光学史上的那些人儿---菲涅尔
第二十一章 菲涅尔光学
《菲涅尔光学》
微波衍射见光明， 两镜相交显影踪。
光波横动解迷津， 数推亮斑世人奇。
1 菲涅尔与光的故事
1788年5月10日，法国诺曼底省布罗意城迎来了一位注定改变光学史的婴儿——奥古斯丁·让·菲涅耳。谁也没想到，这个在法国大革命动荡中出生的男孩，将在科学史上留下永恒的印记。
菲涅耳的童年笼罩在法国大革命的硝烟中。6岁时，因政治动荡，全家迁至偏远村庄，他接受了母亲的启蒙教育。幼年的菲涅耳体弱多病，甚至8岁仍无法流畅阅读，家人一度认为他天赋平平。然而，12岁进入卡昂中央理工学院后，他如饥似渴地学习数学与科学，天赋如春笋般破土而出。1806年，他以优异成绩从巴黎综合理工学院毕业，成为了一名土木工程师。
1815年，拿破仑百日王朝覆灭后，菲涅尔向法国科学院提交了关于衍射的第一篇论文。他创造性地将惠更斯的子波原理与干涉理论结合，提出了 “惠更斯 - 菲涅尔原理”。然而，这篇论文并未引起重视，反而招致了微粒说支持者的嘲笑。更不幸的是，因政治立场的原因，他被短暂监禁，研究陷入停滞。但命运的转折往往藏在绝境中 —— 出狱后的菲涅尔遇到了关键盟友阿拉果，这位同样坚信波动说的物理学家，成为了他科学生涯的引路人。
1818 年，法国科学院以 “光的衍射” 为题举办征文竞赛。菲涅尔在阿拉戈的鼓励下，提交了一篇长达 135 页的论文。他不仅用数学公式精确描述了圆孔、圆板衍射的图案，更突破性地提出光可能是一种横波。这一观点震动了评审委员会，其中包括牛顿学说的坚定捍卫者泊松。
泊松仔细研读论文后，用菲涅尔的方程推导出一个看似荒谬的结论：若将小圆盘置于光束中，其阴影中心竟会出现一个亮斑。“这简直是无稽之谈！” 泊松在评审会上拍案而起。面对质疑，菲涅尔和阿拉戈决定用实验验证。当光束穿过圆盘的瞬间，屏上的暗影中心果然浮现出一个明亮的光点 —— 这个被后人称为 “泊松亮斑” 的现象，成了波动说最有力的证据。菲涅尔因此荣获科学院大奖，却因过度劳累病情加重。
1821年，菲涅耳与阿拉果合作研究偏振光的干涉，发现两束垂直偏振的光无法发生干涉。这一发现证明光是横波，彻底推翻了微粒说的最后堡垒。他进一步提出菲涅耳方程，精确描述光在介质界面的反射与折射规律，为电磁理论铺路。
1822 年，他为吉伦特河口的歌杜昂灯塔设计了一种新型透镜。传统的玻璃透镜厚重且昂贵，而他将透镜的曲面分割成数千个同心环带，每个环带保留曲面的光学功能，却将厚度缩减至原来的十分之一。
1823年，第一台菲涅尔透镜在吉伦特河口灯塔点亮，光柱穿透暴风雨，拯救无数船只。这种 “螺纹透镜” 不仅让灯塔的光束射程倍增，更成为光学工程史上的里程碑。当第一束经过菲涅尔透镜聚焦的光线划破夜空时，他在给友人的信中写道：“科学的价值，在于让人类突破物质的局限，看见更远的光明。”
1827年7月14日，39岁的菲涅耳因肺结核病逝。这位终其一生与光共舞的科学家，生前见证了波动说的胜利：他被选为法国科学院院士、英国皇家学会会员，逝世前刚获得皇家学会的拉姆福德奖章。他的名字与成就被铭刻在埃菲尔铁塔上，与拉瓦锡、居里夫人等科学巨匠同列。
菲涅尔去世后，麦克斯韦用方程组证明光是一种电磁波；爱因斯坦发现光子，揭示波粒二象性。科学与历史的吊诡在于：菲涅尔为波动说奋战一生，却为量子力学埋下伏笔。今日，他的遗产无处不在
2 菲涅尔的光学理论
菲涅尔提出了光的波动理论，挑战了牛顿的微粒理论，从而彻底改变了光学。他的工作为现代光学科学奠定了基础，在理论见解、实践发明和实验验证方面做出了重要贡献。
2.1 光的波动性
菲涅尔不可避免地被基础科学深深吸引，并于1814年开始思考光的本质——它是粒子（这是牛顿这位巨擘所主张的观点）还是波动？
菲涅尔的兴趣源于阅读一篇报纸文章。1814年5月15日，他在给弟弟吕昂纳的信中写道：“几个月前我在《 Monitor》上看到毕奥向法兰西科学院提交了一篇关于光的偏振现象的非常有趣的论文。我尝试过，但始终无法理解那是什么。”决心解答教授们从未探索过的疑问，他让弟弟寄来一些书籍。然而，一年后的1815年7月12日，他在给好友兼引路人阿拉戈的信中坦承：“我不知晓有任何一本书能系统描述所有关于光的实验。菲涅尔先生只能通过研读格里马尔迪和牛顿的著作，以及布鲁姆和杨的论文，来熟悉光学的这一领域。”倍感挫败的菲涅尔于同年9月23日回信道：
As for the work of Young, I had a strong urge to read it, but I don’t know English, so I can only understand it with the help of my younger brother. When he is not here, the book becomes unintelligible to me.
