上一篇-前菜篇,我们对PDM进行了一些头脑风暴，思考实验，并没有涉及具体的理论。但是我们发明了自己的PDM，核心思想是,进行抽象，用10数字流代表PDM，用窗口滑动平均，窗口内平均的1的密度来反映电压的高低。也留下了问题就是如何来编码满足我们这种需求？上一篇实际也大致介绍了思想，即差分思想，实际上我们现在应该能大概设计出这种算法了。
人总是习惯于直接的思维，就是直接给出需要的东西，但是对于计算机等其实这不一定是最好的方式。
我们先举个简单的例子来引出，类似我们前面进行的抽象，同样假设要告诉别人电压是多少，实际就是要告诉别人数字。
比如我手里有一串数字比如是5和10，要告诉别人，我们有不同的方式，首先是绝对值的方式，只要以下步骤
1.我手里有个5
2.我手里有个10
我们也可以是差分的方式，
假设开始以0为初始状态。
1.我手里有个比上一个数大5的数，即5。
2.我手里有个比上一个数大5的数，即10。
还不够，上述每次差分都是变化的，即每次都直接告诉对方差值，其实也可以固定一个幅度的差值。但是方向可以变，比如固定幅值为5，可以正和负，每次都只能告诉对方是+5还是-5，即只能告诉别人大了还是小了，大了就减小，小了就增大.
假设要告诉别人我手里有的值是0.
假设开始以0为初始状态。
1.手里的值是0，大于等于初始状态0, 告诉对方要+5. 这次行为记录为1.
2.此时双方记录的偏差的累积值是5(积分器累计偏差)，这时我意识到往上偏了，我实际手里是0，而告诉别人是5，多告诉了，所以现在告诉别人要-5. 这次行为记录为0.
以上记录偏差需要积分器，知道多了还是少了要比较器，+5还是-5是反馈器。
3.此时值变为了5-5=0. 然后继续前面的过程。
所以记录的行为是告诉别人1010101010，即+5，-5的来回调整，最终平均下来就是+5和-5的次数一样，也就是平均值0.
实际上面我们就已经设计出来了，现在来画出其框图，很简单，无需再解释了。
可以使用matlab的工具箱Delta sigma toolbox进行仿真。
ADI有一个在线网页可以形象的仿真每一步。可以对照上面的描述一步步去理解。
https://www.analog.com/en/design-center/interactive-design-tools/sigma-delta-adc-tutorial.html
设置输入电压比如0V, 1bit D/A电压幅度1V。点击start over回到初始状态
点击Next Step进入下一步，先计算偏差，输入为0，默认DA输出0，如下红色的偏差0，
点击Next Step偏差积分为0
点击Next Step，比较器输出为1
点击Next Step，比较器输出1，控制DA输出REF+即+1V
点击Next Step，计算新的偏差为-1
点击Next Step，对偏差积分0+-1=-1
后面就是重复前面的步骤，
可以看到最后输出10101010的序列，计算20步之后是
10101010101010101010，即PDM编码，对应的就是1的密度为50%，即峰峰值的一半，即0V。
如果输入0.5，20步之后，1的个数为15/20即3/4， 即峰峰值的3/4, 即-1往上偏移2*3/4=-1+1.5=0.5.
我们再来看上面的框图，可以看到对偏差进行积分，然后通过负反馈反向调整。这不就是理想运放的模型吗。
理想运放放大倍数无限大，所以只要有一丁点偏差就会触发后面比较器向偏差相反方向调整，通过DA要不就往+REF要不就往-REF调整。最终收敛可以偏差很小，也就是输出和输入的偏差很小，作为ADC采样就是采集的很准，这也就是sigma-delta可以做到24位甚至32位高精度的原因，但是他是用长时间的比较收敛来获得的，也就是长时间的平均来表示其值，所以采样率就低了，不适合采样高速信号，这就是这个世界总是充满矛盾的，没有这么完美。
一句话总结，哦豁，原来我们设计的PDM编码就是一个理想运放模型。
再来一句话总结， 哦豁，差分-反馈，大了就减小，小了就增大，三岁小孩都知道的道理，就这么简单。但是要保证偏差小精度大，就要很灵敏，即很小的偏差就要能检测到以决定如何调整，即放大倍数要大。
你看高深的技术，原来总是这么朴实无华，我们能发明PDM也就没什么奇怪的了。
但是，道理很简单，应用还是需要深入研究其原理的，我们从感性的认识到抽象的模型再到原理的分析，这样的步骤去理解会更透彻，而不是一上来就陷入莫名其妙的模型，算法，公式当中完全不知所云。后面我们会再从不同角度:时域，频域等角度去分析其特性，最终应用到实处，比如PDM播放音频的实践。
