来源 | 数学算法俱乐部
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按照我的理解，人在一只眼睛的情况下，看到的是三维在二维上的投影；因为两只眼睛的存在，两个二维投影经过大脑处理就形成了三维视觉。如果人类有第三只眼（或类似的器官），它能看到加入另一维度的投影，是否就能感受到四维空间？换句说，是否存在怎样的实验，能感受到空间四维、甚至宇宙十一维的存在？高能，看完后造成精神分裂、脑细胞死亡过多者，概不负责。
人类的局限性使得我们无法在大脑中构建出四维的空间和物体，但是可以了解一些有趣的现象？开始，先介绍一下四维的一些奇怪现象；然后从二维模拟三维，我会说明，进入四维世界后的情景和奇怪的现象，解释下我们在这个异世界能看到写什么；接着假设存在四维人，他们看我们的三维世界是什么场景；最后幻想下，如果存在四维空间和二维时间——六维时空的神奇世界。四维世界的物体我们称之为“超体”，超体有许多奇怪的特性。以边长为1的超正方体为例，它的表面积是8立方米。估计有些人立马要跳出来，表面积怎么出现立方米了？事实是，对四维空间来说，三维的体只是一个面，四维超体的表面就是三维的。超正方体的表面（表面体）有“8个立方体（胞），24个面，32条线段，16个点”。更奇特的是，如果我们把超正方体的“表面”展开，如同我们把正方体表面展开成一张纸的情况，就成了下图：同理，三维球的体积是(4/3)πr^3，但是四维球的“表面积”是2(π^2)r^3，也就是说，完美的四维球的表面是一个类似球体但绝对不是球体的玩意儿。现在我们先假设有一个二维世界的二维人——小二，他的世界是怎么样的呢？他用两条腿就可以站立，而他的脚是线状的，且处于同一条直线上。但是如果进入三维世界就不行了，他的脚这样放，很难保持平衡，为了让一个物体稳定立在三维世界中，我们最低需要3个不在同一条线上的点接触表面，他的一条腿必须向第四维度弯曲，才能站稳。但是他不能动，一但动了，只有一只脚在平面上，极其不稳定，需要增加接触点，于是为了自由自在地行走在三维世界，小二不得不让身体向第三维度弯曲，采用两只脚+一只手在地面的“行走”姿势。好了，下面我们来欣赏下人类进入四维世界的场景。前面我们说了，四维世界的表面是三维的，数学公式很容易就可以推出，为了稳定在四维世界中，一个物体最低需要4个不在同一平面的点接触表面体，即两条腿的我们只能站着不能动，一动就倒了，为了行走，必须将第三条腿向第四维度折叠，接触到表面体才能“行走”，情景请自行想象……当然了，为了让大家能顺利地站起来我们忽略了很多物理定律，挑最简单的说。我们都知道粒子间有4种基本力“万有引力、电磁相互作用力、弱相互作用力、强相互作用力”，根据科学研究，万有引力本身就可能是多维间作用的力，没什么问题，但是其他三种力都是在三维中起作用的，进入四维空间后，力会在第四维起作用，于是力本身就大大地减弱了。要知道，粒子间的力是无比精致而脆弱的，有一点点变化，粒子也就不存在了，也就是说，当你从三维进入四维时，构成你身体的原子会在瞬间分解，所有的原子都不存在了，你将遇到有史以来，最最彻底的灰飞烟灭，真正的渣都不剩一点。四维世界的场景我们说完了，下面是重头戏，那就是，如果我们进去后还活着，我们看到的世界是什么样的？来，我们先把小二拉回来，看看他眼中的世界是怎么样的。在二维世界，他看到的不是一个面，而是一条线，可以是直线，也可以是“非直线”。