信号与系统期末考试命题与参考答案

【表2-1 选择题答题表格】

【表2-2 判断题答题表格】

一、选择题

• 题目要求：  单项选择题（10×1=10分。 将答案写在试卷前面的答案表格1中）

  1、  下面四个信号为 LTI 系统的单位冲激响应， 哪一个信号对应的系统不是稳定系统？（  ）

解答：（D） 。这个题目实际上是判断信号是是否满足绝对值可积。

  2、   下面信号中， 哪一个信号的频谱是离散频谱？

  注：信号自变量为 t 对应着连续时间信号， 自变量为 n 对应着离散时间信号。

解答： （C）。  这个题目实际上是询问信号的周期特性。  无论是连续时间信号还是离散时间序列， 只有对应的信号为周期信号， 它们的频谱才是离散的频谱。

  3、  如果使用匹配滤波器来检测信号与发送信号之间的延迟， 那么下面四个零均值信号中哪一个最适合作为发送信号？  （  ）

答案：（B）。 本小题原型来自于 第十四次作业：匹配滤波器^[7] 。 四个信号的自相关信号波形如下图所示。

from headm import *

t = linspace(-pi,pi,10000)
def G(t, startn, endn):
    return heaviside(t-startn,0.5)-heaviside(t-endn,0.5)
def Gt(t, center, width):
    startn = center-width/2
    endn = startn + width
    return heaviside(t-startn,0.5)-heaviside(t-endn,0.5)

ft1 = G(t,-0.5,0.5)
ft2 = random.rand(100)
ft3 = cos(t)/2+0.5
ft4 = sin(20*t)/2+0.5

plt.plot(t, ft4, lw=6)

plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.grid(False)
plt.tight_layout()
plt.show()

  4、  对于信号 进行下面四种变换，哪一种变换不满足能量守恒？ （  ）

  A.  傅里叶变换；

  B.  拉普拉斯变换；

  C.  希尔伯特变换；

  D.  时域尺度变换；

解答：（D）。   的尺度变换 会引起能量增加或者减少。 关于希尔伯特变换能量不变可以参见：  信号与系统习题设计：2023^[8] ， 或者后面简答题第三小题第二个证明题。

  （5）  下面四个周期信号的波形中， 哪一个信号除了基波之外，不再包含所有的奇次谐波分量？（  ）

解答：（B）。  这个小题是在第三章典型周期信号傅里叶级数分解中半波整流信号的一个特点。 只有基波以及所有的偶次谐波。  这个小题可以通过排除方法来进行分析。 也就是根据对 A,D两个信号都是同时具有偶次和奇次谐波。  C只有奇次谐波。 因此最后只剩下 B 满足要求。
（B）是一个半波整流信号， 可以看成余弦信号与同频率，占空比为 50% 的方波信号的乘积。 对称方波信号是奇谐信号，只有奇次谐波。 方波信号乘以余弦信号，可以看成被“调制”， 因此对应的频谱左右移动一倍的频谱， 原来奇次谐波都变成了偶次谐波。 而原来的直流分量就变成了基波（一次谐波）。
详细可以参见课件 4.3.1。

  （6）  已知 LTI 系统的系统函数零极点分布如下图中所示， 幅频特性为高通滤波器的系统为：（  ）

解答：（B）   这个题目中的零极点分布来自于 第十三次作业中判断系统幅频特性^[9] 中的零极点配置。 讲解可以参见 典型零极点分布对应系统的频率特性^[10] 。

  （7）  已知频率为 5MHz 的正弦波的采样一阶保持恢复波形如下图所示：

  在下面给出的四个频率中， 哪一个不属于恢复波形中的谐波分量？ （  ）

解答：（A）  。 这个习题来自于   信号与系统2023随堂测验-60道选择题^[2] 第五个习题变形。 具体分析可以参见 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第九次作业^[11] 中的第一小题。

