圆柱电池极片卷绕:等速螺线的弧长、圆心角计算

锂电联盟会长 2025-03-22 09:00

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等速螺线 

在圆柱形锂离子电池的设计与制造中,极片以卷绕的方式组装在电池内部。这种紧凑的结构能够在有限的空间内实现最大的极片面积,从而提升电池的容量和能量密度。而极片卷绕的截面轨迹,在理想情况下,可以用一种特殊的曲线——等速螺线(也称为阿基米德螺线)来精确描述。
等速螺线在极坐标下数学表达式:r = a + bθ
其中:
r:代表极径,即从螺线的中心(卷绕中心)到曲线上任意一点的距离。
a: 代表螺线的起始极径,可以理解为卷绕开始时的初始半径。
b:代表单位圆心角下极径的增加长度,决定了螺线扩张的速率。每当极角 θ 增加一个单位弧度,极径 r 就增加 b。
 θ:代表极角,是描述点在极坐标系中角度位置的变量。

弧长计算:
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经过三角换元后得到弧长最终表达式(换元过程参考在知乎的回答question/27384632/answer/1450765671):

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当已知弧长 S需要求解终点圆心角theta-solution 时,我们需要解方程 S = L(a, b, theta-solution) - L(a, b, θ_start)。由于上述弧长表达式较为复杂,直接反解 θ_solution 没有初等函数形式的解,因此通常需要采用数值法进行求解,如牛顿迭代法等。
Matlab代码实现

已知弧长求解角度:
function [theta_solution,r_solution]=solve_theta(a,b,theta_start,s_know)= @(a,b,theta) (b.^2*theta+a.*b)./(2*b.^2).*sqrt(b.^2*theta.^2+2*a.*b.*theta+a.^2+b.^2)...    +b./2.*log(abs(b.*theta+a+sqrt(b.^2*theta.^2+2*a.*b.*theta+a.^2+b.^2)));arc_length =@(a,b,theta_start,theta_end) L(a,b,theta_end)-L(a,b,theta_start);theta_guess = s_know / sqrt((a + b*0)^2 + b^2);options = optimset('TolX',1e-6);theta_solution = fzero(@(theta) arc_length(a,b,theta_start,theta) - s_know, theta_guess, options);r_solution=a+b*theta_solution;%% 绘图theta_plot=linspace(theta_start,theta_solution,2000);r_plot=a+b.*theta_plot;x_plot=r_plot.*cos(theta_plot);y_plot=r_plot.*sin(theta_plot);figureplot(x_plot,y_plot,'-',LineWidth=2)xlabel('x');ylabel('y');maxR = max(r_plot);xlim([-maxR*1.1, maxR*1.1]);ylim([-maxR*1.1, maxR*1.1]);axis square;grid on;title(sprintf('theta_{solution}=%.3f(%.2f pi) r_{solution}=%.3f',theta_solution,theta_solution/pi,r_solution))end

已知角度求解弧长:
function [arc_length]=solve_arc(a,b,theta_start,theta_end)= @(a,b,theta) (b.^2*theta+a.*b)./(2*b.^2).*sqrt(b.^2*theta.^2+2*a.*b.*theta+a.^2+b.^2)...    +b./2.*log(abs(b.*theta+a+sqrt(b.^2*theta.^2+2*a.*b.*theta+a.^2+b.^2)));arc_length = L(a,b,theta_end)-L(a,b,theta_start);%% 绘图theta_plot=linspace(theta_start,theta_end,2000);r_plot=a+b.*theta_plot;x_plot=r_plot.*cos(theta_plot);y_plot=r_plot.*sin(theta_plot);figureplot(x_plot,y_plot,'-',LineWidth=2)xlabel('x');ylabel('y');maxR = max(r_plot);xlim([-maxR*1.1, maxR*1.1]);ylim([-maxR*1.1, maxR*1.1]);axis square;grid on;title(sprintf('arc_{length}=%.3f',arc_length));end
运行效果如下:
a=0;b=0.005;theta_start=0;s_know=9.883;[theta_solution,r_solution]=solve_theta(a,b,theta_start,s_know);theta_end=20*pi;[arc_length]=solve_arc(a,b,theta_start,theta_end);
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有了上述两个函数之后,就可以方便计算多极耳位置与焊线位置等参数。
html实现

