麦克斯韦方程进化史

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编者按

麦克斯韦和法拉第等人对物理学最大、最深刻的贡献就是发现了物质存在的一种新形态———场形态的物质存在。以前，大家一直认为物质是可分的。分解之后，这些组成物质的基本构件都可以看作是粒子，所以人们认为物质是由粒子组成的，而物质的存在形态只有一种——粒子形态。只要我们有了描写粒子运动的牛顿定律，我们就可以描写所有物质的运动。麦克斯韦发现了电磁波，而电磁波不是由粒子组成的，所以麦克斯韦发现了物质存在的新形态——场形态，而麦克斯韦方程正是描写这种场形态物质的运动方程。这种场形态的新存在，同时又是一种相互作用——电磁相互作用——的起源。依此类推，那么引力相互作用，是不是也起源于另外一种场形态的物质存在？爱因斯坦给出了肯定的答案：引力相互作用对应于另外一种场形态的物质存在：引力波。而后来的量子力学又进一步统一了这两种物质的存在形态：波(场)就是粒子，粒子就是波(场)。这就是几百年来，物理发展的大线条。

——文小刚

撰文 | 詹姆斯·劳提奥（James C. Rautio）

翻译 | Lineker

校对 | 雨遇

如果你想膜拜伟大的物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell），那去处可多得是。伦敦的西敏寺（Westminster Abbey）就有一座麦克斯韦纪念碑，距离牛顿墓不远。最近在爱丁堡，这位科学家出生地的附近，也竖起了一座宏伟的雕像。或者，你还可以去他最后的安息之地表达敬意，那里位于苏格兰西南部的道格拉斯城堡（Castle Douglas）附近，不远处便是其钟爱的祖宅。这些纪念性标志，皆恰如其分地致敬了这位提出了首个物理统一理论并且展现了电磁密不可分特性的伟人。

不过，这些丰碑并没有道出另一层隐情：在麦克斯韦去世的1879年，他那为现代技术世界奠定良多基础的电磁理论，还没有真正站稳脚跟。

描述这个世界的大量信息——即支配光行为、电流动和磁动力的基本规则——可以被归结为四个优美的方程。现如今，这些被共同称之为麦克斯韦方程的公式早已名震天下，差不多每一本入门级的工程和物理学教科书上都能找到它们的踪影。

不过，对于这些方程是否问世于1864年的12月，目前尚存争议，当时麦克斯韦向伦敦英国皇家学会提交了自己的电磁统一理论，并于次年即1865年发表了一篇完整的报告。此项工作为物理学、无线电通讯和电气工程学随后出现的所有伟大成就提供了基础。

但展示和运用之间还存在很大的差距。麦克斯韦理论的数学和概念基础是如此复杂和违反直觉，以致于该理论在首次被提出以后，基本上处于被忽视的境地。

为了给麦克斯韦的理论打下坚实的基础，一小群痴迷于电磁奥秘的物理学家足足花费了将近二十五年的时间。在他们中间，有人专门收集可证实光是由电磁波构成的实验证据，还有人将麦克斯韦方程转化为了当前的形式。德克萨斯大学奥斯汀分校的历史学家布鲁斯·亨特（Bruce J. Hunt）将这群物理学家称之为“麦克斯韦学派”，如果没有他们所付出的巨大努力，现代电磁概念可能还需要数十年时间才会被广泛接纳。这种延迟将会进一步拖累后续所有不可思议的科学技术的问世时间。

时至今日，我们早已认识到，可见光实质上就是一团宽泛的电磁波谱，其辐射是由振荡的电场和磁场所组成。我们知道，电和磁是密不可分的；变化的磁场产生电场，电流和变化的电场又会生成磁场。