  （8）  已知实数信号   的频谱分布在一个有限频带内， 。 假设信号的带宽   等于三分之一   。 对该信号进行无损采样 的最低采样频率是多少？ （  ）

  注： 无损采样 是指能够从采样数据中恢复出原始信号 。

<> 解答：（B）  本题实际上来自于 第八次作业的第四小题 关于窄带信号采样问题的讨论。  也希望大家能够记得针对该问题进行的课堂讨论。,>

  9、  已知信号   的奈奎斯特频率为   ， 下面信号中哪一个对应的 奈奎斯特频率最小？（  ）

  注：信号的奈奎斯特频率对应信号中最高频率分量的 2 倍。

解答： （D）。  本小题原型： 第八次作业 三（2）^[12]  信号采样频率。

  10、  根据下面系统输入输出之间的关系， 其中不可逆系统为：（  ）

解答： （D）。     （A）的逆系统为   ；（B）的逆系统为   ；（C）是卷积运算， 在变换域内是乘积运算。 对应的逆系统可以将参与卷积信号取倒数。不过它对应的逆系统可能不是稳定的逆系统。 （D）是离散系统， 输出信号只包含有输入信号在 n 的平方位置的数据。

二、判断对错

• 题目要求： 判断对错提（10×1=10分，  正确画√， 错误画×。 将答案写在试卷前面的答案表格2中）

  1、   如果离散时间系统的系统函数 的极点都在单位圆内， 则该系统是稳定系统。（  ）

解答：（×）。 如果系统不是因果系统， 比如是反因果系统。 则对应的系统则不稳定。 次小题需要根据系统函数的收敛域是否包含单位圆 来判断系统是否是稳定系统。

  2、  两个无失真系统的并联仍然是无失真系统。 （  ）

解答： （×）。  一个恒等系统和延迟系统的并联， 对应系统幅频特性不是一个常量， 该系统不是无失真系统。

  3、  位于虚轴右半平面靠近虚轴的零点，会使得系统在对应频率附近的幅频特性下降， 相频特性上升。（  ）

解答：（×）。 由于零点在右半平面， 对应的相频特性是下降。

  4、   下面阻容滤波电路的输入输出之间 一定是线性关系。（  ）

解答：（×）。 在电容初值电压不为0时， 输入输出之间的关系有可能是增量线性。

  5、  系统函数   对应的单位冲激响应的终值等于 0。（  ）

解答：（×）。  这个系统函数具有 在 虚轴右边的极点， 所以它不能够使用终值定理进行判断。

  6、  如果 FIR 数字滤波器的系数呈现关于中点偶对称， 则该数字滤波器具有线性相位。（  ）

解答：（√）。  这是第八章关于FIR滤波器线性相位讲解的条件。 详细参加课件 8.3.1。

  7、  信号的奇分量和偶分量之间是正交的。（  ）

解答：（√）。 在第一章介绍的信号 直流交流分解、奇偶分解、虚实分解、脉冲分解等都是正交分解。

  8、 不存在信号的时域波形和频域频谱都是有限长的信号。（  ）

解答：（√）。 这个问题在期中随堂测验中测试过。 对于这个题目的分析可以参见： 信号与系统2023随堂测验-60道选择题^[2]

  9、  全通系统的相频特性是单调下降的。（  ）

  注： 这里是考虑线序相频特性曲线， 不考虑将相频特性映射到   范围内。

解答： （√）

  10、  课程讲解的 4800波特率的数传机设计方案中， 应用了单边带信号调制技术将信号频谱搬移到 300 - 3000Hz 通带范围内。

三、填空题

• 题目要求：  提空提：（2+2+3+3+3+2=15分。 将答案写在试卷题目中空线上）

  1、  已知序列  对应的 DTFT为 $X\left( {e^{{j\omega } } \right)X\left( {e}{j\omega } } \right)N = 4X\left[ k \right]X\left[ k \right]y\left[ n \right] =$           。