由于js没有matlab中的求零点函数,已知弧长反解角度时采用Newton(牛顿)迭代法求解。
其基本迭代表达式为:
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function solveThetaNewton(a, b, theta_start, s_know) {  // 定义 f(theta),要求解 f(theta)= 0,即满足 arc_length(a, b, theta_start, theta) - s_know = 0  function f(theta) {    return arc_length(a, b, theta_start, theta) - s_know;  }  // 定义 f(theta) 关于 theta 的导数 f'(theta)  // 由于 L(a, b, theta) 的导数正好是积分所用的被积函数,所以:  // f′(theta) = d/dtheta L(a, b, theta) = sqrt(b^2 * theta^2 + 2*a*b*theta + a^2 + b^2)  function fp(theta) {    return Math.sqrt(b * b * theta * theta + 2 * a * b * theta + a * a + b * b);  }  // 初始化 theta 的猜测值  // 当 theta 较小时,arc_length(a,b, theta_start, theta) 近似为 fp(0)*theta,  // 因此可取 theta ≈ s_know / fp(0) 作为初始值  let theta = s_know / fp(0);  const tolerance = 1e-6;    // 收敛容限,迭代停止条件:|f(theta)| < tolerance  const maxIterations = 100// 最大迭代次数  let iteration = 0;    // 牛顿迭代法:theta_new = theta_old - f(theta_old) / fp(theta_old)  while (Math.abs(f(theta)) > tolerance && iteration < maxIterations) {    theta = theta - f(theta) / fp(theta);    iteration++;  }  return theta;}

