无人驾驶控制算法之H∞控制

预备知识

——有界实引理

在H∞控制理论中最重要的定理即有界实引理，下面将针对线性连续系统和线性离散系统进行分析并得出有界实引理。

引理1：考虑线性连续系统

如果满足以下两个条件则系统（1）具有H∞性能：

（1）存在满足如下不等式：

（2）存在正定对称矩阵满足如下不等式：

令，则不等式（3）等价于：

引理2：考虑线性离散系统

（1）存在满足如下不等式：

（2）存在正定对称矩阵满足如下不等式：

——舒尔补定理

在H∞控制器设计过程中，舒尔补定理在矩阵不等式的解算过程中起着非常关键的作用。舒尔补的性质：给定矩阵，则如下线性矩阵不等式（LMI）

等价于：

其中，表示输入矩阵，表示额外扰动矩阵，表示额外扰动。

为了构建闭环控制系统，系统输入被设计为u=-Kx，则系统的状态空间描述等价于：

其中，表示闭环系统矩阵，。

定理1：如果存在正标量使下面不等式成立，则使闭环控制系统（10）具有H-infinity性能。

其中矩阵。

证明过程：假设存在一个，使得下面不等式成立：

其中表示正定矩阵的最大特征值。

为了保证系统H-infinity性能，评价指标被引进，如下所示：

如果成立，则可保证控制系统H-infinity性能。

根据舒尔补定理，评价指标可以被等价描述为：

设，则评价指标函数可表示为：

经上述推导可知，等价于，即只要保证不等式成立，则成立，进而保证系统的H-infinity性能。

离散系统H∞控制器设计

为了构建闭环的系统矩阵，系统输入被设计为，则系统矩阵可以被重新描述为：

定理2：如果存在正标量使得下面不等式成立，则使得闭环控制器（19）具有H-infinity性能。

证明过程：假设存在一个，使得下面不等式成立：

其中表示正定矩阵的最大特征值。

为了保证系统H-infinity性能，评价指标被引进，如下所示：

如果成立，则可保证控制系统H-infinity性能。

根据舒尔补定理，评价指标可以被等价描述为：

可以被等价描述为：

设可以被描述为

根据舒尔补定理可以被等价描述为：

经上述推导可知，等价于，即只要保证不等式成立，则成立，进而可保证离散系统的H∞性能。

-  THE END  -

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