第七次作业参考答案

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01 参考答案

一、傅里叶变换性质

  下面信号中，如果包含有   ，那么它对应的傅里叶变换记作：

  利用傅里叶变换的性质，求解下面信号的频谱。

1、必做题

  □ 解答：

  （1） 本小题包括着信号的尺度变换和平移，根据傅里叶变换的尺度特性和时移特性有：

  （2）  本小题可以看成   的一个延迟和倍乘。

  因为   的傅里叶变换为： ，所以：

  由此可得：

  （3） 本小题可以看成   进行调制。所以：

  经过化简为：

  （4） 本题包括有对升余弦信号的时移以及余弦调制。

  将已知的   代入上式，可以得到最终的表达式：

  □ 解答：

  那么，该信号左右时延   之后，叠加起来的信号频谱为：

  （6） 本小题可以看成两个函数的叠加：

  对于 ，它对应的傅里叶变换为：

  将上面的结果合并在一起：

  这样，信号的频谱为：

2、选做题

  □ 解答：

  （1）   对于这三个脉冲，可以看成中间的脉冲 经过左右平移倍乘而得：

  信号 的频谱为：

  根据傅里叶变换的线性、时移性质：

  （2）  本题可以利用 傅里叶变换的尺度特性来进行求解：

因此，

  （3）  根据傅里叶变换中的时域微分定理：

  再根据傅里叶变换中的频域积分定理：

二、傅里叶反变换

1、必做题

  （1）

  □ 解答：

  如果求出高度为 A，底宽为 B的三角频谱对应的 时域信号为   。那么如上图所示的频谱应该看成   进行信号调制后的频谱。所以， 的表达式应该为：

  下面使用傅里叶变换的 对偶特性，来求取   的表达式。对于底宽为 B, 高度为 A 的三角脉冲信号，对应的频谱为：

  那么，根据傅里叶变换的 对偶特性，可以知道：

  因此，

  （2）

  □ 解答：

  符号函数   的傅里叶变换为：

  根据傅里叶变换频域微分定理：

所以：

2、选做题

  □ 解答：

  （1）  已知单边指数衰减信号的频谱：

  根据傅里叶变换的尺度特性，令尺度 因子 ，则：

所以：

  （2）

  频谱中包含有两种频谱，一种是冲击频谱 ，另外一种为两个矩形频谱。下面分别求出它们各自对应的时域波形，然后将它们叠加在一起，就构成完整的时域信号。

  对于冲激频谱，它对应的时域信号为一个常量：

  对于两个矩形信号的频谱，可以看成由中心在0 点的矩形频谱，左右搬移而成。这个过程可以描述为时域信号乘以   。根据傅里叶变换的对偶特性，单个矩形频谱对应的时域信号为：

  乘以   之后，变形成左右两个矩形频谱。最终，信号   为：

三、周期信号的频谱

  已知单个梯形脉冲和单个余弦脉冲的傅里叶变换，求下图所示的周期梯形信号和周期全波信号的傅里叶变化。

1、必做题

  （1）

  □ 解答：

  （2）

  □ 解答：

2、选做题

  □ 解答：

  信号可以看成一个三角脉冲信号   与一个周期三角脉冲信号 的乘积： 。根据傅里叶变换频域卷积定义可知：

  三角信号的频谱为：

  周期三角信号可以看成下面窄的三角信号周期延拓，再减去 1。

  单个窄三角信号的频谱为：

  那么周期三角信号的频谱是对上述信号进行离散化，后面需要减去常量 1 的频谱：

  计算   的卷积：

四、证明题

1、必做题

  □ 证明：

  根据希尔伯特变换 的定义，有：

  根据傅里叶变换卷积定理，

  下面求   的傅里叶变换。根据

  根据傅里叶变换的对偶特性，

  因此

  再由 ，可得，