升压拓扑结构在功率电子领域非常重要，但是电感值的选择并不总是像通常假设的那样简单。在 dc - dc 升压转换器中，所选电感值会影响输入电流纹波、输出电容大小和瞬态响应。选择正确的电感值有助于优化转换器尺寸与成本，并确保在所需的导通模式下工作。本文讲述的是在一定范围的输入电压下，计算电感值以维持所需纹波电流和所选导通模式的方法，并介绍了一种用于计算输入电压上限和下限模式边界的数学方法。
升压转换器的导通模式由相对于直流输入电流 (IIN) 的电感纹波电流峰峰值 (ΔIL) 的大小决定。这个比率可定义为电感纹波系数 (KRF)。电感越高，纹波电流和 KRF 就越低。
(1) ， 其中 
(2)
在连续导通模式 (CCM) 中，正常开关周期内，瞬时电感电流不会达到零 (图1)。因此，当 ΔIL 小于 IIN 的2倍或 KRF <2时，CCM 维持不变。MOSFET 或二极管必须以 CCM 导通。这种模式通常适用于中等功率和高功率转换器，以最大限度地降低元件中电流的峰值和均方根值。当 KRF > 2 且每个开关周期内都允许电感电流衰减到零时，会出现非连续导通模式 (DCM) (图2)。直到下一个开关周期开始前，电感电流保持为零，二极管和 MOSFET 都不导通。这一非导通时间即称为 tidle。DCM 可提供更低的电感值，并避免输出二极管反向恢复损耗。
图1 – CCM 运行
图2 – DCM 运行
当 KRF = 2 时，转换器被认为处于临界导通模式 (CrCM) 或边界导通模式 (BCM)。在这种模式下，电感电流在周期结束时达到零，正如 MOSFET 会在下一周期开始时导通。对于需要一定范围输入电压 ( VIN）的应用，固定频率转换器通常在设计上能够在最大负载的情况下在指定 VIN 范围内，以所需要的单一导通模式 (CCM 或 DCM) 工作。随着负载减少，CCM 转换器最终将进入 DCM 工作。在给定 VIN 下，使导通模式发生变化的负载就是临界负载（ICRIT）。在给定 VIN 下，引发 CrCM / BCM 的电感值被称为临界电感（LCRIT），通常发生于最大负载的情况下。
众所周知，当输入电压为输出电压 (VOUT) 的一半时，即占空比 (D) 为50％时 (图3)，在连续导通模式下以固定输出电压工作的 DC－DC 升压转换器的电感纹波电流最大值就会出现。这可以通过数学方式来表示，即设置纹波电流相对于 D 的导数 (切线的斜率) 等于零，并对 D 求解。简单起见，假定转换器能效为100％。
根据 
(3)、
(4) 和 
(5),
并通过 CCM 或 CrCM 的电感伏秒平衡
(6),
则 
(7).
将导数设置为零, 
(8)
我们就能得出 
(9).
图3 – CCM 中的电感纹波电流
为了选择 CCM 升压转换器的电感值 (L)，需要选择最高 KRF 值，确保整个输入电压范围内都能够以 CCM 工作，并避免峰值电流受 MOSFET、二极管和输出电容影响。然后计算得出最小电感值。KRF 最高值通常选在0.3和0.6之间，但对于 CCM 可以高达2.0。如前所述，当 D = 0.5 时，出现纹波电流 ΔIL 最大值。那么，多少占空比的情况下会出现 KRF 最大值呢？我们可以通过派生方法来求得。
假设 η = 100%， 则 
(10),
然后将(2)、(6)、(7) 和 (10) 代入(1) ，得出:
(11)
(12).
对 D 求解，可得
(13).
D = 1 这一伪解可被忽略，因为它在稳态下实际上是不可能出现的 (对于升压转换器，占空比必须小于1.0)。因此，当 D =⅓ 或 VIN = ⅔VOUT 时的纹波因数 KRF 最高，如图4所示。使用同样的方法还能得出在同一点的最大值 LMIN、LCRIT 和 ICRIT。
图4 – 当 D =⅓ 时 CCM 纹波系数 KRF 最高值
对于 CCM 工作，最小电感值 (LMIN)应在最接近 ⅔ VOUT 的实际工作输入电压 (VIN(CCM)) 下进行计算。根据应用的具体输入电压范围，VIN(CCM) 可能出现在最小 VIN、最大 VIN、或其间的某个位置。解方程 (5) 求 L，并根据 VIN(CCM) 下的 KRF 重新计算，可得出
(14)，其中 VIN(CCM) 为最接近⅔VOUT 的实际工作 VIN。
对于临界电感与 VIN 和 IOUT 的变化，KRF = 2，可得出
(15).