完整代码:
html><html><head>  <meta charset="UTF-8">  <title>Spiral Calculationstitle>    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">  <script src="https://cdn.plot.ly/plotly-latest.min.js">script>  <style>    htmlbody {      height100%;      margin0;    }    /* 标题栏样式 */    .header {      background#007bff;      color: white;      font-size24px;      text-align: center;      padding15px;      box-sizing: border-box;    }    /* 整个容器充满视窗,并按垂直方向排列 */    .container {      heightcalc(100vh - 65px); /* 减去标题栏高度 */      width100%;      display: flex;      flex-direction: column;    }    /* 每个功能模块:带有左右参数与图形的水平两栏 */    .section {      overflow: auto;      border1px solid #ccc;      box-sizing: border-box;    }    /* 初始高度各占50% */    #section1#section2 {      height50%;    }    /* 横向两栏布局 */    .horizontal {      display: flex;      flex-direction: row;      flex-wrap: wrap;    }    .param-col.plot-col {      flex1;      padding15px;      box-sizing: border-box;      min-width250px;    }    .param-col {      border-right1px solid #ccc;    }    /* 小屏幕时调整为纵向布局 */    @media (max-width600px) {      .horizontal {        flex-direction: column;      }      .param-col.plot-col {        width100%;        border-right: none;        border-bottom1px solid #ccc;      }    }    /* 分隔条样式 */    .splitter {      height5px;      background#ccc;      cursor: row-resize;    }    .input-group {      margin-bottom10px;    }    label {      display: inline-block;      width150px;      text-align: right;      margin-right10px;    }    input[type="text"]input[type="number"] {      width150px;      padding5px;      border-radius3px;      border1px solid #ddd;    }    button {      padding8px 15px;      margin-top10px;      border: none;      border-radius3px;      background-color#007bff;      color: white;      cursor: pointer;    }    button:hover {      background-color#0056b3;    }    .output {      margin-top10px;      font-weight: bold;    }    .plotly-graph-div {      width100%;      heightcalc(100% - 40px); /* 留出部分高度给标题和按钮 */    }  style>head><body>    <div class="header">      求解等速螺线相关参数 (r=a+bθ)  div>    <div class="container">        <div id="section1" class="section horizontal">      <div class="param-col">        <h2>Solve for Thetah2>        <div class="input-group">          <label for="theta_a">a:label>          <input type="text" id="theta_a" value="0">        div>        <div class="input-group">          <label for="theta_b">b:label>          <input type="text" id="theta_b" value="0.005">        div>        <div class="input-group">          <label for="theta_start">theta_start:label>          <input type="text" id="theta_start" value="0">        div>        <div class="input-group">          <label for="s_know">arc_length_know:label>          <input type="text" id="s_know" value="10">        div>        <div class="input-group">          <label for="theta_numPoints">Plot Points:label>          <input type="text" id="theta_numPoints" value="2000">        div>        <button onclick="calculateTheta()">Calculate Thetabutton>        <div class="output">          Theta Solution: <span id="theta_solution_output">span>        div>        <div class="output">          Radius Solution: <span id="r_solution_output">span>        div>      div>      <div class="plot-col">        <div id="theta_plot" class="plotly-graph-div">div>                <button onclick="exportData('theta_plot')">Export Databutton>      div>    div>        <div id="splitter" class="splitter">div>        <div id="section2" class="section horizontal">      <div class="param-col">        <h2>Solve for Arc Lengthh2>        <div class="input-group">          <label for="arc_a">a:label>          <input type="text" id="arc_a" value="0">        div>        <div class="input-group">          <label for="arc_b">b:label>          <input type="text" id="arc_b" value="0.005">        div>        <div class="input-group">          <label for="arc_start">theta_start:label>          <input type="text" id="arc_start" value="0">        div>        <div class="input-group">          <label for="arc_end">theta_end:label>          <input type="text" id="arc_end" value="20*Math.PI">        div>        <div class="input-group">          <label for="arc_numPoints">Plot Points:label>          <input type="text" id="arc_numPoints" value="2000">        div>        <button onclick="calculateArcLength()">Calculate Arc Lengthbutton>        <div class="output">          Arc Length: <span id="arc_length_output">span>        div>      div>      <div class="plot-col">        <div id="arc_plot" class="plotly-graph-div">div>                <button onclick="exportData('arc_plot')">Export Databutton>      div>    div>  div>    <script>    // 全局对象,用于存储每个绘图区域的导出数据    let exportDataMap = {};    // --- 数值求解与绘图相关函数 ---    // 对用户输入表达式求值(支持比如 "2*Math.PI")    function evaluateInput(expression) {      try {        return eval(expression);      } catch (error) {        console.error("Invalid input:", error);        alert("Invalid input: Please enter valid numbers or mathematical expressions.");        return NaN;      }    }    // 定义 L(a, b, theta) 为积分原函数    function L(a, b, theta) {      const sqrtPart = Math.sqrt(b * b * theta * theta + 2 * a * b * theta + a * a + b * b);      const logPart = Math.log(Math.abs(b * theta + a + sqrtPart));      return ((b * b * theta + a * b) / (2 * b * b)) * sqrtPart + (b / 2) * logPart;    }    // 弧长计算: arc_length = L(a, b, theta_end) - L(a, b, theta_start)    function arc_length(a, b, theta_start, theta_end) {      return L(a, b, theta_end) - L(a, b, theta_start);    }    // 使用 Newton 法求解 f(theta)=arc_length(a,b,theta_start,theta)-s_know = 0    function solveThetaNewton(a, b, theta_start, s_know) {      function f(theta) {        return