一个函数在某一点的极限究竟在什么条件下存在呢？极限存在准则

函数连续与某处函数值的关系,从一元到多元 在昨天的文章里面重点写了极限和函数之间的关系，也就是一点处连续。但是往回看，其实这个极限本身是不是存在也是单独的议题，SO这篇文章来说这个。来回答极限存在的充分必要条件是什么？

左极限等于右极限： 一个函数在某一点的极限存在，当且仅当该点的左极限和右极限都存在且相等。

1. 左极限： 当自变量从左侧趋近于该点时，函数值的趋近值。

2. 右极限： 当自变量从右侧趋近于该点时，函数值的趋近值。

想象一条铁路，火车从两个方向驶向同一个车站。如果两列火车都能够平稳地停在同一个站台上，那么我们就说火车在车站的极限位置是存在的，而且是唯一的。

除了上述的充分必要条件外，还有其他一些判断极限存在的准则，也就是书上的内容。

夹逼准则： 如果存在两个函数g(x)和h(x)，使得当x趋近于某一点时，g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且g(x)和h(x)的极限相等，那么f(x)的极限也存在，且等于g(x)和h(x)的共同极限。

单调有界准则： 如果一个函数在某区间上单调递增且有上界，或者单调递减且有下界，那么该函数在该区间上的极限一定存在。

极限不存在的情况

左极限和右极限不相等： 如果一个函数的左极限和右极限不相等，那么该函数在该点的极限不存在。

函数值无界： 如果函数在某一点的某个去心邻域内，函数值可以任意大或任意小，那么该函数在该点的极限不存在。去看上面的性质

函数振荡： 如果函数在某一点附近不断地上下振荡，无法趋近于一个确定的值，那么该函数在该点的极限也不存在。

极限不存在的例子

1. 分段函数: 在分段点处，如果左右极限不相等，则极限不存在。

2. 有理函数: 当分母趋于零而分子不为零时，函数趋于无穷大，极限不存在。

3. 三角函数: 一些三角函数在某些点处有振荡现象，极限不存在。