如图：他可以左看到墙的边界，即5号虚线，或者右看1234四条虚线的综合线，然后在大脑中还原景象。然而，当他进入三维世界后回头，却并不能看清整个二维世界，因为他只能“看”到线，他像扫描一样，每次看一条线，因此他只有从头到尾看（扫描）无数次后，才把所有的线组合起来成为一幅二维画。大家都觉得我们的眼睛看到的是三维世界，但是这是错误的，我们眼睛看到的实际上是二维画，是各个三维物体的表面，然后再由大脑加工转成三维模型。于是，我们进入四维世界后，我们以上帝视角看着三维的地球，却悲哀地发现依旧不能看清一切，我们拥有透视眼，但是，信息量过大，大脑没办法在同一时刻把所有画面整合起来。为了更形象一些，我们先暂时回到三维世界。拿一部手机出来，将其压缩到极致，只留下薄薄的一层有个字的透明屏幕，同样的再拿出1000部，每个屏幕都显示着不一样的字，将他们摞在一起。这样，我们就构造了一个伪四维空间的三维物体X，所有的屏幕都亮着，我们似乎能看到每一层屏幕，可惜由于互相遮挡，一个字都看不清。好了，现在你把X拿到四维空间，刹那间，一切都明朗了，每一层手机发出的光线都能不受阻挡地到达我们的眼睛，我们看到了每一层手机全部的光，也就意味着所有的字我们都能看清了。可惜啊，大脑表示光线超标，信息过量无法构建空间，这时候有就有了两种可能性，A大脑彻底罢工，我们看到了一切，却由于大脑容量不足，造成过度堵塞，变成了完全的瞎子。B大脑启动了分离程序，提取了某一层屏幕，看到了这个字，然后提取另一层屏幕，看到了另一个字，到最后，我们看到了所有的字（理论上有无数个字，我们将其忽略近似为每层都很薄，就看到了有限个字，只要够薄，这对我们的理论就没有影响）。恭喜，从现在起你就是拥有透视眼的二娃了，是不是很高兴？想看什么看什么，完全不受束缚。很抱歉，你看不到，因为理论告诉我们，你每次只能看到一个面，一个标准二维的三维截面。当你看一个苹果时，你不能看透表皮直达果肉，你每次只能看到苹果的一个有果核有果肉的截面，把苹果全部扫描一遍后，才能知道这是个苹果。你熟悉的那个世界已然消失不见，到处都是标准的二维截面，而只有看了大量的截面后，你才有可能在脑中建立起所见物体的三维模型。看过四维超体的截面了，回到刚刚的问题，我们在四维空间看向四维物体时，看到了什么？答案是……与我们在三维空间看到的截面几乎一样。上文已经提到，我们眼睛看到的是二维画面，且无法在第三维度上无限结合，而四维物体的表面是三维的，即我们看到的是四维物体的三维表面体的二维截面，并且由于局限性，我们看过大量投影后还是没办法把这些二维截面在第三维度结合起来，更不用说再把所有的完整三维体在第四维度结合起来了，四维超体对我们依旧是不可见的。（类似于看三维物体时的AB一样，看四维物体也有两种可能情况，我们选取了B，即大脑会启动分离程序获得可用的光信息，而不会因为接受到过度的光罢工。）说完了超体，我们再拉出一个四维的人来，“超体小四”，看一看四维人眼中的世界。小四首先看到了地球，他看到了我们这些蝼蚁的表皮，更是由表及里，看到了我们的肌肉、心脏、血管等等，不仅如此，8848米高的山峰，11000米深的海沟，深达地幔，最后直抵地心，这一切都是他“同时”看到的。随着时间的推移，他看着整个地球，太阳，星系的演化，一切尽在眼前。至于四维人眼中的四维世界，处于完全未知状态，仅可由数学语言描述，我们略去。