arc_length(a, b, theta_start, theta) - s_know;      }      // f'(theta) = d/dtheta L(a, b, theta) = sqrt(b^2*theta^2 + 2*a*b*theta + a^2 + b^2)      function fp(theta) {        return Math.sqrt(b * b * theta * theta + 2 * a * b * theta + a * a + b * b);      }      // 初始猜测:使用 s_know 除以 fp(0)      let theta = s_know / fp(0);      const tolerance = 1e-6;      const maxIterations = 500;      let iteration = 0;      while (Math.abs(f(theta)) > tolerance && iteration < maxIterations) {        theta = theta - f(theta) / fp(theta);        iteration++;      }      return theta;    }    function calculateTheta() {      const a = evaluateInput(document.getElementById('theta_a').value);      const b = evaluateInput(document.getElementById('theta_b').value);      const theta_start = evaluateInput(document.getElementById('theta_start').value);      const s_know = evaluateInput(document.getElementById('s_know').value);      const numPoints = evaluateInput(document.getElementById('theta_numPoints').value);      if (isNaN(a) || isNaN(b) || isNaN(theta_start) || isNaN(s_know) || isNaN(numPoints)) return;      const theta_solution = solveThetaNewton(a, b, theta_start, s_know);      const r_solution = a + b * theta_solution;      document.getElementById('theta_solution_output').textContent =        theta_solution.toFixed(3) + ' (' + (theta_solution / Math.PI).toFixed(2) + ' π)';      document.getElementById('r_solution_output').textContent = r_solution.toFixed(3);      drawSpiral('theta_plot', a, b, theta_start, theta_solution, numPoints);    }    function calculateArcLength() {      const a = evaluateInput(document.getElementById('arc_a').value);      const b = evaluateInput(document.getElementById('arc_b').value);      const theta_start = evaluateInput(document.getElementById('arc_start').value);      const theta_end = evaluateInput(document.getElementById('arc_end').value);      const numPoints = evaluateInput(document.getElementById('arc_numPoints').value);      if (isNaN(a) || isNaN(b) || isNaN(theta_start) || isNaN(theta_end) || isNaN(numPoints)) return;      const length = arc_length(a, b, theta_start, theta_end);      document.getElementById('arc_length_output').textContent = length.toFixed(3);      drawSpiral('arc_plot', a, b, theta_start, theta_end, numPoints);    }    // 绘制螺旋曲线:将极坐标转换为直角坐标,并调用 Plotly 绘图    // 同时将绘图数据保存到 exportDataMap 中    function drawSpiral(plotDivId, a, b, thetaStart, thetaEnd, numPoints) {      const theta_values = [];      const r_values = [];      const x_values = [];      const y_values = [];      for (let i = 0; i < numPoints; i++) {        const theta = thetaStart + (thetaEnd - thetaStart) * i / (numPoints - 1);        const r = a + b * theta;        theta_values.push(theta);        r_values.push(r);        x_values.push(r * Math.cos(theta));        y_values.push(r * Math.sin(theta));      }      // 保存数据用于导出      exportDataMap[plotDivId] = {        theta: theta_values,        r: r_values,        x: x_values,        y: y_values      };      const data = [{        x: x_values,        y: y_values,        mode'lines',        type'scatter',        line: { width2 }      }];      const layout = {        xaxis: {          title'x',          scaleanchor'y',          scaleratio1        },        yaxis: { title'y' },        title`Spiral (a=${a}, b=${b})`,        autosizetrue,        margin: { l50r50b50t70pad4 },        shapes: [{          type'circle',          xref'x',          yref'y',          x0: -Math.max(...r_values) * 1.1,          y0: -Math.max(...r_values) * 1.1,          x1Math.max(...r_values) * 1.1,          y1Math.max(...r_values) * 1.1,          opacity0.2,          line: { color'lightgray'width1dash'dot' }        }]      };      Plotly.newPlot(plotDivId, data, layout, { responsivetrue });    }        // 导出数据函数,生成 CSV 文件格式:4 列(theta, r, x, y)    function exportData(plotDivId) {      const dataObj = exportDataMap[plotDivId];      if (!dataObj) {        alert("当前没有可导出的数据!");        return;      }      const { theta, r, x, y } = dataObj;      let csvContent = "data:text/csv;charset=utf-8,";      csvContent += "theta,r,x,y\n"// CSV 表头      const numRows = theta.length;      for (let i = 0; i < numRows; i++) {        csvContent += `${theta[i]},${r[i]},${x[i]},${y[i]}\n`;      }      // 创建下载链接并自动触发下载动作      const encodedUri = encodeURI(csvContent);      const link = document.createElement("a");      link.setAttribute("href", encodedUri);      link.setAttribute("download"`${plotDivId}_data.csv`);      document.body.appendChild(link); // 需要将链接添加到DOM中才能触发点击      link.click();      document.body.removeChild(link);    }        // --- 分隔条(上下模块高度调节)实现 ---    document.addEventListener("DOMContentLoaded"function() {      const splitter = document.getElementById("splitter");      const section1 = document.getElementById("section1");      const section2 = document.getElementById("section2");      const container = document.querySelector(".container");      let isDragging = false;            splitter.addEventListener("mousedown"function(e) {        isDragging = true;        e.preventDefault();      });            document.addEventListener("mousemove"function(e) {        if (!isDragging) return;        const containerRect = container.getBoundingClientRect();        const offsetY = e.clientY - containerRect.top;        const minHeight = 100// 最小高度限制        if (offsetY < minHeight || offsetY > containerRect.height - minHeight - splitter.offsetHeight) {          return;        }        section1.style.height = offsetY + "px";        section2.style.height = (containerRect.height - offsetY - splitter.offsetHeight) + "px";      });            document.addEventListener("mouseup"function(e) {        if (isDragging) {          isDragging = false;        }      });    });  script>body>html>

