的加减法构成可以看出，加法器和减法器都可以用共同的加法器来实现，如果我们添加一个控制信号M，最低位也使用一个全加器，将这个M值连接到该全加器的进位输入端，就可以通过这个M是0或1来决定此电路时加法电路还是减法电路：

M=1的时候为减法器
M=0的时候行使加法器的功能。

如果你需要将更多的位数的二进制数字相加或相减，你可以使用更多个加法器级联即可得到。细心和动脑的同学会发现，如果任何操作需要哪怕一丁点的时间（有了时间的概念也就意味着 - 因果之间有了先后，有了“时延”，我们生存的世界时间是一个客观存在的维度），那么图中的操作在每个位上的输出就会产生时间上的差异，最高位的值和进位依赖于低位的值和每一位加法操作的时间（也就是构成加法器的门的响应时间）。就像绿灯亮起，并不是所有等待的车同时启动前行，而是从第一辆车逐级传递过来的一样。

用上述方法构建的加法器、减法器，位数越多，由于电路门时延带来的计算结果会越慢出现，聪明的前辈大神们竟然通过一系列的逻辑运算发明了“超前进位加法器”的结构，即便实际的电路上每个操作都有先后带来的时延，我们也可以不需要考虑每个进位的逐级传递，而是一次性地根据各个输入端的位上的值直接得出运算以后的结果。