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导读：自《浅析5G毫米波前端滤波器，带你入门CST建模和仿真》发布以来，已有一月有余，感谢30多位同行和理工科学子加入我的CST滤波器学习专栏及VIP用户群。今天这篇文章，主要是根据我们讨论话题《材料电特性测试与仿真拟合》遇到困惑做了几点个人总结，希望能够抛砖引玉，对所有的滤波器学习者有些许帮助。如果有不当，欢迎批评指正，最后欢迎加入我的滤波器专业学习交流群。

一、写在前面

进行电磁仿真，根本目的是为了在得到实际样机前，评估其实际性能，因此仿真结果与实际样机性能的重合程度是广大电磁仿真工程师关心的重要课题。仿真结果要与实际工程结果相吻合，除了电磁仿真算法本身、仿真参数的设置、收敛程度的判断等因素，一个对结果影响很大，同时又往往为大家所忽略的一个因素是材料的物理参数的设置。

供应商给的材料参数是否靠谱，怎么样去设置仿真要用到的材料参数才能使仿真结果和实际样机相当？这里没有捷径可走，只有在实际的工程实践中一次次的去拟合仿真和实际的参数才行。为了确保拟合的准确性，就需要对材料的电特性及其测试方法，有较深入的了解。

二、金属材料的电特性

金属是电的良导体，其基本电特性当然是电导率σ(conductivity)，或者它的倒数电阻率ρ(resistivity)。电导率代表了材料传导电流的能力，电阻率则反之，代表了材料阻止传导电流的能力，所以材料越容易导电，则其电导率越大，而电阻率越小。

描述导电现象的物理定律叫做欧姆定律，它的原始形式为：I=V/R，表示当在材料上施加电压V时，会在材料上产生电流I，电流大小正比与电压大小，电压与电流的比值为电阻R，简单易懂。而在电磁学、材料学中，欧姆定律则通常用电场E、电导率σ和电流强度J表示，J=σE。导体材料电导率、电阻率的大小直接关系到电损耗的大小，电导率越大，导电损耗越小，因此金属导电率的设置直接关系到仿真结果对电损耗的计算是否靠谱。

电导率、电阻率的测试，很自然的可以想到，可以使用万用表，但是对于常用的良导体，其电阻率非常小，电阻要进入万用表量程就需要做得非常大，这样测试是不精确的，所以必须要用到灵敏度较高（毫欧甚至微欧级别）的低电阻测试仪才能测得准确。

材料学中，常用的是四探针法，使用低电阻测试仪进行测试样件的方块电阻，得到电阻率的。测试方法如下图。用4根等间距配置的探针扎在半导体表面上，由恒流源给外侧的两根探针提供一个适当小的电流I，然后测量出中间两根探针之间的电压V，就可以求出材料的电阻率。对于厚度为W（远小于长和宽）的薄半导体片，得到电阻率为ρ=ηW(V/I)，式中η是修正系数。特别，对于直径比探针间距大得多的圆片，电阻率为ρ= (π/ln2)W(V/I)= 4.532 W(V/I) [Ω/cm]，其中W用cm作单位。

该方法得到的电阻率测试精度非常高，可以满足实际的良导体测试需求。但是需要注意的是这是在直流电压下测试得到的结果，而实际我们需要仿真的情况多数为射频传输。在射频条件下，导体材料是有所谓“趋肤效应”的。

趋肤效应（集肤效应，Skin effect）：是指导体中有交流电或者交变电磁场时，导体内部的电流分布不均匀的一种现象。随着与导体表面的距离逐渐增加，导体内的电流密度呈指数衰减，即导体内的电流会集中在导体表面。从与电流方向垂直的横切面来看，导体的中心部分几乎没有电流流过，只在导体边缘的部分会有电流。产生这种效应的原因主要是变化的电磁场在导体内部产生涡旋电场，与原来的电流相抵消。

如下图，交变电流I在导体内产生交变磁场H， 由于法拉第效应，交变磁场H又产生感应电流Iw，Iw是与I反向的，因此会抵消部分。

电流密度降为表面电流密度的1/e（约37%）的深度称为趋肤深度，趋肤深度的计算公式：

ρ为电阻率，ω为信号角频率，μ为磁导率，ε为介电常数，射频情况下，角频率远小于1/ρε，所以后一个根号内的部分可略去。可见，频率越高，δ越小，电流越集中到导体表层，这一现象导致在射频情况下，相当于导体截面积变小，导致电阻率增大。

另外实际零件表面是不光滑的，如下图，在表面传播的电流，会沿着凹凸不平的表面进行传播，这就增加了电流经过的路径，因此表面粗糙度进一步增大了趋肤效应带来的电阻率增加。

当前的主流电磁场仿真工具HFSS、CST都内置了表面粗糙度的模型，如下

Hammerstad/Groisse模型，为阶梯状沟槽

Huray 模型，为雪球状突起，可以设置不同的参数

这些模型输入粗糙度均值即可进行仿真，至于仿真准确度，这就需要在实践中检验了。如何测试在射频情况下，由于趋肤效应和粗糙度引起的表面展宽呢？趋肤效应和表面粗糙度都会引起导体损耗增大，谐振腔的Q值对于这种极小的损耗变化也是敏感的，因此很适合作为测试方法。这样我们就可以通过拟合仿真和实际的Q值，来找到合适的模型和参数。谐振腔的Q值可以采用经典的3dB带宽测试法进行测试。

