其实最一开始这个极限的概念引入的时候就是使用的离散的数列逼近的。也就是魏尔斯特拉斯的数列极限。这个就不证明了，总之直接就是个结论。
如果一个数列既是单调的又是有限的，那么它一定收敛到一个确定的值。
其中数列是离散的点序列，而函数是连续的。
函数极限涉及到自变量趋近于某个值的极限过程，而数列极限涉及到项数趋于无穷的极限过程。
单调递增数列： 每个数都大于或等于前一个数。
单调递减数列： 每个数都小于或等于前一个数。
有上界： 数列中的所有项都小于等于某个固定的数。
有下界： 数列中的所有项都大于等于某个固定的数。
想象一条赛跑，所有选手都在朝一个方向跑，且跑道是有边界的。如果所有的选手都一直朝一个方向跑，而且永远跑不出赛道，那么他们最终都会停在某个位置上。这个最终的位置就是数列的极限。
书上的证明是，构造一个集合： 将数列的所有项作为一个集合。利用实数系的完备性： 由于这个集合是有界的，根据实数系的完备性定理，它一定存在一个最小上界（或最大下界）。证明这个最小上界（或最大下界）就是数列的极限： 借助单调性的性质，可以证明这个最小上界（或最大下界）就是数列的极限。
单调有界数列定理有什么用？是数列收敛的判别法。
对于一个给定的数列，如果能证明它是单调有界的，那么就可以断定它是有极限的。
需要注意的是：单调性是必要的： 只有单调的数列才能保证有极限。有界性也是必要的： 如果数列无界，那么它可能发散。极限的唯一性： 一个收敛的数列只有一个极限。
在书后面我发现了对应在函数极限上面类似的准则：
一个函数在某个区间上单调且有界，那么它在该区间上的极限一定存在。
强调的是在某个区间上的单调性和有界性。如果只在某个点或某个点的一个邻域内满足这些条件，不一定能保证极限存在。
单调性： 函数在某个区间上单调递增或单调递减。
有界性： 函数的值在该区间上有上下界，即存在两个常数M和N，使得对于区间内的任意x，都有N ≤ f(x) ≤ M。
不会证明，直接直观上，我们可以想象函数的图像。如果一个函数在某个区间上一直单调增加或减少，并且它的值始终被限制在一个范围内，那么它的图像最终会趋近于一个特定的值，这个值就是函数的极限。
