极限语言ε-δ的理解 在读这个文章以前可以先读一下之前的这个文章。
在函数的极限里面一个条件是在某个去心邻域内。所以一定要理解邻域在说什么东西。
去心邻域确保了函数在趋近于某一点时的变化趋势。通过排除这一点本身，能够更准确地描述函数的局部行为，避免特殊点的干扰。只有在去心邻域内，我们才能讨论函数的极限是否存在以及极限值是多少。
关注点在趋近过程，而非到达终点：极限的本质是描述函数在自变量趋近于某一点时的变化趋势。
去心邻域排除了这一点本身，确保我们关注的是函数在接近这个点但不等于这个点时的行为。如果包含这一点，那么对于某些函数，比如分母为零的情况，函数值可能不存在或无穷大，无法讨论极限。
强调局部性：极限只关注函数在某一点附近的行为，而不是整个定义域。去心邻域限定了关注的范围，可以更精确地描述函数在这一点附近的变化。
排除特殊点的影响：有些函数在某些点上可能不连续，或者值不存在。通过限定在去心邻域内，可以避免这些特殊点对极限的影响，从而得到一个更准确的描述。
想象站在一条道路上，想观察一辆汽车在接近一个红绿灯时的速度。你不会站在红绿灯上观察，因为汽车停在红绿灯前时，速度为零，无法反映它接近红绿灯时的速度。
相反，你会站在离红绿灯一段距离的地方，观察汽车在接近红绿灯时的速度变化。这个距离就相当于“去心邻域”。
在知道去心邻域的基础上就可以来研究函数极限的性质了。
设函数 f(x) 在 x0 的某个去心邻域内有定义，如果存在一个常数 A，使得对于任意给定的正数 ε，总存在正数 ，使得当 0<∣x−x0∣<δ 时，有 ∣f(x)−A∣<ε，则称 A 为函数 f(x) 当 x 趋近于 x0 时的极限，记为：
lim(x→x0) f(x) = A唯一性: 如果极限存在，则极限值是唯一的。
局部有界性: 如果函数在某一点的极限存在，则该函数在该点的某个去心邻域内有界。
保号性:这个性质没有其它的性质直观
如果函数在某一点的某个去心邻域内恒大于零，且极限存在，则极限值大于零。
如果函数在某一点的某个去心邻域内恒小于零，且极限存在，则极限值小于零。
比较定理:如果在某一点的某个去心邻域内，f(x)≤g(x)，且：
limx→x0f(x)=A，limx→x0g(x)=B，则 A≤B。这里就上喜闻乐见的说法了，函数的极限就像是一辆汽车在接近一个目的地。
唯一性：一辆车不可能同时到达两个不同的目的地，对吧？所以，如果一个函数的极限存在，那么它就只有一个确定的值，不可能有两个不同的答案。
局部有界性：当汽车接近目的地时，它不可能突然加速到无限快或者突然消失不见。也就是说，在接近目的地的过程中，汽车的速度是有限的。同样，函数在接近极限值的点附近，它的值也是有上下限的，不会无限大或者无限小。
保号性：如果一辆车一直朝正方向行驶，那么它最终到达的目的地也一定在正方向。同样，如果一个函数的值一直是正的，那么它的极限值也一定是正的。事实上这个性质多见选择题里面可以当成一个条件使用，因为极限和函数值是伴生的。
比较定理：如果一辆车一直比另一辆车跑得快，那么它最终到达的目的地也一定比另一辆车更远。同样，如果一个函数的值总是比另一个函数的值大，那么它们的极限值也是这样的关系。
极限的四则运算：这就好比是把两个汽车的速度加起来、减去、乘起来或者除起来，得到的新汽车的速度。函数的极限也是如此，我们可以对函数的极限进行加减乘除运算。
复合函数的极限：想象一下，一辆汽车先开到一个加油站，然后再从加油站出发去下一个目的地。这就像是一个复合函数，最终到达的目的地取决于这两个过程。
