第三次作业参考答案

一、方程求解

1、必做题

  ■ 解答：

  （1） 系统的完全解

  使用经典三部曲方法求解系统的完全解。

  微分方程的对应的齐次方程的特征方程为：

  方程有两个单根：  。因此，方程的齐次解为：

  根据输入信号的形式，它是一个指数信号，并与齐次解中的两个指数信号不同，所以，对应特接的一般表达式为：

  带入原方程右边，进行化简，并求特接中的待定系数：

  所以特解为 0。可以得到系统的完全解为：

  使用奇异函数匹配方法，确定  。根据方程右边的表达式以及输入信号的形式，确定方程右边在  之间的奇异函数为：

  因此，方程右边最高导数项 的奇异函数以及各界导数的一般表达式为：

  带入方程的，进行化简：

  根据方程左右奇异函数同项系数平衡，可以得到   . 所以：

  利用得到的初始条件  ，代入完全解，可以得到：

  可以求得   。系统的完全解为：

可以使用Laplace变换求系统的完全解，对应的程序如下。

  （2）   完全解中的自由响应、强迫响应、瞬态响应、稳态响应如下：

• 自由响应：  ${e^{{ - 4t}} + {e}{ - t}}$ 。
• 强迫响应： 0。
• 瞬态响应： ${e^{{ - 4t}} + {e}{ - t}}$ 。
• 稳态响应：0。

  根据完全解以及  ，可以求取系统的零输入响应：

  因此，系统的零输入响应为：

  系统的零状态响应为：

  （3）

□ 求系统的单位冲激响应

  下面求系统的单位冲激响应。根据前面求取完全解的过程，可以知道对于系统的完全解就是它对应的齐次解。根据奇异函数匹配方法，确定系统的初始条件   。在输入为单位冲激函数的时候，微分方程右边奇异函数最高导数项为   ，因此，方程左边各阶导数的奇异函数的一般形式为：

  带入微分方程左边，化简之后为：

  对比方程左右两边的奇异函数系数，

  由此，可以得到系统的初始条件：

  将上述初始条件，代入完全解

  因此，系统的单位冲激响应为：

□ 求系统的单位阶跃响应

• 经典求解方法（三部曲方法）

  微分方程的齐次解与前面求解单位冲激响应对应的齐次解是相通的。由于输入信号为  ，所以有对应的特解常量，设为   。带入方程左右：  ，可以得到对应的特解   。由此，微分方程的完全解为：