答案：   。 本小题原型来自于 第十四次作业中 DFT反变换^[13] 的题目内容。

  2、  已知连续时间系统框图如下图所示， 系统稳定对应的反馈系数   需要满足的条件为：          。

解答： 。 本小题原型来自于 第十二次作业中第三题系统稳定性与因果性^[14] 。 具体求解过程参见： 第十二次作业答案^[15] 。

  3、  已知序列   对应的 z 变换如下。 序列的 初值         。 序列的终值         。

解答： 初值：2；    终值：7。    X(z) 的因式分解为：   。

  4、  设系统在输入信号   的激励下， 系统的零状态响应如下。 则系统函数为：        

  5、 信号 的波形如下图所示， 它的 拉普拉斯变换为：          。

本小题的原型来自于   利用Laplace性质求Laplace 变换^[16] 。

  6、 已知信号调制与低通滤波器系统如下图所示， 其中   是本地自激振荡器。 理想低通滤波器的截止频率为   。 信号载波信号的频率 远远大于   。

  如果输入信号为：

  那么系统输出信号           。

解答：   。   本小题的解答参见  第八次作业 二、（1）的第三小问^[17] 。 由于同步解调过程中， 载波信号与同步解调振荡信号之间的相差90°， 所以最后输出信号为 0。

四、简答题

• 题目要求：  简答题（5+5+5=15分。 将答案写在答题纸上， 答案全面标注题目标号）

第一小题：信号频谱分析

  利用离散傅里叶变换（DFT）分析一个电压信号频谱， 要求频谱分析的指标为：

  （1）  信号频谱中最高频率   ;

  （2）  离散频谱中频率间隔   ；

  （3）  为了适应 FFT 算法， 采集数据点个数 N 需要为 2 的整数次幂；

  根据以上数据分析指标要求， 请简单回答以下问题：

  （1）  数据采样频率   和采样数据点   分别是多少？

  （2）  如何减少频谱分析过程中的 频谱混叠 和 频谱泄露 现象？

  （3）  如果数据采样数值对应信号实际电压幅值，  如何使得 FFT 计算出的频谱数值反映实际信号中频率幅值。

◎ 解答：

  （1）  数据采样频率应该满足   。 数据采集时间长度   ， 对应的数据采样个数   。 再根据 FFT 要求 N 是 2 的整数次幂， 所以最终   。

  （2） 减少频率混叠现象可以采取 提高采样频率，或者对电压信号进行抗混叠滤波。  减少频谱泄露 现象可以增加信号采样时间， 或者对采集数据进行数据加窗， 比如使用 三角窗、汉宁窗、汉明窗等；

  （3） FFT 计算的结果乘以 采样时间间隔 ， 便可以使得计算结果与信号实际频率幅值相等；

本小题原型来自于 第十四次作业中：频谱分析应用^[18] 题目内容， 进行了参数改变和问题内容增加。

第二小题： 系统性质分析

  请简要回答线性时不变系统的单位冲激响应信号 与系统时域特性（即时或动态、因果、稳定）以及频率特性之间的关系。

◎ 解答：

  （1）  如果   的形式如 的类型，则系统为即时系统； 否则属于动态系统；

  （2） 如果 是 因果信号， 则系统为因果系统； 否则系统为非因果系统；

  （3） 如果   绝对值积分小于无穷， 则系统为 BIBO 稳定系统； 否则系统为非稳定系统；

  （4）   的 傅里叶变换为系统的系统函数 ， 它的模式反应了系统的幅频特性， 相位是系统的相频特性；

第三小题：证明题

  下面两个证明题， 可以任选其中一个进行证明。

  （1）   因果线性时不变系统函数    的实部和虚部之间满足希尔伯特变换， 即：

  （2）  信号 是   的希尔伯特变换， 即：

  请证明：

◎ 证明：

  （1）  根据系统为因果系统， 所以其单位冲激响应 为因果信号， 于是它满足：

  系统函数 是 的傅里叶变换， 于是有：

  根据傅里叶变换频域卷积定理， 可得：

  于是有：

  因此，可得：

所以：

  （2）  符号函数 的频谱为   。 根据傅里叶变换的对偶特性， 可以知道：

记：

  根据 傅里叶变换能量守恒定理， 可以知道：

五、计算题

• 题目要求：  计算题（5×5=25分。 将答案写在答题纸上， 答案前面标注题目标号）

第一小题

  已知调制信号波形如下图所示， 其中载波信号为 。求该信号的傅里叶变换。

注：这个题目在试卷上写的载波为 ， 所以下面答案中需要将   改为   。

◎ 解答：

  首先求取信号   调整包络线   对应的频谱。 它可以看成宽度为   ， 高度为 E的矩形信号   减去同样宽度和高度的等腰三角形信号   获得。   的频谱分别为：