四则黄金定律

现如今，电磁之间的关系以及光和通常电磁辐射的波动性，都可以用上图所示的四则“麦克斯韦方程”来进行表述。这些方程可以用不同方式来书写。方程中，J为电流密度。E和B分别代表电场和磁场。另外两个场为位移场D和磁场H。它们通过常数与E和B相关联，这些常数反映了磁场所通过的介质的特性（在真空中，这些常数的值可以结合起来导出光速）。位移场D是麦克斯韦的关键贡献之一，最后一个方程描述了电流和变化的电场如何产生磁场。每个方程最左边的符号代表微分算符。这些简洁的微分式包含了矢量，即拥有方向性的物理量，从而将x、y和z的空间分量也包含在其中。麦克斯韦最初提出的电磁理论公式包含了二十则方程。

我们必须感谢麦克斯韦让我们掌握了这些基本见解。但它们并不是麦克斯韦忽然之间的灵感乍现。他所必需的经验事实是在之前超过五十年的时间里逐渐积累的。

我们可以将历史的时钟拨回到1800年，那一年物理学家亚历桑德罗·伏特（Alessandro Volta）发明了电池，这使得实验科学家们可以开始利用连续的直流电展开研究。约二十年之后，汉斯·克里斯蒂安·奥斯特（Hans Christian Ørsted）掌握了电磁之间关联的首个证据，他发现在靠近通电导线时罗盘的指针会发生偏转。不久以后，安德鲁-玛丽·安培（André-Marie Ampère）研究发现，两根平行通电导线能够表现出相互吸引或相互排斥的作用，具体作用效果取决于电流的相对方向。到了十九世纪三十年代早期，迈克尔·法拉第（Michael Faraday）又发现，拖动一块磁铁穿过一个线圈就能产生电流，因此他证明了正如电能够影响磁铁的行为一样，反过来磁铁也能够影响电。

这些观察结果都属于零碎的作用证据，没有人能够以系统或综合的方式来真正理解它们。电流的实质是什么？通电线圈如何在没有直接接触时作用于磁铁？运动的磁铁如何产生电流？

法拉第种下了一颗重要的思维火种，他设想磁铁周围存在一种神秘且不可见的“电紧张态”，即我们今天所称之为的场。他断定电紧张态的变化是导致电磁现象产生的原因。法拉第猜测光本身也是一种电磁波。不过，将这些想法打造成为完整的理论却超出了他的数学能力。在麦克斯韦开始登上了科学舞台之时，电磁学的研究现状便是如此。

十九世纪五十年代，从英国剑桥大学毕业的麦克斯韦，着手尝试赋予法拉第的观察结果和研究理论以数学意义。1855年发表的《论法拉第力线》（On Faraday’s Lines of Force）一文即属于他的初次尝试，在这篇论文中，麦克斯韦设想了一种类比模型，该模型表明描述不可压缩流体的方程也可用于解决恒定电场或磁场的问题。

但一系列的干扰中断了麦克斯韦的工作。1856年，他在苏格兰亚伯丁（Aberdeen）的马修学院（Marischal College）谋得了一份职位；接下来他又花费了数年时间对土星环的稳定性展开了数学研究；1860年，在一次学院合并中他被辞退；接着又感染天花，几乎丧命，最后他找到了一份新工作：去伦敦国王学院（King’s College London）当教授。

总而言之，麦克斯韦就这样一点一滴地慢慢充实着法拉第的场理论。尽管完整的电磁理论尚未成型，但他在1861年和1862年分为若干部分发表的一篇论文，却被证明是一块重要的晋升之阶。

基于先前的理论，麦克斯韦设想存在这样一类分子介质，在该介质中，磁场以旋转漩涡阵列的形式存在。某种形式的微小粒子环绕着每个漩涡，从而让漩涡的旋转相互传递。尽管后来将这种力学设想抛到一边，但麦克斯韦发现它还是有助于描述一系列的电磁现象。或许，该设想最重要的意义在于，它为一种新的物理概念——位移电流——奠定了基础。

位移电流并非真正的电流。它是一种针对穿过特定区域的电场在发生变化时如何产生磁场的描述方式，就像电流变化产生磁场那样。在麦克斯韦的模型中，当电场变化导致漩涡介质中微粒的位置发生瞬间改变时，位移电流随即出现。也就是说，这些微粒的运动生成了电流。

