程序员必看：浮点数精度问题全解析

• 0、导读
• 1、引言
• 2、浮点数存储格式
• 3、转换流程
• 3.1、将整数部分转换为二进制
• 3.2、将小数部分转为二进制
• 3.3、规范化
• 3.4、调整阶码
• 3.5、尾数舍入
• 3.6、组三元素
• 4、单/双精度浮点数比较
• 4.1、存储格式
• 4.2、精度
• 4.3、浮点数范围
• 4.4、浮点数比较
• 5、阶码相关问题探索
• 5.1、什么是移码
• 5.2、如何计算移码
• 5.3、为什么要用移码表示
• 6、指数e
• 6.1、指数范围
• 6.2、特殊值
• 7、文中问题解答
• 8、参考链接
• 9、总结

0、导读

这篇文章主要探讨了浮点数在计算机中的表示、存储和精度问题。通过详细的解释和示例，您将了解浮点数误差的根源。文章内容较多，大约3700余字，阅读时间约为10分钟，建议先收藏，待有空时再细细品读。

1、引言

0.1 + 0.2 为什么不等于 0.3 ？

当被问及浮点数为何存在误差时，你将如何回答？

没看完这篇文章之前你可能会回答:"哼，反正我就知道有误差..."

阅读完这篇文章后，你将能够更准确地回答这类问题，让我们开始这段学习之旅吧！

2、浮点数存储格式

浮点型在内存中的存储不是像整形那样直接存储的，而是用一种二进制的科学计数法来表示的,具体的数学表达式为

其中，e = E - 127

在计算机科学领域，IEEE 754 是一种标准，用于定义浮点数的表示方法，浮点型数据的存储格式如下

请务必记住，尾数存储用原码，阶码存储用移码

• S(符号位)：0代表正数，1代表负数。
• E(阶码)：指数字段需要同时表示正指数和负指数。为了得到存储的指数，在实际指数上加一个偏置，其中e=E-127。
• M(尾数)：一个规范化尾数就是小数点左边只有一个1，然后是小数点后面的尾数部分。

注意本文后续使用的e表示科学计数法中的指数部分，E表示存储格式中的阶码，默认的对象都指单精度的浮点数。

3、转换流程

接下来我选择了一个恋爱脑的数字，将1314.520转换到32位单精度IEEE 754二进制浮点表示标准。

3.1、将整数部分转换为二进制

将整数部分反复除以2，并记录每次的余数，直到商为0为止。

division = quotient + remainder;
1314 ÷ 2 = 657 + 0;
657  ÷ 2 = 328 + 1;
328  ÷ 2 = 164 + 0;
164  ÷ 2 = 82  + 0;
82   ÷ 2 = 41  + 0;
41   ÷ 2 = 20  + 1;
20   ÷ 2 = 10  + 0;
10   ÷ 2 = 5   + 0;
5    ÷ 2 = 2   + 1;
2    ÷ 2 = 1   + 0;
1    ÷ 2 = 0   + 1;

从上面构造的列表的底部开始取所有余数，即为整数部分的二进制表示。1314₁₀=101 0010 0010₂

3.2、将小数部分转为二进制

将小数部分不断乘以2，并记录每次的整数部分，直到小数部分为0或达到所需的精度为止

#) multiplying = integer + fractional part;
1) 0.52 × 2 = 1 + 0.04;
2) 0.04 × 2 = 0 + 0.08;
3) 0.08 × 2 = 0 + 0.16;
4) 0.16 × 2 = 0 + 0.32;
5) 0.32 × 2 = 0 + 0.64;
6) 0.64 × 2 = 1 + 0.28;
7) 0.28 × 2 = 0 + 0.56;
8) 0.56 × 2 = 1 + 0.12;
9) 0.12 × 2 = 0 + 0.24;
10) 0.24 × 2 = 0 + 0.48;
11) 0.48 × 2 = 0 + 0.96;
12) 0.96 × 2 = 1 + 0.92;
13) 0.92 × 2 = 1 + 0.84;
14) 0.84 × 2 = 1 + 0.68;
15) 0.68 × 2 = 1 + 0.36;
16) 0.36 × 2 = 0 + 0.72;
17) 0.72 × 2 = 1 + 0.44;
18) 0.44 × 2 = 0 + 0.88;
19) 0.88 × 2 = 1 + 0.76;
20) 0.76 × 2 = 1 + 0.52;
21) 0.52 × 2 = 1 + 0.04;
22) 0.04 × 2 = 0 + 0.08;
23) 0.08 × 2 = 0 + 0.16;
24) 0.16 × 2 = 0 + 0.32;

虽然我们没有得到任何等于0的小数部分，但是我们有足够的迭代(超过尾数限制)。

从顶部开始依次取乘法运算的所有整数部分，即为小数部分的二进制：0.52₁₀=0.1000 0101 0001 1110 1011 1000₂

3.3、规范化

前面得出了整数以及小数部分的二进制表示，合并以后即：

1314.52₁₀= 101 0010 0010.1000 0101 0001 1110 1011 1000₂

将小数点向左移动 10 位，使其左边只剩下一位非零的数字

1314.52₁₀= 101 0010 0010.1000 0101 0001 1110 1011 1000₂= 101 0010 0010.1000 0101 0001 1110 1011 1000₂ ×2 ⁰= 1.0100 1000 1010 0001 0100 0111 1010 1110 00₂ ×2 ¹⁰