  根据奇异函数匹配方法，求系统的初始条件：  。将  代入方程的右边，得到奇异函数最高导数项为  ，所以，方程左边输出信号各阶导数的奇异函数一般形式为：

  代入方程，化简可得：

  对比方程左右奇异函数系数，可得：

  因此，系统的初始条件为：

  代入完全解

  因此，系统的单位阶跃响应为

• 积分方法 ： 根据LTI系统的微分特性，它的单位阶跃响应可以通过对单位冲激响应积分而得

• Laplace方法

  ■ 解答：

  （1） 使用经典的三部曲方法求差分方程的解。

  根据方程的齐次方程形式，得到对应的特征方程， ，得到两个特征根：  。方程的齐次解为：

  根据输入信号，可以知道方程的特解形式为：  。代入方程，求得特解系数：

  系统的完全解为：

  将上述初始条件代入完全解

  求解方程可得

  系统的完全解

  （2）

• 自由响应
  

• 强迫响应

• 瞬态响应 ： 系统中的各个分量都随着n增加而指数增加，所以系统没有瞬态解。

• 稳态响应 ： 系统中各个分量都随着n增加而存在，可以认为都是稳态接。

  （3）

  可以根据定义分别求出系统的零输入响应，零状态响应。为了为了节省篇幅，这里就直接给出求解结果。

• 零输入响应：

• 零状态响应：

  ■ 解答：

  求齐次解，系统的特征方程为：

  对应的特征根为：   。齐次解的一般形式为

  根据输入信号，可以得到对应的特解的一般形式

  代入方程

  可以得到

  根据方程左右两边不同函数项的稀土相平衡，可以得到

  所以特解为

  系统的完全解为：

  将系统的初始条件  代入完全解，求其中的待定系数，

  可以求解得到   。所以系统的完全解为：

2、选做题

  ■ 解答：

  参见前面第一题中的第3小问。（这个选做题实际上与前面第一小题重复了）

  ■ 解答：

  将   代入微分方程的右边，可以得到

  对上述微分方程进行求解。便可以得到系统的单位冲激响应  。中间求解过程省略了，给出最终的答案如下：

二、建立系统模型方程

1、必做题

  ■ 解答：

  电路中，R1与L1是并联，它们两端电压相等，所以有：

  根据电路中的点数，可以得到

  根据电路网络结构，由 KVL，VCR可以得到：

  进行化简

  根据前面表达式，先消掉  ，得到  的微分方程

  下面，再根据前面的表达式，消去 

  最终，根据前面的表达式，消去  ，最终整理得到  的微分方程

注：  可以采用算子方法或者电路的s域模型来简化微分方程的建立。详细参加一下两个博文：

• 建立线性动态电路的微分方程^[4]

• 建立电路的微分方程：利用s域模型建立^[5]

2、选做题

  ■ 解答：

本题来自课件 6.1.1.3.2【系统函数应用2】上的例题。

  设初级回路电流为   ，次级回路的电流为  。根据 Kirchhoff定理列写回路方程：

  利用算子方法，将上面微分方程修改为算子方程：

  消去其中的   ，可以得到：

  对应的微分方程为：

  在   的情况下，通过求解微分方程，可以得到  的表达式：

  如下是输出信号的波形：

  □ 解答：

  本题的求解和仿真，可以参见  辅导视频 SS2024-HW3：根据波形建立差分方程^[6] 。辅导视频为：

  下面给出具体求解结果。序列对应的差分方程为：

  其中  。四个起始条件为：

  利用上述差分方程和起始条件，便可以产生题目所需要的序列波形。

三、系统分析

1、必做题

  ■ 解答：

第一种求解方法

  （1） 第一小问

  根据系统在 u(t) 作用下，系统输出包含有齐次解和特解。根据系统的响应表达式，可以知道，前面两项属于齐次解，后面为特解。由此，可以得到系统差分方程对应的特征方程为：

  由此，可以确差分方程左边输出信号的表达式。假设差分方程的表达式为

  其中 a,b,c 是差分方程 右边输入信号的多项式待定系数。根据已知  ，写出对应的三个方程，可以求解出 a,b,c。

  在 n=0 时，根据差分方程以及  的表达式，可以得到

  由此，可以得到  。根据同样的道理，分别根据  ，列些出对应的方程，分别求出 

  所以 b=-86.7。

  所以 c=141.01。最终可以得到描述系统的二阶差分方程为

  （2） 第二小文

  根据系统的 LTI，所以在   作用下所得到的系统输出为

2、选做题

  ■ 解答：

  （1）第一小问

  将系统的输出分解成零输入响应和零状态响应。两次结果中的零输入响应是相同的：

  由于系统两次输入信号之间是导数关系，所以两次系统的零状态响应之间也是导数关系

因此，

  通过求解上述微分方程，可以得到系统的零状态响应

  再根据   ，可以得到系统的零输入响应

  （2）第二小问

  由于   ，根据  可以得到系统的单位冲激响应

  那么，在  作用下，系统的零状态响应为

  这样，在  作用下，系统的完全响应

四、计算卷积

  ■ 解答：

  （1）

  （2）

  （3）

  第一部分积分结果：

  第二部分积分结果：

  第三部分积分结果：

  第四部分积分结果：

  根据不同时间段，合并上面各项多项式，得到卷积结果：

  （4）