在给定 VIN 和 L 值的条件下，当 KRF = 2时，即出现临界负载 (ICRIT)：
(16)
如图5所示，在一定工作 VIN 和输出电流 (IOUT) 下的电感值小于 LCRIT 时，DCM 模式工作保持不变。对于 DCM 转换器，可选择最短的空闲时间以确保整个输入电压范围内均为 DCM 工作。tidle 最小值通常为开关周期的3％-5％，但可能会更长，代价是器件峰值电流升高。然后采用 tidle 最小值来计算最大电感值 (LMAX)。LMAX 必须低于 VIN 范围内的最低 LCRIT。对于给定的 VIN，电感值等于 LCRIT (tidle= 0) 时引发 CrCM。
图5 – LCRIT 与标准化 VIN 的变化
为计算所选最小空闲时间 (tidle(min)) 的 LMAX，首先使用 DCM 伏秒平衡方程求出 tON(max) (所允许的 MOSFET 导通时间最大值) 与 VIN 的函数，其中 tdis 为电感放电时间。
(17)，其中
(18)
可得出
(19).
平均 (直流) 电感电流等于转换器直流输入电流，通过重新排列 (17)，可得出 tdis 相对于 tON 的函数。简单起见，我们将再次假设 PIN = POUT。
(20) ，其中
(21).
将方程 (3)、(5)、(10)、(19) 和 (21) 代入 (20)，求得 VIN (DCM) 下的 L
(22).
LMAX 遵循类似于 LCRIT 的曲线，且同在 VIN = ⅔VOUT 时达到峰值。为确保最小 tidle，要计算与此工作点相反的实际工作输入电压 (VIN (DCM)) 下的最低 LMAX 值。根据应用的实际输入电压范围，VIN(DCM) 将等于最小或最大工作 VIN。若整体输入电压范围高于或低于 ⅔ VOUT（含⅔ VOUT），则 VIN(DCM) 是距 ⅔ VOUT 最远的输入电压。若输入电压范围覆盖到了 ⅔ VOUT，则在最小和最大 VIN 处计算电感，并选择较低 (最差情况下) 的电感值。或者，以图表方式对 VIN 进行评估，以确定最差情况。
当升压转换器的输出电流小于 ICRIT 与 VIN 的最大值时，如果输入电压增加到高于上限模式边界或下降到低于下限模式边界，即 IOUT 大于 ICRIT 时，则将引发 CCM 工作。而 DCM 工作则发生于两个 VIN 的模式边界之间，即 IOUT 小于 ICRIT 时。要想以图表方式呈现 VIN 下的这些导通模式边界，在相同图表中绘制临界负载 (使用所选电感器) 与输入电压和相关输出电流的变化曲线。然后在 X 轴上找到与两条曲线相交的两个 VIN 值 (图6)。
图6 – 输入电压模式边界
要想以代数方式呈现 VIN 的模式边界，首先将临界负载的表达式设置为等于相关输出电流，以查找交点：
(23).
这可以重写为一个三次方程，KCM 可通过常数计算得出
(24) 其中
(25).
这里，三次方程通式 x3 + ax2 + bx + c = 0 的三个解可通过三次方程的三角函数解法得出 [1] [2]。在此情况下，x1 项的“b”系数为零。我们将解定义为矢量 VMB。
我们知道
(26)、
(27)、 以及
(28),
(29).
由于升压转换器的物理限制，任何 VMB ≤ 0或VMB > VOUT 的解均可忽略。两个正解均为模式边界处 VIN 的有效值。
我们假设一个具有以下规格的 DCM 升压转换器：
VOUT = 12 V
IOUT = 1 A
L = 6 μH
FSW = 100 kHz
首先，通过 (25) 和 (28) 计算得出 KCM 和 θ：
.
将 VOUT 和计算所得的 θ 值代入 (29)，得出模式边界处的 VIN 值：
.
忽略伪解 (-3.36 V)，我们在 4.95 V 和 10.40 V 得到两个输入电压模式边界。这些计算值与图7所示的交点相符。
图7 – 计算得出的模式边界
电感值会影响升压转换器的诸多方面，若选择不当，可能会导致成本过高、尺寸过大、或性能不佳。通过了解电感值、纹波电流、占空比和导通模式之间的关系，设计人员就能够确保输入电压范围内的所需性能。
[1] H. W. Turnbull, Theory of Equations, Chapter IX, Edinburgh & London: Oliver and Boyd, 1952.
[2] I. J. Zucker, "The cubic equation - a new look at the irreducible case," The Mathematical Gazette, vol. 92, no. 524, pp. 264-268, July 2008.
来源：硬件笔记本
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