高等数学一些出名的点：驻点，拐点，鞍点，极值点

1. 驻点

• 定义: 函数的一阶导数为零的点称为驻点。即，若f'(x)=0，则x为函数f(x)的驻点。

• 几何意义: 在驻点处，函数的切线平行于x轴，函数的增长或下降趋势可能发生变化。

• 与极值点的关系: 驻点是极值点的必要不充分条件，即极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。

2. 极值点

• 定义: 函数在某一点的取值比其附近任意点的取值都大（或小），则称该点为函数的极大值点（或极小值点）。

• 几何意义: 极值点对应函数图像上的峰值或谷值。

• 与驻点的关系: 极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。

3. 拐点

• 定义: 函数的凹凸性在该点发生改变的点称为拐点。

• 几何意义: 拐点处函数的图像由凹变凸或由凸变凹。

• 判断方法: 一般通过判断二阶导数的符号变化来确定拐点。若二阶导数在拐点处变号，则该点为拐点。

• 高等数学上指曲线上凸与下凹的分界点。
  

• 拐点（Inflection point）或称反曲点，是一条连续曲线改变凹凸性的点，或者等价地说，是使切线穿越曲线的点。

4. 鞍点

• 定义: 鞍点是一种特殊的驻点，它既不是极大值点也不是极小值点。

• 几何意义: 鞍点附近的函数图像像马鞍的形状，即在某些方向上是极大值点，在另一些方向上是极小值点。

• 判断方法: 通常通过分析函数在鞍点附近的等高线或三维图像来判断。

拐点的必要条件：设f(x)在(a,b)内二阶可导，x0∈(a,b)，若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，则f″(x0)=0。 

比如，f(x)=x4，有f″(0)=0，但是0两侧全是凸，所以0不是函数f(x)=x4的拐点。

拐点的充分条件：设f(x)在(a,b)内二阶可导，f″(x0)=0，若在x0两侧附近f″(x)异号，则点(x0,f(x0))为曲线的拐点。

否则（即f″(x0)保持同号），(x0,f(x0))不是拐点。

二阶常系数非齐次线性微分方程

• 二阶: 微分方程中最高阶导数项为二阶导数。

• 常系数: 微分方程中各阶导数的系数均为常数。

• 非齐次: 方程右侧不为零，即存在一个非零的函数。

• 线性: 方程中未知函数及其各阶导数都是以一次方出现，且没有乘积项。

  
  

特征方程

解的情况

在前面说过，后面的叫激励项，也会影响最终的结果，就是特解。现在可以给出结果的有下面这几种。

有时候我们看见题里面会有，设一个解的由来就在这里

方程里面的e的系数之间是线性无关的，也就是系数代表的项都为0.

上面这几个 PPT 也是对 e 无关的一个证明

补一个反比例函数，绘图有用

在绝大部分情况下，我们会使用θ作为外积分，r作为内积分；同时很容易确定二者的积分域：

这个是重积分变成累次积分时候的次序问题

https://wap.sciencenet.cn/blog-39346-1287114.html?mobile=1

https://blog.arg.pub/2021/10/12/math/%E4%BA%8C%E9%98%B6%E5%B8%B8%E7%B3%BB%E6%95%B0%E7%BA%BF%E6%80%A7%E9%9D%9E%E9%BD%90%E6%AC%A1%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9A%84%E4%BA%94%E5%A4%A7%E8%A7%A3%E6%B3%95/index.html

https://math.fudan.edu.cn/_upload/article/files/8b/6b/f3bc390143b09642a863057be4e7/0771b803-2e2b-487e-830b-a32e4e32dcfe.pdf

https://www.cnblogs.com/Mount256/p/17502532.html

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