第十二次作业参考答案

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01 参考答案

一、序列的傅里叶变换

  □ 解答：

  （1）

  （2）

  序列的 z 变换为：

  那么对应序列的傅里叶变换为：

  （3）

二、系统框图与系统函数

1、连续时间系统

• 第一小题：（必做题）

  □ 解答：

  （1）

  在原来作业给定的系统框图中，最下面的反馈系数是 。这对系统化简到来了麻烦。下面将它修改为   。这样后面系统求解就比较简单了。下面的求解过程，是按照修改后的系数进行求解的。

  设置输入输出信号的 Laplace 变换分别为   。根据系统框图，可以写出各个节点对应的表达式。根据最后一个综合器的输出和输入之间的关系，可以写出对应的方程为：

  化简上面公式，可以获得系统方程为：

  （2） 将   进行因式分解：

  根据常见信号的 Laplace 变换表格，可以给出上面两个二次分式和一次分式分别对应的信号，系统的单位冲击响应为：

  （3）  因为 是指数衰减，满足绝对可积，系统是稳定的。

• 第二小题：（选做题）

  □ 解答：

  （1）   先不考虑最后一个延迟环节。首先根据综合器写出输入输出之间的方程。

  化简这个方程，可以得到：

  再增加上最后的延迟环节，可以得到：

  （2）

  输入信号的 Laplace 变换为：

  系统的零状态输出为：

  对   进行因式分解：

  对应的时域信号为：

  （3）  该系统是稳定系统 。

2、离散时间系统

• 第一小题：（必做题）

  □ 解答：

  （1）  在系统框图中间增加一个中间变量：

  根据前后两个加法器，得到两个方程：

  消去   ，得到系统函数：

  （2）

  输入信号的 z 变换：

  系统的零状态输出为：

  进行化简：

  进行因式分解：

  对应的时域序列为：

  （3）  该系统为不稳定系统。这是因为，该系统的系统函数中包含有单位圆之外的极点，以及一个在 （-1）处的极点。

• 第二小题： （必做题）

  □ 解答：

  （1）  根据系统的零极点的分布，可以写出系统函数：

  其中   是待定系数。根据系统的初值   ，由 z 变换的初值定理：

  因此，系统函数为：

  系统的单位样值响应   是系统函数 的 z 反变换结果。将   进行因式分解：

  那么，对应的右边序列为：

  （2）   系统的单位阶跃响应为：

  利用因式分解方法，求 。

  （3）  根据系统函数，绘制出一个对应的系统框图：

• 第三小题：（选做题）

  □ 解答：

  在系统框图中添加中间临时变量   。写出系统中各分支对应的变量。

  根据系统框图中累加器关系，可以得到如下方程：

  消去   临时变量，得到系统函数：

  根据系统给出的   表达式，代入上面   ，可得：

  进行因式分解，可得：

  写出相同响应对应的右边序列：

  （2）  H(z) 的极点都在单位圆内，系统是稳定的。

三、利用系统函数分析输入输出

• 第一小题：（必做题）

  □ 解答：

  根据系统函数的定义 ，由题目中给定的输入输出信号的变化，可以求出系统函数：

  系统的单位冲激响应 是系统函数   的Laplace变换。将   进行因式分解，这样便于写出   的表达式。

• 第二小题：（必做题）

  □ 解答：

  根据系统函数的定义， ，所以系统的输入为： 。根据已知的   ，求出它们对应的 Laplace变换：

那么，

  因此，可以知道输入信号 为：

• 第三小题：（必做题）

  □ 解答：

  根据系统的差分方程，可以写出系统的系统函数：

  根据系统的零状态输出，写出对应的 z 变换：

  所以系统的激励信号 的 z 变换为：

  对应的时域序列信号为：

• 第四小题：（选做题）

  □ 解答：

  （1）  这个题目原来是在第二章，现在在 Laplace 变换域内讨论这个题目的求解过程。将两次系统的输入和输出都进行 Laplace 变换。

  系统的完全输出等于零状态响应加上零输入响应：

