5种函数极限存在的准则

上面的花拳绣腿完成以后，终于可以看一些有用处的东西了，常用的判断函数极限存在的准则：

1. 极限存在并不意味着函数在该点连续。因为要三个等号

2. 极限不存在时，可能存在左极限或右极限。甚至可能相等，但是不等于函数值，也就是跳跃间断点

3. 对于分段函数，需要分别讨论左右极限。这里点名的就是绝对值这个搅屎棍。

   
   

1. 左右极限相等准则

定义: 若函数f(x)在x趋近于a时的左极限和右极限都存在且相等，即

lim(x→a-) f(x) = lim(x→a+) f(x) = L

则称函数f(x)在x=a处有极限，且极限值为L。

函数在一点的极限存在，意味着函数图像在该点附近趋于一个确定的值。

2. 夹逼准则

若存在两个函数g(x)和h(x)，使得当x趋近于a时，有

g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)

且

lim(x→a) g(x) = lim(x→a) h(x) = L

则

lim(x→a) f(x) = L

如果一个函数被两个具有相同极限的函数夹在中间，那么这个函数的极限也存在且等于夹逼函数的极限。

3. 单调有界准则

若函数f(x)在区间(a, b)上单调且有界，则函数f(x)在x趋近于b-时的左极限存在。单调性和有界性共同保证了函数值逐渐逼近一个确定的值。

4. 柯西收敛准则

函数f(x)在x=a处有极限的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(y)|<ε。

柯西收敛准则从函数值的“内在关系”出发，判断函数是否收敛。

5. 洛必达法则

适用条件: 当函数的极限形式为0/0或∞/∞时，且分子分母的导数存在，可以利用洛必达法则求极限。

洛必达法则可以将复杂的极限问题转化为更简单的极限问题。

不过呢，等价无穷小，泰勒这些才是王道

1. 左右极限相等准则适用于一般的函数。

2. 夹逼准则适用于被两个已知极限的函数夹住的函数。

3. 单调有界准则适用于单调有界的函数。

4. 柯西收敛准则是一个比较抽象的准则，但它具有普遍性。

5. 洛必达法则适用于特殊的极限形式。