再回顾一下浮点数的数学表达式 V = (-1) ^s × M × 2 ^e 由此可知

s = 0
M = 1.0100 1000 1010 0001 0100 0111 1010 1110 00
e = 10

3.4、调整阶码

根据规范化得知指数 e = 10，又根据公式 e = E - 127 可得知道 E=137，所以八位阶码的二进制表示如下所示：

E = 137₁₀ = 1000 1001₂

3.5、尾数舍入

由第三步规范化得出的尾数M有34位，但是存储格式中尾数只有23位，下面划线的是多出的部分，所以需要对尾数按照一定的方式进行四舍五入。

M = 1. 0100 1000 1010 0001 0100 011 1 1010 1110 00

一共有四种舍入方式，

• 向偶数舍入，就近舍入(默认)。
• 朝0舍入：即朝数轴零点方向舍入，即直接截尾。
• 朝正无穷舍入：对正数而言，只要多余位不全为0则向最低有效位进1；负数则直接截尾。
• 朝负无穷舍入：对负数而言，向最低有效位进1；正数若多余位不全部为0则简单截尾。

向偶数舍入，简单理解就要让尾数的最后一位为0，让其保持偶数，能够被2整除。当尾数的最低位为0时，已经是属于偶数了，无需处理。当尾数最低位为1时，需要加1，使其保持偶数。

因为本例计算出尾数的最后一位为1，按照就近舍入(向偶舍入)原则需要加1使其保持偶数。

所以经过调整后的M为

M = 0100 1000 1010 0001 0100 011 + 1
M = 0100 1000 1010 0001 0100 100

3.6、组三元素

根据前面的步骤可以得知

s = 0
E = 1000 1001 ₂
M = 0100 1000 1010 0001 0100 100 ₂

1324.52₁₀ = 0-1000 1001-0100 1000 1010 0001 0100 100₂

我们去一个转换网站上验证一下转换结果，网站链接放在文章末尾了。

可以看到，跟我们转换的结果是相同的，说明网站转换也是选择向偶数舍入的。

4、单/双精度浮点数比较

4.1、存储格式

4.2、精度

浮点数的精度是由尾数的位数来决定的。

对于float型浮点数，尾数部分23位，换算成十进制就是 2^23=8388608，所以十进制精度只有6 ~ 7位；

这里的数字6和7可能会引起疑问，如何理解它们呢？

由于浮点数尾数的舍入问题，最后一位可能存在舍入误差，因此不完全准确。因此，可以准确表示的是后六位，而第七位则可能含有误差。

对于double型浮点数，尾数部分52位，换算成十进制就是 2^52 = 4503599627370496，所以十进制精度只有15 ~ 16位

4.3、浮点数范围

4.4、浮点数比较

浮点数的比较通常用两数之差的绝对值小于一个自定义的数值时，代表两者相等，如下所示:

/**
 *Author:(公众号:typedef)
 */
#define FLOAT_EPSILON (0.000001) //Define your own tolerance
#define FloatIsEqual(a, b) ((fabs((a)-(b)))<(FLOAT_EPSILON))

另外一种方法是将浮点数同时放大一个倍数，然后转成整数之间的比较，比如同时放大10000倍等。

5、阶码相关问题探索

首先阶码E是用移码表示的，那么问题来了，什么叫移码？移码怎么计算？移码的含义是？浮点数为什么要用移码表示？

在解答这些知识点时，我们需要下面两点需要达成一致

• 阶码使用的是非标准移码
• 阶码是一个无符号的整数

5.1、什么是移码

移码是补码表示中最高符号位取反的结果。举个例子，上面计算1314.52时，指数是为10的。

+10₁₀ = 0000 1010₂（真值）

原码：0000 1010
反码：0000 1010
补码：0000 1010
移码：1000 1010

所以10对应标准的移码 1000 1010 。

5.2、如何计算移码

注意浮点数中移码的计算是非标准的，仅偏移2^n-1-1=127。所以移码的计算公式如下所示，其中n为阶码的位数：

E = e + 2 ^n-1 - 1
E = e + 127

所以10对应的移码为137。

5.3、为什么要用移码表示

它通过将数值加上一个固定的偏移量，使得原本可能是负数的数值变为非负数，从而简化了计算机中有符号数的表示和比较操作。使得计算机能够直接使用整数运算来比较浮点数的大小。

6、指数e

6.1、指数范围

浮点数指数部分的实际取值范围是 [-2^(e-1)+2, 2^(e-1)-1]，其中 e 为指数所占位数。32位浮点数，指数占8位，实际取值范围是 [-126, 127]。

-127用作表示0，128 用作表示无穷大和 NaN。NaN 是 "Not a Number" 的缩写，中文意思是“非数字”，通常用于表示一个未定义或不可表示的值。

换言之，8位阶码的表示范围是[0, 255]，其中0和255用于表示特殊值。因此，根据公式推导，指数e的实际取值范围是[-126, 127]。

6.2、特殊值

7、文中问题解答

此时再来回答文中引言提出的问题， 0.1 + 0.2 为什么不等于 0.3 ？

/**
 * Author:(公众号:typedef)
 */
#include 

int main() {
  double a = 0.1 + 0.2;
  printf("%.17f", a);
}

输出为0.30000000000000004，由于在尾数舍入时会带来一定的误差，所以并不完全相等。

当在被问及浮点数为何存在误差时，你将如何回答？欢迎文章留言说出你的看法。

如果不从技术的角度回答这个问题，可以这样回答：整数是离散的，有限的并能够被计算机表示的，小数部分是连续的，包含无穷多的数，数量之多是无法被计算机存储的，只能存储计算机能够表示的最接近这个数值的小数部分，所以可能会不相等。

8、参考链接

• https://www.cnblogs.com/gyunf/p/12816817.html
• https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html
• https://zh.wikipedia.org/wiki/IEEE_754
• https://docs.pingcode.com/ask/304021.html

9、总结

本篇文章深入分析了浮点数的存储格式到转换流程，再到指数e以及阶码E的探索，大家应该对浮点数有了更全面的理解。

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