最后我们脑洞大开一下，小四是生活在四维空间+一维时间，即五维时空中，再加一个时间维度的话，我们来到了四维空间+二维时间的六维时空宇宙，假设存在一个“超时空小四”，他看向我们的地球，不仅看到了现在的地球，也从地心到地表，看到了过去的和将来的地球。实际上，他目睹了30亿年后银河系和仙女系的大碰撞，够幸运的话还能看到50亿年后太阳的终结，他看到了宇宙的开始，也见证了宇宙的终结，而这一切对他来说，都是在同一个时间同一地点发生的，这就叫做“上帝视角”。首先先下一个前提：如果世界的最高空间维度是四维，那么不存在物理意义上的三维物体，所有的物体都是四维的，我们看见的“三维物体”都是四维物体在三维世界的投影。
这个前提的由来是：在我们的三维世界，也不存在物理意义上的二维物体。你在纸上画一个图案，纸是有厚度的，图案其实是墨水渗入到纸的三维纤维结构中改变了反光，所以还是三维的。电脑屏幕上的画面是由三维的发光二极管组成。分子是三维结构，原子也有体积，中子质子在粒态的时候也被认为是三维球体。。。事实上根本找不到只有面积没有体积的东西。以此类推，如果世界是四维的，那这个世界中所有的东西都是四维的。当然了，这不妨碍这个世界的智慧生物只能体验三维或者二维——那是它们自己太弱，不能怪宇宙。
当然这个前提未必是正确的，纯属娱乐，想娱乐的可以看下去。作为三维人类，你只能感受四维物体在一个三维世界，也就是你生存的这个三维世界上的投影。这一点很重要。四维世界包含无数个三维世界。我们姑且认为我们目前的这个三维世界是{x,y,z,0}. x,y,z是你能移动的三个方向。第四个方向也就是第四维，你无法移动，因为你不是高维生物，所以我们等同于被固定在了第四轴“0”的位置。你的“视角”也被限制在了三维空间之内，无法在第四轴有所变动。你的眼睛也根本无法体察四维物体在第四轴上的形状。所以我不能赞同《三体》对四维空间在视觉上的描写：从四维看三维时，由于三维事物在各个层次上都暴露在四维视野中，原来封闭和被遮挡的一切都平行并列出来我认为人眼只能看见三个维度（事实上只能直接看见二维，第三维需要通过视差来间接观察），对于第四维是完全无法体验的，所以人不可能从第四维观察物体。我们在三维空间中称之为广阔、浩渺的这类东西，会在第四个维度上被无限重复假设一个四维高级生物把你在第四维移动了一点点，你现在的位置到了{x,y,z,1}，你会看到什么？你会神奇地看到三维空间在第四维上无限重复吗？显然是不对的。因为{x,y,z,0}和{x,y,z,1}在性质上没有任何区别，它们都只是四维空间的投影，唯一区别只不过是第四轴的值不同。既然如此，在第四轴上被移动怎么会赋予你突然可以看见第四维的超能力呢？
我们再把《三体》这句话重复一下：我们在三维空间中称之为广阔、浩渺的这类东西，会在第四个维度上被无限重复黑体字部分是一个很有意思的设定，但未必是正确的。我们已经认为所有的三维物体都是四维物体在三维上的投影，那么是不是每个四维物体都是三维物体在第四维上无限重复呢？未必。考虑一个二维物体——也就是一个三维物体在二维面上的投影——一个圆柱体可以被认为是二维圆形在长度轴上的无限重复，球体就不是。其他形状不规则的东西就更不是了。
