有源滤波器-Sallen-key拓扑

嵌入式客栈 2020-08-18 00:00

名字由来及特点

Sallen-key是设计有源滤波器设计的一种拓扑结构,又称塞伦-凯型滤波电路。是VCVS(Voltage-controlled voltage-source)滤波器的变种,由麻省理工学院林肯实验室的R. P. Sallen and E. L. Key 在1955所提出。


Sallen-key拓扑的特点是:

a. 高输入阻抗;

b. 增益容易被配置;

c. 运放被配置为电压跟随(Voltage Follower)模式;


通用 Sallen-key 拓扑

图 1 显示了采用单位增益运算放大器实现的通用单位增益 Sallen–Key 滤波器拓扑。下面的分析基于假设运算放大器是理想的。

图 1 Sallen-key拓扑

因为运算放大器(OA)是在一负反馈配置,根据虚短原则,其 V+ = V- 。并且,反相输入端V-直接连接到输出 Vout,所以

根据电流节点方程(KCL)应用于 Vx 节点

通过结合方程式(1)和(2),

在 OA 的非反相输入应用等式(1)和 KCL,可得

意思就是

结合方程式(2)和(3)可得出


重新排列方程式(4)给出传递函数


分支阻抗

通过选择不同的无源元件(例如,电阻器电容器)Z1, Z2, Z4 和 Z3,该滤波器可以具有低通带通高通特性。在下面的例子,回想与电阻器的电阻 R阻抗 ZR

并与电容器电容 C有阻抗 CR的

里 s = jw = 2πjf(这里 j表示虚数单位)是 角频率,并且 f 是纯正弦波输入的频率。也就是说,电容器的阻抗与频率有关,而电阻器的阻抗与频率无关。


应用举例

以下图 2、图 3、图 4 分别为 Sallen-key 拓扑下的单位增益低通滤波器、单位增益高通滤波器、放大倍数 G = 1+Rb/Ra 的带通滤波器。


图 2 Sallen-key拓扑的单位增益低通滤波器

图 3 Sallen-key拓扑的单位增益高通滤波器

图 4 Sallen-key拓扑的带通滤波器

其中图 2 给出了单位增益低通配置的示例。此处,运算放大器用作缓冲器,尽管发射跟随器也很有效。该电路等效于上述通用情况。

该二阶单位增益低通滤波器的传递函数

或   Q = 1 / (3-Aup),                                                                                               (6)

此处 Aup 是滤波器的放大倍数,Q 的含义类似于谐振回路的品质因数,故有时称为等效品质因数,也称为滤波器的截止频率系数。不同 Q 值时,压控电压源二阶低通有源滤波电路的对数幅频特性如下图 5 所示:由图可见,Q 值越大,则f = f0 时的 |Au| 值也越大。由式 (6) 可知,若 Q=1,f = f的 |Au= Aup,此时,滤波器既能保持通频带的增益,又能保证高频段幅频特性很快地衰减,同时避免了在 f = f0 处幅频特性产生一个较大的凸峰,因此滤波效果较好。

图 5 对数幅频特性

按照 f = f0 附近频率特性的特点,可将滤波器分为巴特沃斯(Butterworth)、切比雪夫(Chebyshev)和贝塞尔(Bessel)三种类型。下图 6 是这三种类型的二阶低通滤波器的幅频特性,他们的 Q 值分别为 0.707、1、0.56。巴特沃斯滤波器的幅频特性无峰值,在 f = f0 附近幅频特性曲线为单调减。切比雪夫滤波器在 f = f0 附近截止特性最好,曲线的衰减斜率最陡。贝塞尔滤波器的过渡特性最好,相频特性无峰值。

图 6 三种类型二阶低通滤波器的幅频特性

关于以上公式的推导在这篇文章中不做详细的说明,有兴趣的同学可以查阅自动控制原理相关细节。果然,上学时候老师说的是对的,有用的课就这几门还不好好学,现在要交学费了。附上一本大学时期的自动控制原理教材,如下图 7,查了下这本书还很贵,官方售价42。本公众号后面会继续更新关于滤波器方面的一些其他内容,欢迎小伙伴一起交流学习,共同进步!

图 7 无标题

END

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