“至于杨的著作，我曾迫切想阅读，但不懂英语，只能依靠弟弟帮助翻译才能理解。当他不在身边时，这本书对我来说就成了天书。”然而，菲涅尔当时并未预料到，他最终会成为自己渴望阅读的那本书的撰写者。
1815年秋，菲涅尔将阳光通过一滴蜂蜜（作为高度凸透镜）聚焦，在焦点附近放置铁丝或薄片，随后在白硬纸板上观察由此产生的阴影和条纹——更精确地说，他是通过放大镜和位于焦点处的原始双线测微计进行观测（从而达到1/40毫米的精度）。他首先研究了外部条纹，这些条纹最容易被观察。随后，他转向内部条纹的观测。他意识到（正如杨之前发现的那样），当光线被遮挡在铁丝的一侧时，这些条纹便会消失。他由此得出结论：
I at once had the following thought: since intercepting the light from one side of the wire makes the internal fringes disappear, the concurrence of the rays that arrive from both sides is therefore necessary to produce them.
我随即想到：既然遮挡铁丝一侧的光线会使内部条纹消失，那么这些条纹的产生必然需要来自铁丝两侧光线的协同作用。
几年后，阿拉果根据杨氏确立的原理，将这种“协同作用”命名为“干涉”。正是这种干涉现象解释了暗条纹的成因
The vibrations of two rays that cross each other at a very small angle can contradict each other when the crest of one corresponds to the trough of the other。
当两列以极小角度交叉的光线相遇时，若一列的波峰恰好对应另一列的波谷，它们的振动就会相互抵消。
菲涅尔于1815年10月15日提交给科学院的论文中，提到通过叠加细线或刀片末端发射的圆形波来构建内部条纹，而外部条纹则通过叠加光源点发射的波与某一端点发射的圆形波。如图1，来自远处点光源 O（未标示，位于虚线交汇处）的光被刀片 AB 衍射。外部条纹 F₁ 和 F₂ 通过两组源自 O 点和边缘 A 或 B 的圆形波（波的轨迹）的连续交点形成。内部条纹 f₁, f₂, f₃, f₄, f₅ 则通过源自边缘 A 和 B 的波的连续交点形成。
图1 菲涅尔关于刀片后方衍射条纹的构造
用他惯用的“光线语言”描述，他将一条弯曲的光线与另一条弯曲光线或一条直接光线进行叠加（见图2）。刀片为AA’，直射光线RF与反射光线AF之间的干涉导致外部条纹的形成。弯曲光线AM与A’M之间的干涉则导致内部条纹的形成。
图2 菲涅尔关于刀片衍射的光线图。
通过假设反射光线存在180°的相位反转，他成功地与观察到的条纹移动的现象和理论相吻合。他特别强调外部条纹的双曲线形状是牛顿理论错误的最有力证据。
2.2 惠更斯-菲涅尔原理
惠更斯-菲涅尔原理是波动光学中的一个关键概念。 它指出，波阵面上的每一个点都可以被认为是次级球面波的源。 这些小波的叠加决定了稍后时间的波的振幅。 惠更斯原理无法解释衍射现象的强度分布。菲涅尔通过添加干涉的概念来改进惠更斯原理，使其成为理解衍射和其他波动现象的强大工具。
菲涅尔添加了两个关键概念
1）振幅因子 (K(θ)): 每个小波的振幅都取决于小波传播方向与原始波阵面传播方向之间的角度 (θ)。 这个因素至关重要，因为惠更斯最初的原理无法解释为什么波不会向后传播。
2）干涉： 次级小波相互干涉。 这意味着在计算某点的总振幅时，我们需要考虑每个小波的相位。
让我们考虑时间 t 的波阵面 Σ。 我们想找到稍后时间 t’ 的点 P 的振幅。假设：单色光（单一频率，ω），标量波（暂时忽略偏振 - 简化）
P点的振幅：时间 t’ 时点 P 的振幅可以表示为对波阵面 Σ 的积分：
（1）
其中：
为时间 t’ 时点 P 的复振幅；