将上述html代码存入记事本,将后缀更改为.html即可使用。
效果如下:
图片

导出数据为:[r,theta,x,y]


代码已上传github

https://github.com/kongxiuyichuang/Calculation-Archimedean-spiral.git

END
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  •   定制软件开发公司推荐清单   在企业数字化转型加速的2025年,定制软件开发需求愈发多元复杂。不同行业、技术偏好与服务模式的企业,对开发公司的要求大相径庭。以下从技术赛道、服务模式及行业场景出发,为您提供适配的定制软件开发公司推荐及选择建议。   华盛恒辉科技有限公司:是一家专注于高端软件定制开发服务和高端建设的服务机构,致力于为企业提供全面、系统的开发制作方案。在部队政企开发、建设到运营推广领域拥有丰富经验,在教育,工业,医疗,APP,管理,商城,人工智能,部队软件、工业软件、数字化转
    华盛恒辉l58ll334744 2025-05-12 15:55 129浏览
  • 行车记录仪是长这个样子的,如下图。从前面拆去玻璃挡板,可以清晰的看见里面的部件,5个按键电路板,液晶显示屏,摄像头,喇叭,电池包,还有一块主电路板。液晶显示屏正面,如下图。液晶显示屏背面,如下图。喇叭,如下图。5个按键的电路板,MENU,DOWN,POWER,UP,OK总共5个按键功能,导线连接到主电路板上,如下图。电池包,303040聚合物锂电池,3.7V,300mAH,如下图。如下图。摄像头,如下图。拿去摄像头外壳,如下图。分离广角聚集镜头和PCB板,如下图。广角聚焦镜头,具体结构如下图。P
    liweicheng 2025-05-09 22:50 36浏览
  • ‌磁光克尔效应(Magneto-Optic Kerr Effect, MOKE)‌ 是指当线偏振光入射到磁性材料表面并反射后,其偏振状态(偏振面旋转角度和椭偏率)因材料的磁化强度或方向发生改变的现象。具体表现为:1、‌偏振面旋转‌:反射光的偏振方向相对于入射光发生偏转(克尔旋转角 θK)。2、‌椭偏率变化‌:反射光由线偏振变为椭圆偏振(克尔椭偏率 εK)。这一效应直接关联材料的磁化状态,是表征磁性材料(如铁磁体、反铁磁体)磁学性质的重要非接触式光学探测手段,广泛用于
    锦正茂科技 2025-05-12 11:02 117浏览
  • 在 AI 浪潮席卷下,厨电行业正经历着深刻变革。AWE 2025期间,万得厨对外首次发布了wan AiOS 1.0组织体超智能系统——通过AI技术能够帮助全球家庭实现从健康检测、膳食推荐,到食材即时配送,再到一步烹饪、营养总结的个性化健康膳食管理。这一创新之举并非偶然的个案,而是整个厨电行业大步迈向智能化、数字化转型浪潮的一个关键注脚,折射出全行业对 AI 赋能的热切渴求。前有标兵后有追兵,万得厨面临着高昂的研发成本与技术迭代压力,稍有懈怠便可能被后来者赶
    用户1742991715177 2025-05-11 22:44 82浏览
  • 在印度与巴基斯坦的军事对峙情境下,歼10C的出色表现如同一颗投入平静湖面的巨石,激起层层涟漪,深刻印证了“质量大于数量”这一铁律。军事领域,技术优势就是决定胜负的关键钥匙。歼10C凭借先进的航电系统、强大的武器挂载能力以及卓越的机动性能,在战场上大放异彩。它能够精准捕捉目标,迅速发动攻击,以一敌多却毫不逊色。与之形成鲜明对比的是,单纯依靠数量堆砌的军事力量,在面对先进技术装备时,往往显得力不从心。这一现象绝非局限于军事范畴,在当今社会的各个领域,“质量大于数量”都已成为不可逆转的趋势。在科技行业
    curton 2025-05-11 19:09 181浏览
  • 文/Leon编辑/cc孙聪颖‍在新能源汽车赛道的残酷洗牌中,威马、爱驰等数十个品牌黯然退场,极越、哪吒汽车也深陷经营困局,“跨界造车” 早已褪去曾经的光环,成为吞噬企业资金与精力的风险泥潭,尤其对上市公司而言,稍有不慎便会被拖入业绩泥沼。当行业共识已清晰显现 —— 新能源汽车市场这片红海正上演着惨烈的生存之战,石头科技创始人昌敬却逆势入局,掌舵极石汽车,其押注造车的抉择,正让本就面临挑战的石头科技主业雪上加霜。2025 年 4 月中旬,昌敬突然清空微博、抖音等社交媒体账号的举动,迅速引爆舆论场。
    华尔街科技眼 2025-05-09 20:53 30浏览
  • 蓝牙耳机是长这个样子,如下图。背部图,如下图。拆开L耳的一侧,有NFC和电池包(501230 3.7V 150mAh)如下图。电池包(501230 3.7V 150mAh)如下图。NFC正面,如下图。NFC背面,如下图。如何理解NFC的工作原理呢,搜集一下相关的资料,如下图。拆开R耳的一侧,PCB正面,如下图。PCB背面,如下图。有两组红黑的线,一组连接到了喇叭,另一组连接到了MIC头上,MIC头参数如下图。蓝牙模块(CSR 8635),有蛇形PCB走线做成天线,节约了天线成本,如下图。该IC介
    liweicheng 2025-05-10 00:45 47浏览
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