我们这个世界是四维世界在{x,y,z,0}上的投影。现在你到了{x,y,z,1}，视觉上会是什么效果？很难说。如果刘慈欣的说法是对的，三维空间只不过是在第四维度上无限重复，那么你运气好，你在{x,y,z,1}看到的东西和在{x,y,z,0}看到的东西别无二致，你分辨不出有什么不同。如果不是这样，你就完蛋了。你依然只能体验三维——或者说，四维物体在三维世界的投影，但是现在投影的形状不同了（因为第四轴的值变了），导致你看到的每一样东西都变了形，也许会变成你根本无法理解的形状；这个世界也成了一个你完全无法理解的世界。也许你看到的每一个物件的“表面”都被重新定义了，因为我们熟知的物体“表面”只不过是那个物体在{x,y,z,0}的投影而已，到了{x,y,z,1}, 可能原来的“表面”成了物体的内部，物体的内部投影成了新的表面，于是你看到的不是人，而是一堆血淋淋的肠子脑子在那里走来走去。同样的，在正常世界{x,y,z,0}看你，你也是一堆血淋淋的肠子脑子了。当然这只是一种猜想。也许你会跳到一个截然不同的世界，因为与{x,y,z,0}相交的四维物体未必与{x,y,z,1}相交，反之亦然。初中的时候曾经有一个很有意思的关于维度的想法，现在拿出来跟大家分享，欢迎批评指教。首先，试想最简单的一维空间是什么？任何一条线，直线曲线折线等等，都是一个一维空间对吧？如果说是最简单的呢？我认为就是一条线段，即两点之间连线，就是这样：
那最简单的二维空间呢？如果不考虑曲线，像刚才那样用点和线之间的连线来定义？可以是一个正方形，但是不够简单，因为去掉一个点，三点之间的连线，还是个二维空间，但如果再去掉一个点，只剩两个点，那就成刚才的线段了，是个一维空间，也不行，所以，最简单的二维空间是三点之间的连线：如果要说规律的话，能否得出“n点之间的连线即为最简单的n-1维图形在二维空间上的投影”这么一个规律？如果从三维空间来看的话，确实是这样的！如图：这是四点之间的连线，可以把它想象成一个三棱锥，阴影面是底面。那么，四维？五维？...n维空间，是不是也都能这样画出来呢？我也不知道。。。毕竟不是我们生活在三维空间的人里能想象出来的，不过，还是画出来给大家看看：
首次从四维空间看三维世界的人，首先领悟到一点：以前身处三维世界时，他其实根本没看见过自己的世界，如果把三维世界也比做一张画，他看到的只是那张画与他的脸平面垂直放置时的样子，看到的只是画的侧面，一条线；只有从四维看，画才对他平放了。
他会这样描述：任何东西內都不可能挡住它后面的东西，任何封闭体的内部也都是能看到的。这只是一个简单独规则，但如果世界真按这个规则呈现，视觉上是极其震撼的。当所有的遮档和封闭都不存在，一切都暴露在外时，目击者首先面对的是相当于三维世界中亿万倍的信息量，对于涌进视觉的海量信息，大脑一时无法把握。在三维世界里，人类的视觉面对的是有限细节，一个环境或事物不管多么复杂，呈现的细节是有限的，只要用足够的时间依次观看，总能把绝大部分细节尽收眼底。但从四维看三维时，由于三维事物在各个层次上都暴露在四维视野中，原来封闭和被遮挡的一切都平行并列出来。比如一个封闭容器，首先可以看到它内部的物体，而这些内部物体的内部也是可见的，在这无穷层次的暴露并列中，便显露出无限的细节。对于由无限细节产生的无限信息，生来就是用于感觉和思考三维空间的大脑无法把握，最初都处于信息超载的堵塞状态。但大脑会很快适应四维环境，无意识地忽略掉大部分细节，只把握事物的大框架。对于亲历过四维空间的人来说，高维空间感是最难用语言描述的，他们往往试图这样说明：我们在三维空间中称之为广阔、浩渺的这类东西，会在第四个维度上被无限重复，在那个三维世界中不存在的方向上被无限复制。他们常常用两面相对的镜子来类比：这时在任何一面镜子中都可以看到被复制的无数面镜子，一个向深处无限延伸的镜子长廊，如果作为类比，长廊中的每面镜子就都是一个三维空间。或者说：人们在三维世界中看到的广阔浩渺，其实只是真正的广阔浩渺的一个橫断面。描述高维空间感的难处在于，置身于四维空间中的人们看到的空间也是均匀和空无一物的，但有一种难以言表的纵深感，这种纵深不能用距离来描述，它包含在空间的每一个点中。首先你就是一种三维生物，你的存在依附于三维空间，你和三维空间是无法分离的关系。