  上面两个表达式相减，可得：

所以

  进行 Laplace 反变换可得：

  （2）  根据已经求得的   ，可以求得   ：

  进行 Laplace 反变换，可得：

  （3）

  将   进行 Laplace 变换：

  那么系统的完全响应为：

  对应的时域信号为：

四、系统的稳定性与因果性

• 第一小题：（必做题）

  □ 解答：

  （1）  根据系统框图，可以写出系统函数：

  （2）  系统的两个极点分别为：

  当   的时候，对应的极点都位于 s 平面的左半平面，系统稳定。

根据 Routh 定理，对于 2 阶多项式，当所有的系数正负符号都相同（本题都是大于0），对应的根都位于左半平面。由此，也可以得出相同的结论。

  （3）  当   ，即   。系统函数具有二重极点。基点为： 。此时，系统函数为：

  对应的系统函数为：

• 第二小题：（选做题）

  □ 解答：

  （1）  根据系统框图，可以得到如下方程：

  简化之后，可以得到系统的系统函数为：

  （2） 整理系统函数如下：

  系统函数的两个极点分别为：

  下面绘制出l个极点对应不同 K值变化情况。

  分别求出一下两个方程对应的根，可以知道 K 取值在    之内时，两个极点都位于单位圆内。

  因此，当   时，系统是稳定的。

• 第三小题：（必做题）

  □ 解答：

  （1） 根据差分方程，得到系统的系统函数为：

  根据题意，该差分方程对应的是一个因果 LTI 系统。系统函数中的极点   位于单位圆之内，所以该系统为 “稳定系统”。

  根据题意，该差分方程对应的是一个因果 LTI 系统。它的系统函数具有一个二阶极点： 。位于单位圆上，所以该系统是一个 “不稳定系统”。

• 第四小题：（必做题）

  □ 解答：

  （1）  因果系统

  （2）  非因果系统

  （3）  非因果系统

五、电路系统分析

  □ 解答：

  （1） 为了   ，分别考虑在   和 作用下，在   上所形成的电压。

  考虑 时，仅仅在   作用下 C1 上的电压：

  考虑   时，仅在   作用下，C1 上的电压：

所以：

在根据

  对上面表达式进行化简：

  电路的系统函数为：

  （2）  当   时，对应的电路系统函数为：

  进行 Laplace 反变换，可以得到电路的单位冲击响应：

  电路的单位阶跃响应：

  进行 Laplace 反变换，可以得到电路的单位阶跃响应：

  下面利用 LTspice 对该电路进行仿真，将仿真结果与上面计算公式进行对比。

  电路的单位阶跃响应如下图所示。可以看到仿真与计算结果绘制的曲线是一样的。从而验证了上述答案的正确性。

六、求解系统函数

• 第一小题： （选做题）

  □ 解答：

  1、根据系统是因果、稳定、LTI系统，可以知道系统的有利系统函数的极点都位于 s 平面的左半平面。

  2、根据系统在   的左腋下，系统的输出为加v对可积，表明 的有炼狱包含着虚轴，即 没有   出的极点，所以   至少包含有一个   的零点。

  3、根据系统在 的作用下，系统的输出不是绝对可积，因此， 在   处的零点不超过两阶，所以系统函数可以写成：

  4、根据  ${{d^{2 } \over {dt}2 }}h\left( t \right) + 3{d \over {dt}}h\left( t \right) + 2\left( {s^{2 3s + 2} \right)H\left( s \right)B\left( s \right) = s}2 3s + 2$ 。

  5、根据   在无穷远点只有一个一阶零点，说明   的分子比分母阶次小于 1，所以系统函数可以写成：

  6、根据   ，可以求得：

  最终，该系统的系统函数为：

  系统具有两个极点，分别为： 。根据系统为因果系统，所以系统函数的收敛域为：   。

• 第二小题： （选做题）

  □ 解答：

  将   进行 Laplace 变换：

  由于   是实数函数，所以   应该包含有共轭函数：

所以：

  对比LTI输出信号的表达式，可以知道   。

  因为