位移电流最令人瞩目的展示之一出现在电容器上：在某些电路中，存储在电容器两块平板之间的能量会出现高低值的振荡。在这样的系统中，我们很容易想象麦克斯韦的力学模型会如何发挥作用。如果电容器包含一块绝缘的介电材料，你就可以认为，位移电流是由被束缚在原子核周围的电子的运动所产生的。这些电子从一侧往另一侧来回摆动，就好像被拴在绷紧的橡皮筋上。不过，麦克斯韦的位移电流比上述表述更为基础化。它会产生于任何介质中，甚至包括真空，那里并不存在可以产生电流的电子。正如真实的电流一样，位移电流也会产生磁场。

补充了上述概念以后，麦克斯韦就拥有了所需的基本元素来将可衡量的电路特性与两个常数联系起来，这两个常数现已不再使用，它们可表征在响应电压或电流时，电场和磁场形成的难易程度。（现如今，我们用自由空间的电容率和磁导率来定义这些基本常数。）

正如弹簧常数会决定弹簧在拉伸或压缩之后复原有多快，这些常数也可以合并起来，以确定电磁波在自由空间里的传播速度。在其他研究者利用电容器和电感器测得相关数值以后，麦克斯韦就能够估算出电磁波在真空中的传播速度。通过将这一数值与已知的光速估值相比较，他发现二者近似，并进而推导出光肯定也是一种电磁波。

1864年，麦克斯韦完成了电磁理论的最后一块关键拼图，当时他才三十三岁（在后续的研究过程中他只是做了一些简化）。在随后的讨论和论文中，他抛弃了原来的力学模型，但保留了位移电流的概念。通过深入的数学研究，他描述了电磁之间的关联方式，以及在恰当的条件下其共同作用如何产生电磁波。

这项研究成果堪称是现代电磁学理论的基础，它为物理学家和工程师们提供了所需的所有工具。运用这些工具，他们可以计算出电荷、电场、电流和磁场之间的相互关系。

不过在当时，这一颠覆性的成果却遭到了严重质疑，有些质疑之声甚至来自于麦克斯韦最亲密的同事。最直言不讳的反对意见出自威廉·汤姆森爵士（Sir William Thomson），即后来的开尔文勋爵（Lord Kelvin）。这位当时英国科学界的泰斗根本不相信会有位移电流这样的东西存在。

汤姆森的反对理由顺理成章。在充满原子的电介质中，位移电流的存在是一回事，但要想象其形成于虚无的真空中则又是另外一回事。缺少力学模型来描述这种环境，且不存在实际运动的电荷，我们根本不清楚何谓位移电流或者它会如何产生。对于维多利亚时代的众多物理学家而言，这种物理机制的缺失堪称灾难。现在我们当然愿意接受这样的物理理论，譬如量子力学，虽然有悖于我们的日常直觉，但只要它们在数学上严格成立且具备强大的预测能力就足矣。

麦克斯韦同时代的研究者们亦察觉到了其理论存在的其他重大缺陷。举例来说，麦克斯韦假定，振荡的电场和磁场共同形成了波，但他并没有描述这些波如何通过空间传播。在当时，所有已知的波动都需要介质来进行传播。譬如，声波可以在空气和水中传播。当时的物理学家们推断，如果电磁波存在，就肯定存在相应的传播介质，即便这种介质是无色、无味或无形的。

麦克斯韦也相信这样的介质——或称之为以太——的存在。他认为，以太充斥于所有空间，电磁行为是由于在这种以太中压缩、拉伸和运动所导致的结果。但1865年，在两卷本的《电与磁的论述》（Treatise on Electricity and Magnetism）中，麦克斯韦在没有使用任何力学模型的前提下就给出了方程，为这些神秘的电磁波可能如何传播以及为什么会这样传播提供了佐证。对于同时代的很多科学家来说，模型的缺失让麦克斯韦的理论看起来不完整得令人痛心。