  那么   对应的频谱为：

  再根据傅里叶变换平移特性， 原信号的频谱为：

本小题来自于  第六次作业的^[19] 第一题第二小题以及第三题第二小题的变形。

第二小题

  已知信号 的波形如下图所示：

  信号的频谱为   。 请绘制出   傅里叶反变换的信号波形。

◎ 解答：

 的傅里叶反变换，对应原来信号的奇分量的反褶。 根据信号波形， 可以绘制出它的奇分量反褶如下图所示：

第三小题

  已知 LTI 系统的系统函数如下：

  求该系统的单位冲激响应， 并粗略绘制出系统的幅频特性曲线。

◎ 解答：

  系统的单位冲激响应 就是   的 Laplace 反变换。 使用因式分解方法对   进行 Laplace 反变换。 由：

  注： 最后的答案写成  $h\left( t \right) = \left( {3e^{{ - 5t}  - 2e}{ - 3t} } \right) \cdot u\left( t \right)$ 也是可以的。

注：这个题目原型来自于  第十三次作业：第一小题的第一个题目^[20] 。 只是将原来题目的零极点位置进行了调整。

  根据   的零极点分布（如下图所示）， 它的零点距离原点比较近， 可以看成两个极点和一个原点处的零点对应的高通滤波器的变形。 所以这个系统的幅频特性呈现带通滤波器 的特性。 只是在频率   等于0时， 对应系统幅频特性不是从 0 开始增长， 而是从 一个较小的数值增加。

  绘制的幅频特性需要满足一下两个特点：

• 整体呈现带通滤波器特性。 即扶贫特特性随着频率增加先升后降。
• 在频率等于 0 时， 对应的幅频特性是大于零的。

  下面是通过 Python 绘制的该系统的频率特性。

from headm import *
from scipy.signal           import bode,TransferFunction

sys = TransferFunction([1,-1],[1,8,15])
w,mag,phase = bode(sys, logspace(-1, 1.5, 1000))

plt.semilogx(w, mag, 'g', lw=3, label='Magnitude')

plt.xlabel("Frequency(rad/s)")
plt.ylabel("Magniude(dB)")
plt.grid(True)
plt.legend(loc="upper right")
plt.tight_layout()

ax2 = plt.twinx()
ax2.semilogx(w, phase, 'r', lw=3, label='Phase')
ax2.set_ylabel('Phase')
ax2.legend(loc='lower left')
plt.tight_layout()

plt.show()

第四小题

  已知序列   的   变换是一个有理分式， 对应的零极点分布如下图所示。 原点有一个二阶零点， 两个一阶极点分别位于 0.5 和 1.5 处。 收敛域为阴影区。 已知序列初值   。 求原序列 。

◎ 解答：

  根据   的零极点分布， 可以写出对应的有理分式：

  对其进行因式分解，可以得到：

  根据 对应的收敛域， 可以知道第一因式对应的右边序列， 第二个因式对应的左边序列， 所以：

  根据   可以求得   。所以最终序列表达式为：

第五小题

  已知两个有限长的序列   ， 。 求：

  （1）  两个序列的线卷积；

  （2）  两个序列长度    圆卷积；

  （3）  两个序列长度    的圆卷积；

◎ 解答：

  （1）   两个序列的线卷积的结果：

  （2）  两个序列 长度    对应的圆卷积的结果：

  （3）  两个序列长度   对应的圆卷积的结果：

from headm import *

x = [2,1,0,3]
h = [1,2,3]
y = convolve(x,h)

printf(y)

def cc(x, h, l):
    x.extend([0]*(l-len(x)))
    h.extend([0]*(l-len(h)))
    printf(x,  h)

    y = fft.ifft(fft.fft(x)*fft.fft(h))
    printf(real(y))

cc(x, h, 8)