U(Q, t)为时间 t 时波阵面 Σ 上点 Q 的复振幅， 这表示源自 Q 点的次级小波的强度；
A是一个取决于源强度的常数。 为了简单起见，通常归一化为 1；
λ是光的波长；
k = 2π/λ为波数；
r 是从波阵面 Σ 上的点 Q 到点 P 的距离。
dS表示波阵面 Σ 上的无限小面积元素。
i为虚数单位 (√-1)。
exp(ikr) = cos(kr) + i sin(kr) 表示小波的相位。 kr 项表示由于传播距离 r 引起的相移。
K(θ)表示倾斜因子或菲涅尔倾斜因子。 它解释了次级小波的振幅对角度的依赖性。 一个常见的近似值是：K(θ) = (1 + cos θ)/2。 这确保了小波主要向前传播。
对于式子中的每一项的物理意义可以做如下解释：
U(Q, t) / r 这一项表示次级小波的振幅随着与源点 Q 的距离 r 成反比地减小（类似于声音强度随着距离的增加而减小）。
exp(ikr) 此项解释了小波从 Q 传播到 P 时的相位。 相位以每单位距离 k 弧度的速度变化。
K(θ) 此因子校正了次级小波不是各向同性发射（在所有方向上均匀）的事实。 它们在正向方向 (θ = 0) 最强，并随着 θ 增大而减小。
dS 我们对整个波阵面 Σ 进行积分，以对来自所有次级小波的贡献求和。
1/(iλ) 引入此因子是为了确保当将惠更斯-菲涅尔原理应用于平面波时，它能简化为对自由空间传播的正确描述。 这源于考虑边界条件并求解波动方程。
此式即为惠更斯-菲涅耳原理的积分公式。
2.3泊松亮斑
1819年，菲涅尔首次获得学术奖项。法国科学院早在两年前就决定将两年一度的数学科学大奖（Grand Prix of Mathematical Sciences）授予对衍射现象的实验与理论研究。在阿拉果和安培的鼓励下，菲涅尔提交了一篇论文并最终获奖。评审团成员包括支持发射理论的拉普拉斯（Laplace）、毕奥（Biot）和泊松（Poisson），以及支持波动理论的阿拉果和盖-吕萨克（Gay-Lussac）。在获奖论文中，菲涅尔重新阐述了惠更斯原理，强调其深度与重要性。这一理论后来被称为惠更斯-菲涅耳原理 。
然而，当泊松指出根据波动理论，小圆盘阴影中心应出现悖论性的亮点（因波峰在该点相干叠加）时，现场一片哗然。菲涅尔随后通过实验验证了这一预测（如图3所示），这一现象即著名的“泊松亮斑”（Poisson spot），成为波动理论的决定性证据。
图3 泊松亮斑
泊松亮斑的推导表明了惠更斯-菲涅尔原理如何预测在一个圆形不透明物体投下的阴影中心出现一个亮点。 这种看似违反直觉的结果为光的波动性提供了强有力的证据，并且是菲涅尔波动理论的一大胜利。
2.4 光的偏振
1817年初，菲涅尔研究了完全反射导致的光去偏振现象（depolarization of light by complete reflection）。通过让去偏振光通过色偏振装置，他发现这种光实际上是由两束垂直偏振方向的光混合而成，且两者的相位差与去偏振反射的次数密切相关。这些研究促使他深入探讨两束具有确定相位差的偏振光叠加规则。他沿袭了杨早先的假设，认为光波是正弦波，其相位依赖于光在介质中传播的速度。此外，他假设：当双折射装置的主平面与原偏振方向成 𝑦 角时，寻常振动的振幅为 𝑎cos𝑦，非寻常振动的振幅为 𝑎sin𝑦，这与马吕斯定律（Malus’s law）对强度的描述一致。菲涅尔最初通过矢量合成类比来论证这一规则，但很快更倾向于用能量守恒解释。结合正弦振幅的相位差，他推导了特定情况下最终的光强
在色偏振现象中，结合了偏振方向、晶体轴角度、分析器角度以及光波的相位差，菲涅尔通过严格的数学推导，提出了描述光强分布的通用公式。
(2)
其中，i 为原始偏振方向与薄片光轴的夹角，a 为起偏器与检偏器的夹角，φ为给定波长下寻常光与非寻常光的相位差（以原始强度为强度单位）。推导过程始于薄片将原始振动分解为寻常光(o光)振幅 
。和非寻常光(e光)振幅
。检偏器随后将这些分量合成为组合振动：
(3)
