第二次作业参考答案

• 信号与系统2024（春季）作业要求以及参考答案汇总^[1]

• 信号与系统2025（春季）作业要求及参考答案汇总^[2]

• 信号与系统分析2025（春季）作业要求：第二次作业^[3]

01 基础作业

一、直流和交流分解

   求下面信号的直流分量（不需要写出交流分量）

◎ 解答：

1、必做题

  （1） 周期方波信号

  （2）  全波整流信号

  （3）  非周期信号

  在  中，后面的   应用三角恒等式，可以变为：

  显然，上面两项的直流分量都是0，所以信号的直流分量为：

  （4）  三角形平方信号

二、信号奇偶分解

◎ 解答：

1、必做题

  （1）  奇偶分解

  分别绘制出下面有现长连续时间信号和离散时间信号的的奇分量和偶分量。

  【1. 连续时间信号】

□ 偶分量

□ 奇分量

  【2. 离散时间序列】

□ 偶分量

□ 奇分量

  （2） 求解原信号波形

  根据已知的信号  奇分量的左半边波形与信号的右半边波形，绘制出原始信号  的波形。

  根据信号的奇分量的左半边，可以绘制出整个奇分量：

  将奇分量的右半边与原信号的右半边相加，便可以得到偶分量的右半边：

  下面是信号的偶分量：

  叠加奇分量和偶分量，可以获得信号：

2、选做题

  绘制出下面连续时间信号与离散序列的积分量和偶分量。

□ 偶分量

□ 奇分量

三、信号尺度变换

  已知连续时间信号  以及离散序列信号  的波形如下图所示，请根据表达式绘制出对应自变量变化后的信号波形。

1、必做题

◎ 解答：

  （1）

  （2）

  （3）

  （4）

2、选做题

  （1）

  信号  为   处的脉冲，对应的幅度为   即  对应的数值1，所以对应的信号如下图所示：

  （2）

  信号   是关于   的偶对称序列。对应   ，取值分别是  。根据   的数值，可以绘制出  序列如下：

  （3）

  显然，  需要满足   。因此   只能是因果（右边）信号。原信号右边的方程为：

  （4）

  这个信号实际上是上面必做题（3），只是只取它的右半边信号。所以信号为：

四、LTI系统响应

1、必做题

  已知一个线性时不变（LTI）系统，当激励为   时，对应的系统响应为

  试求当激励为   时，对应的系统相应  的表达式。

• 假定系统的起始条件为 0，系统输入输出之间满足严格的线性关系。本题需要利用线性时不变系统的微分特性与时不变特性。

  ■ 解答：

  根据系统的线性时不变特性，所以，在   的作用下，输出等于原系统输出的微分加上延迟，即：

  最后，系统输出为：

2、选做题

  Conside a LTI system whose response to the signal   in Figure (A) is the signal   illustrated in Figure (B). Determine and sketch carefully the response of the system to the input   and   illustrated in Figure (C ) and (D) respectively.

  ■ 解答：

  对于信号   可以由  表示成：  

  对应的信号波形为：

  对于信号   可以由  表示成：  

  对应的信号波形：

五、系统的可逆性

  判断下列系统是否可逆。如果可逆则给出对应的逆系统。如果不可逆，则给出两个不同的输入信号，他们所引起系统的输出是相同的。

  题目中，输入信号为  ，输出信号为  。

1、必做题

  ■ 解答：

  （1）

□ 系统不可逆。  这是因为，输出信号只保留了输入信号中偶数位置的数据，奇数位置的数据都丢失了。因此无法从系统输出数据中恢复输入数据。通常，如果有两组信号，他们的偶数位置数据相同，奇数位置数据不同。通过上述抽点压缩之后，输出的信号是相同的。由此也可以判断系统是不可逆的。

  （2）

□ 系统可逆，系统的逆系统为：

  （3）

□ 系统可逆，系统的逆系统为：

  （4）

□ 系统不可逆。对于两个绝对值相同，符号相反的信号，通过上述系统之后，系统的输出是相同的。所以系统不可逆。

2、选做题

  讨论下面电路输入输出之间是否可逆？

  ■ 解答：

  注意，上述电路最后还需要再经过一级的反向，才真正实现将原始信号进行恢复。

• 参考文献：  Inverse Analog Filter:History, Progress and Unresolved Issues^[4]

• 相关讨论： Low Pass Filter Inverse^[5]

六、系统特性

1、必做题

  根据下面表格描述系统的输入输出关系表达式，分别判断系统的线性、时不变、因果 特性。

  ■ 解答：

七、从系统框图到方程

  试写出下面各图对应的系统输入输出之间的微分方程和差分方程。请大家注意本题中采用了不同的符号表示了积分、延迟，请大家注意辨识这些不同的表示方法。

本次作业中有一些框图与 信号与系统 2022 春季学期第二次作业^[6] 中具有相同的结构，但是相关系数进行了改变，请大家注意区分。

1、必做题

  （1）

  ■ 解答：

  （2）

  ■ 解答：

  根据系统框图中的综合器，可以得到：

  经过整理，并进行一次位移之后，整理成标准的后向差分方程的形式如下：

  （3）

  ■ 解答：

  对于具有两个综合器的系统框图，给中间节点增加临时变量    ，如下图所示：

  根据两个综合器，写出对应的微分方程：

  使用微分算子方法，对微分方程进行化简。利用D作为微分算子，将上面两个微分方程转换成下面的算子方程：

因此：

  将上面分式转换成微分方程：

  （4）

  ■ 解答：

  对于下面具有两个综合器的系统框图，在中间节点设定临时变量：  ，如下图所示：

  根据两个综合器，写出对应的差分方程：

  利用延迟算子，化简上述差分方程。具体过程省略，下面给出最终的化简结果：

2、选做题

  （1）

  ■ 解答：

  在系统框图中，增加中间临时变量，如下图所示：

  根据系统中三个综合（加法）其，列写出三个微分方程：

  利用微分算子，将上述三个方程转换成算子代数方程，消除其中的临时变量，最终为：

  经过化简：

  对应的微分方程为：

  （2）

  ■ 解答：

  在系统框图中增加临时变量：

  根据两个加法器，列写出两个差分方程：

  使用延迟算子方法，消除中间变量，最终的差分方程如下：