第十一次作业参考答案

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01 参考答案

一、Laplace变换性质

1、利用Laplace变换性质求解Laplace变换

  □ 解答：

  （1）  利用 Laplace变换的时移定理：

  （2） 利用 Laplace s 域平移定理：

  （3） 先求信号在 之间一个周期内信号 的 Laplace 变换。将信号一个周期内的信号求导，如下图所示：

  根据 Laplace的 时移定理，上述信号的 Laplace变换为：

  那么，周期信号的 Laplace变换：

  （4） 根据 Laplace s 域的微分定理求取该信号的 Laplace 变换。

  经过求导，化简结果为：

2、求信号的初值和终值

  □ 解答：  根据 Laplace的初值和终值定理，求取信号的初值和终值：

  （1）

  （2）  这个有理分式表达式是一个假分式，先通过长除方法对它进行分解：

  （3）  这个有理分式表达式是一个假分式，先通过长除方法对它进行分解：

  （4） 根据 Laplace变换的时移定理，题目中的信号是如下信号延迟   。

  由此，可以判断信号的初值   。由于 在 s 平面的右半平面具有极点 1，以及在原点有一颗 2 阶极点，所以信号不具有终值。

二、z变换性质

1、利用 z 变换性质求解序列的 z 变换

  □ 解答：

  （1） 利用 z 变换的 变换域微分定理求解：

因此，

  （2） 应用 z 变的 位移定理：

  （3） 表达式的后面一项，实际上是 和 的卷积。根据 z 变换的卷积定理：

  下面再应用 z 变换 变换域的尺度定理：

  （4）

  首先有：

  那么，根据 z 变换的位移定理：

  在根据 z 变换的指数加权特性：

  另外一种求解方法：

  （5）

2、初值和终值定理

  □ 解答：

2、初值和终值

  （1）

  （2）

  这是一个假分式，通过长除方法将其展成 z 的多项式和真分式。

  其中常量项对应序列的初值，即：  。

  （3）

  （4）

  由于   存在一个位于单位圆外的极点   ，所以序列的终值不存在。

3、求序列的卷积和乘积的z变换

  □ 解答：

  （1） 根据 z 变换的卷积定理求解。

  （2） 根据 z 变换的 变换域的卷积定理求解。

根据 的收敛域，可知 。根据 的收敛域，可以知道   ，也就是   。所以，在上面的复变函数围线积分中，包括有两个极点： 。利用留有定理计算上述围线积分：

所以，

  （3）

  （4）

根据   的收敛域，可知：$\left| v \right| > e^{{ - \beta } ,\left| v \right| < \left| z \right|e}{ - \beta }$ 。由此：

  对照典型信号 z 变换表格，可知：

  （5）

  序列的累加，可以看成序列 与   的卷积，即：

  根据 z 变换的卷积定理，可知序累加和的 在变换等于序列的z变换乘以   的 z 变换。由于：

所以：

4、z变换的尺度特性

  □ 解答：

  （1）

  （2）

三、利用Laplace变换和z变换求解微分和差分方程

  □ 解答：

  （1）  对微分方程两边同时进行 Laplace 变换。

  求解   ：

  对   进行因式分解：

  得到系统的完全响应：

  系统的零输入响应和零状态响应对应的 Laplace变换为：

  利用因式分解方法，可以分别求出零状态响应 以及零输入响应 。

  （2） 对差分方程两边同时进行 单边 Z 变换，

  求解 ，

  将   进行因式分解：

  所以，差分方程的完全解为：

  方程的零状态以及零输入响应的 z 变换分别为：

  方程的零状态以及零输入响应分别为：

  （3） 对微分方程左右两边同时进行 Laplace 变换：

  求解 ：

  方程的完全解为：

  方程的零状态响应以及零输入相应的 Laplace 变换分别为：

  这样，零状态响应和零输入响应分别为：

  （4）  对差分方程两边同时做单边Z变换。

  求解 ：

  对它进行因式分解：

  所以方程的完全解为：

  所以系统的零状态与零输入响应分别为：