菲涅尔通过严格的数学推导，将偏振方向分解、相位差与分析器作用统一为强度公式，成功解释了复杂实验现象（如多层晶体的干涉）。这一工作不仅验证了波动理论的普适性，还为后续电磁理论中光的横波特性提供了数学基础。
2.5 折射定律
1821 年夏，菲涅尔在其色偏振论文的附录中给出了两种透明介质界面处部分反射光的强度规则。由于入射波总可视为平行于入射面振动与垂直于入射面振动的叠加，菲涅尔针对这两种情况展开研究。对于垂直分量的情况，他借鉴了托马斯・杨早期基于能量和动量守恒的推导思路，从而获得了表达式：
(4)
这是对于反射光
与入射光
的强度比，菲涅尔给出了表达式。在振动在入射面内的情况下，他给出了如下公式：
(5)
在未给出证明的情况下，菲涅尔假设振动方向垂直于传统偏振面，并发现这些公式与阿拉戈的强度测量结果、布儒斯特起偏角定律，以及他本人关于反射时偏振面旋转的测量结果一致。
两年后（1823年），菲涅尔对这两个公式给出了根本性的推导，并将其扩展到完全反射导致的去偏振现象。 结合折射定律
能量守恒和平行分量连续：
界面两侧总振动的平行分量（即切向分量）必须相等。
这两个条件，可以推导出菲涅尔公式。由于入射光的偏振方向会影响反射和透射行为，菲涅尔公式通常分为两种情况：
s偏振（垂直偏振或TE偏振）： 电场矢量垂直于入射面（由入射光线和界面法线构成的平面）。s偏振（TE）：
p偏振（平行偏振或TM偏振）： 电场矢量平行于入射面。p偏振（TM）：
菲涅尔公式是波动光学的核心组成部分，它提供了一个强大的工具来理解和预测光在不同介质界面上的行为。
附21菲涅尔简介
奥古斯丁・让・菲涅尔（Augustin-Jean Fresnel）（1788年5月10日—1827年7月14日）是法国物理学家、数学家和土木工程师，被誉为“物理光学的缔造者”。他的科学贡献彻底改变了人类对光的理解，奠定了波动光学的理论基础，并推动了光学技术的革新。
他对光学的发展做出了革命性的贡献。 他最著名的成就是复兴了光的波动理论，并提供了强有力的证据来支持它，从而推翻了长期占据主导地位的牛顿的微粒理论。 他在衍射、干涉、偏振等方面的研究，不仅深化了我们对光的本质的理解，也为现代光学技术的发展奠定了坚实的基础。
菲涅尔于1788年5月10日出生于法国布罗格利（Broglie）。他早年学习进展缓慢，直到12岁才开始展现出学术天赋。他的家庭是虔诚的詹森主义者，这种信仰影响了他的人生观和价值观。
16 岁进入著名的巴黎综合理工学院（École Polytechnique）接受了严格的科学教育，并在桥梁与道路学院（École des Ponts et Chaussées）继续深造，成为一名土木工程师。早期兴趣集中于工程学，曾参与拿破仑时期法国道路网建设。
1814年因反对拿破仑复辟被革职并短暂入狱，流放期间转向光学研究，这一“失业期”成为他科学生涯的起点。
1815 年提交首篇衍射论文，将惠更斯子波原理与干涉结合，创立 “惠更斯 - 菲涅尔原理”。
1818年法国科学院竞赛中，针对“光的衍射”课题，菲涅耳的理论遭到微粒说支持者泊松的质疑。泊松指出，若波动说正确，圆盘阴影中心会出现“荒谬的亮斑”。但阿拉果的实验验证了这一现象（后称“泊松亮斑”），成为波动说的决定性证据。
1821 年提出光的横波理论，与阿拉戈合作解释偏振现象，彻底革新光学认知。
1823 年当选法国科学院院士，1825 年成为英国皇家学会会员。评委会特别注明：“我们接纳的是他的数学才华，而非波动理论。”然而历史证明，波动说最终彻底取代了微粒说。
1825年成为英国皇家学会会员，1827年因在光学领域的杰出贡献获得伦敦皇家学会伦福德奖章。然而，他因长期疾病缠身，于1827年7月14日在阿夫赖城逝世，享年39岁。
菲涅耳以短暂一生将光学从哲学争论推向精密科学，其理论与技术至今仍在光学、通信、工程等领域影响深远。他的故事是科学史上“在黑暗中寻找光芒”的典范——从微粒说的质疑到波动说的胜利，从理论突破到技术革新，菲涅耳用数学与实验的光芒，照亮了人类探索自然本质的道路。
