第十二次作业参考答案

• 信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第十二次作业^[1]

一、系统框图与系统函数

1、连续时间系统

• 必做题 ： 第一小题

  （1）

  设置输入输出信号的 Laplace 变换分别为   。 根据系统框图的结果， 可以写出各个节点对应的表达式。

  根据最后一个综合器的输出到系统输出之间的关系， 可以写出方程：

  所以系统的系统函数为：

  （2）

  对   进行因式分解：

  写出对应的时域表达式， 便得到系统的单位冲激响应：

  （3）

  由于 中包含有一个指数增加的分量， 所以   的绝对值积分趋于无穷大， 所以该系统是一个不稳定系统。

• 选做题：  第二小题

  （1）

  设 Y(s) 前面一个节点为 W(s)， 那么 ： 。

  分别写出前面个之路的信号， 根据第一个综合器写出方程：

  求解出 W(s)：那么：

  可以得到系统的系统函数：

  （2）

  根据   ， 对应的 Laplace变换为：

  系统的零状态对应的 Laplace 变换为：

考虑

  对应的时域信号表达式：

  再根据 Laplace 时移特性， 系统的零状态输出是上述信号延迟时间 1：

  （3）  由于   包含有一对共轭极点 ， 位于虚轴上， 所以该系统不是一个稳定系统。

2、离散时间系统

• 必做题：  第一小题

  （1）  根据系统的零极点的分布， 可以写出系统函数：

  其中的    是待定系数。 根据已知系统的初值   ， 由 z 变换的初值定理：

  所以系统的系统函数为 ：

  系统的单位样值相应   是系统函数   的 z 反变换结果。 根据因式分解方法， 可以写出   的时域表达式：

  写出对应的右边序列表达式：

  （2） 根据系统函数   ， 可以写出对应的差分方程：

  可以绘制出与差分方程对应的系统框图， 如下图所示：

  （3）  根据   ， 所以   。 系统的零状态响应的 z 变换为：

  利用因式分解， 可以获得   的表达式：

• 必做题：  第二小题

  （1）  选择系统框图中 第二、三综合器之间的变量为   。 分别写出图中个支路对应的信号。 根据第二、三综合器写出两个方程。

  根据上面两个方程， 写出   与   之间的代数关系， 如下：

  那么， 系统函数为：

  （2） 将输入信号进行 z 变换， 得到输入信号的 z 变换表达式：

  那么， 系统的零状态响应的 z 变换为：

  利用因式分解方法， 求上式的 z 反变换， 可以得到系统零状态响应的时域表达式：

  （3）  由于该系统的系统函数中， 存在有两个极点位于 单位圆外， 在单位圆上存在两个极点。 所以系统不是一个稳定系统。  由于系统是一个有理分式， 分子的阶次与分母的阶次相同， 该系统函数的收敛域包含 z 平面上的无穷远点。 所以该系统是一个 因果系统。

• 选做题：  第三小题

  在系统框图中添加中间临时变量   。 写出系统中各分支对应的变量。

  根据系统框图中累加器关系，可以得到如下方程：

  消去   临时变量，得到系统函数：

  根据系统给出的   表达式，代入上面   ， 可得：

  进行因式分解，可得：

  写出相同响应对应的右边序列：

  （2）  H(z) 的极点都在单位圆内， 系统是未定的。

二、系统的稳定性与因果性

• 必做题：  第一小题

  系统的零状态响应与输入信号之间的关系可以由卷积运算而得：   。 在 Laplace 变换域内， 它们之间是乘积关系：   。 所以 系统的输入的 Laplace 变换等于：   。  根据已知的   ， 可以知道它们对应的 Laplace 变换分别为：