六、综合题1-系统分析

• 题目要求：  （10分。  将答案写在答题纸上， 答案前面标注题目标号）

  已知 LTI 系统框图如下图所示：

  （1）  写出该系统的传递函数   ；

  （2）  绘制出系统函数零极点分布；

  （3）  求该系统的单位阶跃响应；

  （4）  判断该系统的稳定性；

◎ 解答：

  （1）   根据系统框图，可以写出对应的的系统函数为：

  （2）

  （3）  系统的单位阶跃响应为：

  对上述 Laplace 反变换中的因式进行因式分解：

  写出对应的时域信号表达式为：

  （4）  由于系统函数在虚轴上具有两个极点， 该系统为不稳定系统。

#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#******************************
# TEST1.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2023-06-06
#
# Note:
#******************************
from headm import *
from sympy                  import symbols,simplify,expand,print_latex
from sympy                  import *
#------------------------------------------------------------
s,t,z,n = symbols('s,t,z,n')
A1 = 1/(s+2)
A2 = 2
A12 = A1/(1-A1*A2)
A3 = 1/(s+1)*A12
A4 = 1/s+1
ALL = simplify(A3/(1+A4*A3))
ht = inverse_laplace_transform(ALL/s,s,t)
result = ht
#------------------------------------------------------------
print_latex(result)
_=tspexecutepythoncmd("msg2latex")
clipboard.copy(str(result))
#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST1.PY
#******************************

本题原型来自于 第十二次作业第一小题：系统框图与系统函数中的连续时间系统框图^[21]  。

七、综合题1-欠采样分析

• 题目要求：  （8分。  将答案写在答题纸上， 答案前面标注题目标号）

  已知信号采样与恢复系统如下图所示。 其中子系统   是一个理想低通滤波器。 截止频率等于信号   频率的一半。

  已知   的表达式如下。

  （1）  写出采样信号 的频谱，并绘制出频谱示意图。

  （2）  为了使得输出 的最高值等于 2， 求低通滤波器的通带内的放大倍数 A 是多少。

  （3）  写出低通滤波器输出 的表达式。

  （4）  在一个坐标系内粗略绘制出   的波形。

◎ 解答：

  （1）  信号   的频谱分别为：

  所以采样信号 的频谱为：

对应的频谱示意图如下：

  （2） 如果低通滤波器的增益等于1， 对应的的输出频谱为：

  对应的   的时域表达式为：

  为了 使得 的最大值为 2， 则对应的通带内的增益 A = 0.9。

  （3） 当低通滤波器的增益等于 0.9时， 对应的输出表达式为：

  （4） 信号 的波形如下图所示：

from headm import *

t = linspace(0, 10, 10000)

xt = 1+cos(2*pi*t)
yt = (1+cos(2*pi/9*t))

n = linspace(0, 12, 12, endpoint=False)

plt.plot(t, xt, lw=1, label='x(t)')
plt.plot(t, yt, lw=3, label='y(t)')

printf(n)

for nn in n:
    tt = nn*0.9
    printf(tt)
    if 1+cos(2*pi*tt) > 0.1:
        plt.arrow(tt, 0.0, 0.0, 1+cos(2*pi*tt), shape="full", lw=0.5, length_includes_head=True, head_width=0.075)

plt.xlabel("t")
plt.ylabel("f(t)")
plt.axis([min(t)-(max(t)-min(t))/20, max(t)+(max(t)-min(t))/20, -0.500, 3.00])
plt.grid(False)
plt.legend(loc='upper right')
plt.tight_layout()
plt.show()

printf(n)

八、综合题3-系统响应

• 题目要求：  （7分。  将答案写在答题纸上， 答案前面标注题目标号）

  下图所示的离散时间线性时不变系统的结构框图， 是由五个子系统通过串并联组成。

  其中每个子系统的单位冲激响应分别为：

  （1）  求 系统的单位冲激响应   。

  （2）  如果   取值为   ， 求系统的零状态响应   。

◎ 解答：  【方法一】

  （1）   根据各子系统的单位冲激响应， 求取各子系统的系统函数：

  为了求解   ， 对于   进行因式分解：

![]$ 的取值， 可以知道对应的 z 变换等于：

  那么此时系统输出的 z 变换等于：

  系统的输出为：

◎ 解答：  【方法二】

这个试题可以直接在时域，应用卷积计算完成求解。

（1）  根据系统框图， 可以知道系统的单位冲激响应

根据   ，可以知道：

因此：

最后

（2）   系统的零状态响应为

所以

注： 这个题目是来自 1999年信号与系统期末考试第三题（20分）进行了简化。

参考资料