三、介质材料的电特性

介质材料（Dielectric material）是绝缘材料，在外加电场时没有自由电荷也就不会有传导电流，但其内部电荷会因为电场的作用而发生偏转，这就是材料的电极化，发生极化现象的材料都是介质材料。介质材料其基本的电特性是介电常数Permittivity (ε)也叫做电容率，介电常数描述了介质材料在外加电场下内部电位移场（Electric displacement field）D与外加电场E之间的关系，D=εE。

我们可以类比欧姆定律，外加电场在导体上，会形成电流，然而外加电场在介质材料即绝缘体上，不会有电流，但是材料的原子会发生电极化，电偶矩（Electric moment）内部产生电位移场D，其大小同样是正比于外加电场。对于真空，也定义一个介电常数ε0，为真空中D于E的比值，它是一个固定的标量，可以说是真空的性质，与真空中的光速这一宇宙常量挂钩。而对于介质材料，其电位移场除了真空的响应ε0E，还有由于介质材料原子本身极化而产生的部分，这部分定义为电极化密度(Electric polarization density)P，很明显它也是正比于外加电场的 :

同时这里也定义了相对介电常数εr，其等于绝对介电常数于真空介电常数的比值，常用的介电常数也是指它。

对于不同的介质材料，介电常数有不同的性质，例如对各向同性介质它是标量，而对各向异性介质它是张量。由于介质原子极化的过程对外加电场的响应需要一段响应时间，随着外加场的频率变化，其响应幅度、相位都会有变化，因此ε一定是随频率变化的函数，

常规介电常数与频率的关系，超宽频率范围，可以看到在某些频率由于原子、电子谐振，会有一些极点，一般常用射频范围内可以认为介电常数变化较小。

为了考虑幅度和相位，有必要把ε作为复数看待：

这里的δ是复数介电常数在复平面上的角度，叫做损耗角。之所以叫做损耗角，因为复介电常数的虚部，会导致场强衰减，因此发生损耗，损耗角正切值等于介质材料的介电损耗Q值的倒数。复介电常数的测试也可以使用谐振法测试，通过谐振频率，可以换算出介电常数实部，而通过谐振Q值，可以根据损耗角正切与Q值互为倒数，同时根据测得的实部可以换算出介电常数虚部，这样通过一个谐振的测试即可测试完成复数介电常数。

经典的3dB带宽法是最常用的测试谐振频率和Q值的方法，对于低损耗高Q值其测试精度很高。其原理为，谐振器的Q值等于其谐振频率除以3dB带宽。3dB带宽可以通过双端口传输参数S21直接读取，也可以通过单端口反射参数S11换算找出3dB频点。由于单端法只需要一个端口，不确定性因素减少，且可以在较弱端口加载的情况下测得3dB带宽，因此其具有天然的优势，其精确度较双端法高。

根据材料的特性，谐振器可以制作为闭腔TE模谐振器，PCB平面谐振器等适合加工与测试，同时又对介电常数敏感的形式。测试得到谐振频率、Q值后，可以使用电磁仿真软件HFSS、CST进行仿真模拟，拟合未知的材料介电常数、损耗角正切，这样就可以得到高精度的材料参数。

如果是采用介质材料制作滤波器，CSTfilter designer 3D支持Q值拟合提取功能，对谐振频率和Q值的拟合更加方便。

四、写在最后

由于篇幅原因，这里不再展开，未来我的精品课程《CST Studio Suite建模和仿真20讲》您将得到最新的CST滤波器仿真及关于滤波器相关的工程应用知识，提高仿真技巧，获得解决实际工程问题的能力。包括且不限于滤波器、连接器、全腔仿真和双工器等仿真关键技能

以下是课程安排

1、课程适应人群

根据课程的总体规划，适合所有CST零基础新手学习的快速入门教程，具体包括一下人员：

• 理工科院校学生和教师

• 射频研发工程师，具有一定的射频仿真经验

• 滤波器研发工程师

• 学习型仿真工程师

2、课程学习后的效果

• 学习CST项目模板，基本构成仿真模块组件；

• 学习创建从2D布局图，版图创建3D仿真模型；

• 掌握CST中多种导入模型修改及参数化方法；

• 在实践中掌握CST中基本的材料属性、边界条件、端口、网格、求解器设置界面；

• 在实践中掌握CST中使用后处理模板进行仿真结果处理；

• 在实践中掌握基本无源器件，如连接器的宽带S参数仿真；

• 在实践中掌握基本滤波器理论知识：耦合矩阵、品质因数Q值、输入输出耦合结构、耦合极性等；

• 学习并实践使用CST后处理模板根据内部端口导纳(Y)参数提取耦合矩阵；

• 学习并实践使用Filter Designer 3D工具进行滤波器、双工器耦合矩阵综合、耦合矩阵提取；

• 订阅用户可以获得讲师的答疑专栏（可公开提问或私问）和资料下载服务。其他用户可以加入CST交流群，一起学习理论和软件操作和行业应用。

所有订阅用户可以获得讲师的90天答疑专栏服务（可公开提问或私问），并且提供VIP群交流，后续可以根据用户需求开展免费的加餐直播。购买全套课程的用户可以获得全课程模型，PDF等资料下载服务。进群和开具发票请联系平台任意仿真小助手。

作者：Leon 滤波器专家，仿真秀专栏作者，18年+微波射频无源器件及滤波器工程经验，在滤波器领域有多个专利，曾就职于爱立信，三星等通信业500强，擅长各种微带、腔体及介质滤波器，功分器，耦合器，环行器等无源器件设计。

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