因此：

  所以，输入信号为：

• 必做题： 第二小题

  （1）  根据系统的差分方程， 可以写出系统的系统函数：

  根据系统的零状态输出， 可以写出它的 z 变换：

  那么系统的激励信号的 z 变换为：

  对应的时域序列信号为：

  （2）  根据系统的差分方程， 系统的一种实现结构框图如下图所示：

• 选做题：  第三小题

  （1）  这个题目原来是在第二章， 现在在 Laplace 变换域内讨论这个题目的求解过程。 将两次系统的输入和输出都进行 Laplace 变换。

  系统的完全输出等于零状态响应加上零输入响应：

  上面两个表达式相减，可得：

所以

  进行 Laplace 反变换可得：

  （2）  根据已经求得的   ， 可以求得   ：

  进行 Laplace 反变换，可得：

  （3）

  将   进行 Laplace 变换：

  那么系统的完全响应为：

  对应的时域信号为：

三、系统的稳定性与因果性

1、连续时间系统

  （1）  根据系统框图，可以写出系统的系统函数为：

  （2）  系统函数的两个极点分别为：

  当   时， 对应的极点都位于 s 平面的左半平面， 系统稳定。

  （3）  当 ， 即 时， 系统函数具有二重极点， 极点为   。 此时， 系统函数为：

  系统的单位冲激响应为：

2、离散时间系统

  （1）  根据系统框图，可以得到如下方程：

  简化之后， 可以得到系统的系统函数为：

  （2） 整理系统函数如下：

  系统函数的两个极点分别为：

  下面绘制出l个极点对应不同 K值变化情况。

  分别求出一下两个方程对应的根， 可以知道 K 取值在    之内时， 两个极点都位于单位圆内。

  因此， 当   时， 系统是稳定的。

3、判断系统的稳定性

  （1）  系统的系统函数为：

  系统的极点为   ， 位于单位圆外。 该因果系统为 不稳定系统。

  （2） 系统的系统函数为：

  系统 在   处有一个两阶极点，所以该系统为不稳定系统。

4、判断系统的因果性

四、求解系统函数

1、问题1

  1、根据系统是因果、稳定、LTI系统， 可以知道系统的有利系统函数的极点都位于 s 平面的左半平面。

  2、根据系统在   的左腋下， 系统的输出为加v对可积， 表明 的有炼狱包含着虚轴， 即 没有   出的极点， 所以   至少包含有一个   的零点。

  3、根据系统在 的作用下， 系统的输出不是绝对可积， 因此， 在   处的零点不超过两阶， 所以系统函数可以写成：

  4、根据  ${{d^{2 } \over {dt}2 }}h\left( t \right) + 3{d \over {dt}}h\left( t \right) + 2\left( {s^{2  + 3s + 2} \right)H\left( s \right)B\left( s \right) = s}2  + 3s + 2$ 。

  5、根据   在无穷远点只有一个一阶零点， 说明   的分子比分母阶次小于 1， 所以系统函数可以写成：

  6、根据   ， 可以求得：

  最终， 该系统的系统函数为：

2、问题2

  将   进行 Laplace 变换：

  由于   是实数函数， 所以   应该包含有共轭函数：

所以：

  对比LTI输出信号的表达式， 可以知道   。

  因为  

五、电路系统分析

1、受控电压源

  （1） 为了   ， 分别考虑在   和 作用下， 在   上所形成的电压。

  考虑 时， 仅仅在   作用下 C1 上的电压：

  考虑   时， 仅在   作用下， C1 上的电压：

所以：

在根据

  对上面表达式进行化简：

  电路的系统函数为：

  （2）  当   时， 对应的电路系统函数为：

  进行 Laplace 反变换， 可以得到电路的单位冲击响应：

  电路的单位阶跃响应：

  进行 Laplace 反变换， 可以得到电路的单位阶跃响应：

  电路的单位阶跃响应如下图所示：

2、全通网络

  根据对称的 LC 网络， 将其整理成对称的交流电桥的形式， 如下图所示。 负载R连接在电桥的中点电压。

  为了简化电路求解， 利用戴维宁定理， 将电桥两边分别等效成电压源与电抗的串联形式。 电路的等效形式如下图所示。 两边的等效电路中， 恒压源   为输出开路时对应的 LC 分压数值。 电压源的内阻   为从网络输入端口处的等效交流电阻。

  下面分别计算出   以及   。

  作用在输出电阻 R 上的输出电压为：

  所以，电路的传递函数为：

  当   时， 对应的电路传递函数可以化简为：

  此时， 该系统为一个全通电路系统。

参考资料