或许最关键的地方在于，麦克斯韦对于其理论的自我描述复杂得令人震惊。大学生们可能会抱着敬畏之心来接纳四则麦克斯韦方程，但要理解这位物理学家的实际构想就太过棘手了。为了简洁地表述这些方程，我们需要一定的数学功底，而在麦克斯韦开展研究工作之时，这些数学知识还没有完全成型。具体来说，我们需要运用矢量微积分，它是一种书写三维矢量微分方程的简洁方式。

现如今，麦克斯韦理论可以被归纳为四则方程。但在当时，他用带有二十个变量的二十个联立方程才表述了自己的构想。其方程的维度参数（即x、y和z轴方向）必须分开表述。此外，他还运用了一些反直觉的参数。当然，我们现在已经习惯于电磁场的思考方式并运用它们来解决问题。但麦克斯韦主要运用的是另外一类场，这种量他称之为电磁动量，从电磁动量出发，他就可以计算法拉第最初设想的电场和磁场。麦克斯韦或许已经为这种场——即现在我们称之为磁矢势——选好了名字，因为其对时间的导数即为电磁力。但涉及到计算边界处的很多简单电磁行为譬如电磁波如何被导电表面反射时，磁矢势对于我们毫无用处。

这种复杂性所带来的最终结果便是：当麦克斯韦的理论首次亮相时，几乎无人问津。

插图来源：Lorenzo Petrantoni

不过，还是有一些人注意到麦克斯韦的研究。奥利弗·赫维赛德（Oliver Heaviside）便是其中之一。赫维赛德出身于极度贫穷的家庭，听力部分残疾，从未上过大学，曾有朋友将其形容为“一等一的怪人”。他完全靠自学掌握了高等科学和数学。

在接触到麦克斯韦于1873年出版的《电与磁论述》一书时，赫维赛德二十岁刚出头，还在英格兰东北部的纽卡斯尔干着一份电报员的工作。“我越来越觉得它了不起。”他后来写道，“于是我下决心读透这本书，并马上展开研究工作。”第二年，他便辞掉了工作，搬到父母家中，开始研究麦克斯韦的理论。

正是赫维赛德将麦克斯韦的方程改写为当前的形式，他的大部分研究工作都是在隐居状态下完成的。1884年夏天，赫维赛德对电路中能量如何输送的问题展开了调查。他想解决这样一个问题，电流携带的能量究竟存在于电路中还是电路周围的电磁场中？

赫维赛德最终得出了一个已经由另外一位英国物理学家约翰·亨利·波因廷（John Henry Poynting）公开发表过的结论。不过，前者显然走得更远，在解决复杂的矢量微积分问题的过程中，赫维赛德碰巧找到了一种方式，可以将麦克斯韦的二十则方程重新表述为我们现在所使用的四则方程。

改写的关键在于摈弃麦克斯韦奇怪的磁矢势。“直到将所有的磁矢势抛到了九霄云外，我才逐渐有了些眉目，”赫维赛德后来这样说道。新的表述形式将电磁场置于了首要的中心地位。

此项工作所带来的成果之一便在于，它凸显了麦克斯韦方程美妙的对称性。在这四则方程组中，一则方程描述了变化的磁场如何产生电场（法拉第的发现），另一则方程则描述了变化的电场如何生成磁场（著名的位移电流理论，来自于麦克斯韦的补充）。

这种改写亦带来了一个谜团。像电子和离子这样的电荷，其周围存在从电荷本身发出的电场线。但磁场线却不存在源头：在我们的已知世界中，磁场线总是连续封闭的，既无起点，也无终点。

这样的不对称性难倒了赫维赛德，于是他补充了一个表征磁“荷”的物理量，并假定其还未被发现。事实也的确如此。从那时起，物理学家们就一直在努力寻找着也被称之为磁单极子的磁荷。不过到现在，还没有人发现它们的踪迹。

不过，磁流这种实用技巧依然可以用来解决带有某些几何性质的电磁问题，譬如解释穿过导电层狭缝的辐射行为。

如果赫维赛德已经将麦克斯韦方程完善到了这种程度，那么为什么我们不把它们叫做赫维赛德方程呢？1893年，在三卷本《电磁理论》（Electromagnetic Theory）一书第一卷的序言中，赫维赛德亲自做了解答。他写到，除非我们有充足的理由“相信，在指给他【麦克斯韦】看时，他会承认改写的必要性，不然我觉得这个后来修正的理论还是被叫做麦克斯韦理论为好。”

