第十四次作业参考答案

一、离散傅里叶变换

1、求正弦序列的离散傅里叶变换

2、频谱分析应用

  （1）  数据采集时间间隔等于数据采集频率 的倒数。根据要求， 信号中最高频率   ， 那么   。因此数据采集间隔   ：

  （2） 根据频率分辨率   ， 因此要求数据采样总时间：

  那么采样数据点

  为了适应 FFT 算法， 最终取   。

3、DFT反变换

  根据题目条件， 可以知道   是对   进行   点的DFT。所以对应的反变换   是对   进行   的周期延拓后， 再取主值区间， 即：

  （1） 根据   ， 它周期延拓之后形成如下的周期序列。

那么

  （2）  根据   ， 它的周期延拓之后形成如下周期序列：

那么

4、频谱分析计算量

（1）必做题

  （1）  直接使用（线）卷积计算 ，所需要的的实数乘法为

  所需要的实数加法为

  为了说明上述结论， 可以有列表法求解序列卷积过程， 展示了所有惩罚和加法册数。

  （2）  利用 基-2 的 FFT， 完成   之间的线卷积。根据课件上给定的快速计算框架， 其中所需要的计算过程包括：

• 将两个序列通过补零达到相同长度， 长度大于等于   ， 并且是 2  的整数次幂， 因此补零长度取   。

  计算过程需要三次 FFT 的计算复杂度 和一次变换域内的成绩， 因此：

* **复数乘法次数** ：

* 复数加法次数：

  根据附属的运算，最终所需要的实数乘法次数和加法次数为：

  （3）  对比上面频谱分析中的计算结果， 可以看到使用 FFT 计算所需要的计算量远比直接计算卷积所需要的计算量还要大！因此， 利用FFT实现快速卷积所使用的序列需要满足一下两个条件：

• 两个序列长度比较长；
• 两个序列的长度大体相同；

（2）选做题

  对于长度   的序列 ， 应用 DFT 计算所需要的复数乘法和加法为：

  所需要的实数乘法和加法次数：

  单片机所需要的计算时间：

  使用 FFT 所需要的复数乘法和加法的次数为：

  所需要的实数乘法和加法的次数：

  因此 单片机所需要的运算时间为：

  对比 直接使用 DFT 和 FFT 单片机的运算时间， 使用 FFT运算速度提高了大约  1680 倍。

二、滤波器设计

1、匹配滤波器

  答案是 D。根据匹配滤波器的特点， 要求发送信号的自相关的能量约集中越好， 使得时间延迟检测更加精确。下面是四个心慌可波形：

  上面四个信号的自相关波形为：

2、物理可实现性

  （1）  根据佩里-维纳准则， 要求   积分有限。

对于   进行积分， 根据   的原函数：

所以

  所以该系统是物理可实现的。

  （2）  由于

当   趋于     取值部位 0， 所以它的积分是发散的。根据佩里-维纳准则， 这个系统不满足绝对可积，所以该滤波器无法物理实现。

3、滤波器结构图

  （1）

  （2）

  （3）

  （4）

  （5）

4、滤波器转换

  （1）

• 冲激响应不变法：将系统函数进行因式分解：

  对应的数字滤波器为

• 双线性变换方法：直接将   中的   应用 $s = 2/T_s  \cdot \left( {1 - z{ - 1} } \right)/\left( {1 + z{ - 1} } \right)$ 替换， 可得：

  （2）

• 冲激响应不变法：将系统函数进行因式分解

  对应数字滤波器的系统函数为：

• 双线性变换法：

参考资料