如果你想观察到四维空间，有一种理论上的可能：你所在的空间突然延展成四维空间，或者你通过一个入口进入了四维空间。同时，你也随着这个变化，进化成四维生物，来观察与阐释这个四维空间。1. 目前没有任何科学证据表明，智慧生物不能随着空间维度的变化而变化自己的维度。2. 既然我们的智慧已经能通过数学工具推测到高维空间的存在，那么生命的自然设定就有可能是----我们同时也有能力亲自去高维空间观察探测。这就好像是上帝给我们的设置的一个游戏一样。如果你在有生之年有幸造访四维空间，当你重新回到三维空间的时候，有三种可能：---基于一个假设：三维大脑只能用来贮存关于三维空间的意识。四维大脑也只能用来贮存关于四维空间的意识。2. 你带走了关于四维空间的回忆，但回到三维空间后，这种回忆退化成只能被三维大脑处理的形式----如果是这样，那么就几乎证明了所谓“灵魂”的存在，也就是说，你的意识本身独立于大脑的运作而存在，你的各种维度的大脑，只是再现这种意识的工具。低维度大脑粗糙些，只能再现一部分意识；高维度大脑精准些，可以再现更完整的意识。举个栗子，你看到了一只四维空间大象，当你回到三维空间后，你只能回忆起这只大象的腿，只有当你回到四维空间后，你才能回忆起大象的全貌。3. 你带走了关于四维空间的回忆，回到三维空间后，回忆完整，并且你的三维大脑进化成了可以处理四维信息的大脑。----这可能会是智慧生物进化的一种趋势。因为智慧生物的发展趋势，就是越来越多的时间用在消耗脑力的工作上。如果他们的身体已经能适应任何维度，但他们有需要回到三维空间去处理关于四维空间的信息，那么大脑的发育水平必须跟上，比如说用三维大脑处理四维信息。这件事情电脑已经做到了，用二进制这种原始码来再现和处理关于三维世界的复杂信息。最后再谈谈什么是二维生物。讨论二维生物，可能会揭示某些关于我们三维生物的潜在真相。1. 【首先谈谈蚂蚁，我对蚂蚁的具体生物学知识不是太了解，在这里我假设蚂蚁只拥有二维意识----为了下面的讨论方便。】蚂蚁肯定不是二维生物，因为它的身体构造是三维，它存在于三维空间。只是蚂蚁受自带观测工具（ie. 眼睛）的影响，即使它存在于一个三维的世界，即使它的运动轨迹是三维的，它也只能用自己的眼睛观察到一个二维的世界，它也只有一个关于二维世界的回忆。蚂蚁眼中的世界，可能就是连续不断的直线，它认为自己走了很多路，其实毕生都在一个盒子里转。（这可能就是很多理论物理学的灵感来源）什么情况下蚂蚁会观察和意识到自己身处的三维世界？蚂蚁的身体构造发生了改变，它有了类似高等生物那样的脖颈，这时它就有了仰望星空的物理能力；或者蚂蚁长出了翅膀，它就能飞翔起来鸟瞰世界了。那如果蚂蚁有了智慧，它会不会建立起关于三维世界的模型呢？为什么蚂蚁总是进化不成具有三维意识的生物？或许不会，因为没有这个必要。因为现实生活中只拥有二维意识的蚂蚁，也在三维世界中运作良好。如果它有智慧，很可能出现这样的情景：老蚂蚁花了毕生精力爬遍了一个魔方，它的足迹覆盖了魔方的每一处图案，它自豪地对子孙说“我已经亲自走过了这世界的每一个角落，看到了所有的风景”。