数学上的美感是一回事，而找到麦克斯韦理论的实验性证据则又是一回事。1879年，年仅四十八岁的麦克斯韦便撒手人寰，当时人们依然认为他的理论是不完备的。撇开可见光的光速和电磁辐射的速度似乎相当这一点不谈，没有任何实验性的证据可以表明，光是由电磁波构成的。此外，如果电磁辐射形成了光，那么麦克斯韦并没有特别点出前者所应当具备的诸多性质，即类似于反射和折射之类的行为。

物理学家乔治·弗兰西斯·菲茨杰拉德（George Francis FitzGerald）和奥利弗·洛奇（Oliver Lodge）的工作强化了电磁波与光之间的关联。这两人都是麦克斯韦《电与磁论述》一书的支持者，在麦克斯韦去世的前一年，他们结识于英国科学促进协会（British Association for the Advancement of Science）在都柏林召开的一次会议上，此后这两位物理学家便通过书信往来，展开了合作研究。他们彼此之间的通信以及与赫维赛德的通信推动了科学界对于麦克斯韦学说的理论认识。

正如历史学家亨特在自己的著作《麦克斯韦学派》（The Maxwellians）中所概括的，洛奇和菲茨杰拉德也希望发现实验证据，以支持光是一种电磁波的理论。但在当时他们并没有取得太大进展。十九世纪七十年代末，洛奇设计出了一些电路，他原本希望这些电路能够将低频电流转化为高频光，不过这样的努力以失败而告终，因为洛奇和菲茨杰拉德意识到，该方案所产生的辐射其频率过低，以致于无法用肉眼感应到。

差不多十年之后，在进行防雷实验的过程中，洛奇注意到导线旁边的放电电容会产生弧光。好奇之下，他改变了导线的长度，结果电容器中出现了夺目的闪光。他正确地推断出这就是电磁波共振所产生的现象。洛奇意识到，如果能量足够，他实际上就能够让导线周围的空气电离，这正是引人注目的驻波例证。

洛奇确信自己生成并探测到了电磁波，于是从阿尔卑斯度假一回来，他就计划在英国科学促进协会的一次会议上汇报这令人震惊的研究成果。但是，在驶出利物浦的火车上，一篇杂志文章让他意识到，自己的发现已经被其他人重现并刊发了出来。在这本1888年7月份的《物理学年刊》（Annalen der Physik）上，他读到了一篇题为《论空气中的电动力波动及其反射》的文章，论文作者是一位名不见经传的德国研究者——海因里希·赫兹（Heinrich Hertz）。

从1886年开始，身处德国卡尔斯鲁厄工业大学（即现在的卡尔斯鲁尔理工学院）的赫兹就围绕着论文课题展开了研究工作。他注意到，当通过一组线圈对电容放电时，会产生奇特的现象，即距离不远处的另一组完全相同的线圈会在其未相互连接的末端间出现弧光。赫兹意识到，未相连的线圈中所出现的闪光是由于接收电磁波所导致的，而电磁波则是由带有放电电容的线圈所激发的。

于是，倍受鼓舞的赫兹便开始利用这类线圈中的闪光，来探测不可见的射频波动。他不断进行试验，进而证实了电磁波也会展现出反射、折射、衍射和偏振等类光行为。他在真空和导线周围都做了大量的实验。赫兹还用沥青做了一块电磁波可穿透的棱镜，他用这块一米多高的棱镜来观察相对较为显著的反射和折射现象。他朝着由平行导线组成的栅格发射电磁波，进而证实了电磁波会反射或穿过栅格，具体效果取决于后者的方向。这一结果表明电磁波是横向的：和光一样，它们的振动方向垂直于传播方向。赫兹也利用大块的锌板对无线电波进行了反射，并测量了所产生的驻波中抵消零点之间的距离，进而确定了这种波动的波长。