老蚂蚁认为它已经花了毕生经历探索了整个魔方---认识了整个世界。然而它永远不会知道这个魔方的真实三维构造，它的眼里不可能有这个魔方的三维全貌。在它眼里，这魔方就是很多连续不断的图案，最后回到原点。而作为三维生物的人类呢，我们可能会远远地看那个魔方一眼，就全貌了然于心，最多拿起来稍微把玩片刻。但是，你会有耐心，像老蚂蚁那样，用手去摸遍魔方的每一个角落吗？对你来说，根本没有这个必要。所以这就是上帝视角 ---- 宇宙全貌，了然于心，但同时，他也不可能像人类那样，有任何探索的欲望。【离个题-----这时你是否联想到《2001太空漫游》结尾镜头里那个著名的“星孩”镜头呢？他静静地悬浮在宇宙中，看着地球。你有没有感觉似乎明白了“星孩”这个隐喻？他代表的甚至不是人类的下一个进化阶段，他就是上帝（至少是地球的上帝）：地球全貌，了然于心，他不需要任何工具，他只有一个极简的肉身存在，因为他不需要任何探索了。】说到这里，我忽然想到，或许我们人类就已经生活在一个高维空间中了，并且或许我们人类已经是一种高维生物了。只是我们和蚂蚁一样，目前阶段，是一种具有三维意识的高维生物。虽然蚂蚁眼中的世界是二维，但它意识不到，其实它的身体构造已经是三维的了，它存在于一个三维世界。同样，我们人类或许也没意识到，其实我们已经是存在于高维空间的高维生物了，只不过我们只具有三维意识----因为三维意识已经足够让我们在高维世界中生存。如果这样的话，那就比我开头的那些理论推导更加悲观。我们能观测到几维世界，目前阶段看来，完全取决于我们的生物构造。即使我们一直认为自己在探索世界，我们也永远在用我们三维的观点来看世界。即使我们旅行去了宇宙的所有地方，我们也无法搭建起宇宙的全貌图景。至少，我们看不到高维生物眼中的宇宙全景。这或许就是作为智慧生物，内在的限制，同时也是内在的优势。正是因为我们看不到宇宙的全貌，正是因为我们没有上帝视角，我们才会去孜孜不倦地亲自去探索宇宙的每一个角落，整个人类才能保持旺盛的好奇心，对这个世界有那么一点激动。这或许就是智慧生物的终极意义？不是建立上帝视角（因为生物构造不允许），而是去探索发现体验，以及体会这个过程中相伴的欢乐与痛苦。2. 讲完蚂蚁后，想象下真正的二维生物是什么样子？暂且不讨论“什么是生物”这个复杂问题。如果我现在这个word文档上字符会自动出现（没有外力驱使），如果我画在纸上的图案能自己动起来（没有外力驱使），那么它们就有可能是真正意义上的二维生物。。。。可问题是，如何判断真正的二维生物？一部动画片里的人物在动，你如何判断它们是自己在动？还是因为有人在迅速翻动大量图片，从而造成人在动的幻觉？可以想象一下，如果你自己是个二维生物，存在于一部“动画片”里，你是完全无法判断其他貌似和你一起在动的二维生物，是真的自己在动呢？还是有外力驱使在动？除非你有关于三维世界的知识，否则你完全无法判断。不过我这里的意思不是再引申一遍《黑客帝国》的中心思想。我在这里想到的是：探索高维世界，虽然看起来对人类生活没有什么实际意义（就好像蚂蚁仅能靠二维意识在三维世界生存一样），但却对了解人类自身有特别重大的意义。----- 简单来说，至少我们可以发现，自己是不是高维生物的作品。很可能，我们能的确是高维生物的作品。但是不用悲观，因为至少我们也创造了很多“二维生物”。－ The End －
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