赫兹通过测量其类似回路的发射天线上的电容量和电感量，计算出了电磁辐射的频率，再加上上面的波长数据，他就可以计算这种不可见波动的传播速度，该数值与已知的可见光传播速度十分接近。

奇妙的无线电：海因里希·赫兹利用线圈（左侧）和天线（右侧）生成并探测到了可见范围之外的电磁辐射。（图片来源：卡尔斯鲁尔理工学院档案）

麦克斯韦假设光是一种电磁波。赫兹证实了很可能整个宇宙中的不可见电磁波都拥有类似可见光的行为，它们在宇宙中的传播速度也与可见光相同。从推理的角度而言，让众人接受光本身也是一种电磁波的论断，这些启示已经足够了。

赫兹研究工作的美妙和完备大大补偿了洛奇对于被抢了头条的失望之情。于是，洛奇和菲茨杰拉德开始致力于推广赫兹的发现，他们将这一成果提交给了英国科学促进协会。很快，赫兹的工作又启发了无线电报的发明。在早期雏形阶段，这项技术所采用的发射装置与赫兹使用的宽波段火花间隙装置非常相像。

最终，科学家们接纳了电磁波能够在真空中传播的观点。由于缺少行之有效的力学机制而导致起初不受待见的场论，也在现代物理的绝大多数层面占据了核心地位。

后续的故事还要精彩得多。多亏了这些敬业科学家们的不懈努力，麦克斯韦的理论才得以在十九世纪结束之前就真正站稳了脚跟。

麦克斯韦学派的研究里程碑

1785年
夏尔-奥古斯丁·库仑（Charles-Augustin de Coulomb）发现两个电荷之间的作用力与距离的平方成反比。

1800年
亚历桑德罗·伏特首次发明了电池，这使得实验科学家们可以开始利用连续的直流电展开研究。

1820年

插图来源：维基百科

汉斯·克里斯蒂安·奥斯特发现在靠近通电导线时罗盘的指针会发生偏转，这是首个电磁之间的关联证据。

1820年
安德鲁-玛丽·安培研究发现，两根平行通电导线能够表现出相互吸引或相互排斥作用，具体作用效果取决于电流的相对方向。

1831年

插图来源：维基百科
设想电场和磁场存在的迈克尔·法拉第发现了电磁感应现象。

1831年

插图来源：Universal History Archive/盖蒂图片社
詹姆斯·克拉克·麦克斯韦出生于爱丁堡。

1855年
麦克斯韦关于法拉第观测现象及其相关理论的首篇论文面世。

1861年和1862年
麦克斯韦发表了一篇名为《论法拉第力线》的论文。该论文分为四部分，它介绍了通过表面的电通量变化可产生磁场的核心理论。

1864年
麦克斯韦向伦敦英国皇家学会递交了自己的最新研究成果，并于次年发表了论文。此项研究表明，电场和磁场能够以波的形式在空间传播，而光本身就是这样一种波动。

1873年
麦克斯韦出版了巨著《电与磁论述》，这本书包含了更进一步的数学成果和诠释工作。

1879年

插图来源：Popperfoto/盖蒂图片社
普鲁士皇家科学院发起了一项竞赛，即找到实验证据来支持或驳斥电磁波的存在，受到鼓动的海因里希·赫兹由此对麦克斯韦的研究产生了兴趣。

1879年
麦克斯韦死于胃癌，享年四十八岁。

1885年

插图来源：SSPL/盖蒂图片社
奥利弗·赫维赛德发表了精简版的麦克斯韦方程，他将二十个方程减少到了四个。

1888年
在搬到设备精良的卡尔斯鲁尔实验室之后，赫兹耗费了数年时间终于证实了麦克斯韦所预测的电磁波是实际存在的。

1940年
阿尔伯特·爱因斯坦的专著《关于理论物理基础的思考》（Considerations Concerning the Fundaments of Theoretical Physics）大大提升了“麦克斯韦方程”一词的知名度。