第七次作业参考答案

一、傅里叶变换性质

1、傅里叶变换

（1） ◎ 解答：

□ 解法（1）：使用微分性质求解

  将   进行两次微分，得到四个冲激信号， 如下图所示：

  根据信号二阶导数，可以写出对应的二阶导数的傅里叶变换：

  那么，信号的频谱为：

□ 解法（2）：使用卷积方法

  信号   可以拆解成两个信号的卷积 。

  这两个信号的频谱分别是：

  那么， 根据傅里叶变换卷积定理，信号的频谱等于这两个信号频谱的乘积：

（2） ◎ 解答：

  根据傅里叶变换频域微分定理，可以知道：

  再根据福利变换时移特性：

  再根据傅里叶变换尺度特性：

  对给定的信号进行拆分，形成两部分：

  前面一部分对应的傅里叶变换，通过前面推导可以求出。后面一部分对应的频谱，根据傅里叶变换的线性、尺度、时移特性可以求得：

  因此，整体信号傅里叶变换为：

（3） ◎ 求解：

  根据福利变换中的时域微分定理：

  再根据傅里叶变换中的频域积分定理：

（4） ◎ 解答：

  根据高斯信号的频谱公式，可以知道题目中高斯信号对应的傅里叶变换为：

  在根据傅里叶变换的频移特性，对于调制高斯信号的频谱为：

（5） ◎ 解答：

  在单边指数信号的频谱的基础上，分表应用傅里叶变换的频域微分定理，平移定理，可以得到信号的频谱。

（6） ◎ 解答：

  对信号进行求导， 如下图所示。它对应的频谱为：

  再利用傅里叶变换的积分定理，可以求出信号的频谱为：

  由于信号为奇对称信号， 所以   。

（7） ◎ 解答：

  信号可以看成一个窗口信号与 的乘积。

（8） ◎ 解答：

  根据傅里叶变换对偶定理，可以知道：

  根据傅里叶变换频域微分定理：

  根据傅里叶变换的平移定理：

  最终，信号的频谱为：

（9） ◎ 解答：

2、傅里叶反变换

（1） ◎ 解答：

  符号函数   的频谱为：

  根据频域微分定理：

所以：

（2） ◎ 解答：

  已知单边衰减指数的频谱公式：

  根据傅里叶变换的尺度特性：

所以：（3） ◎ 求解：

  在频谱中包含有两种频谱，一是   ， 另外一个是两个矩形频谱。

  对于冲激频谱，对应的傅里叶反变换为：

  对于两个矩形频谱，可以看成由中心在 0 点的矩形频谱，左右搬移形成， 这个过程可以描述为时域信号乘以   。根据傅里叶变换对偶特性，求单个矩形频谱对应的时域信号。

  乘以   之后，便形成左右两个矩形频谱。最终，信号 为：

3、信号的平方频谱

◎ 求解：

  根据傅里叶变换频域卷积定理， 对应的频谱为

  根据 的表达式，可以将其拆解成两个成份：

的波形如下所示：

  根据卷积代数性质， 可以将 与 的卷积拆解成三项：

  下面分别绘制出上面三项的卷积结果：

 的波形如下：

  将上面三个频谱叠加在一起：

  最后再把上面频谱除以   ，最终频谱为：

二、周期信号的频谱

（1） ◎ 解答：

  信号的周期为   ，对应的角频率为   。周期信号的频谱是将单个周期信号的的频谱进行离散化。

（2）  ◎ 解答：

  信号可以看成一个三角脉冲信号   与一个周期三角脉冲信号 的乘积： 。根据傅里叶变换频域卷积定义可知：

  三角信号的频谱为：

  周期三角信号可以看成下面窄的三角信号周期延拓， 再减去 1。

  单个窄三角信号的频谱为：

  那么周期三角信号的频谱是对上述信号进行离散化，后面需要减去常量 1 的频谱：

  计算   的卷积：

（3）  ◎ 解答：

三、证明题

1、必做题

◎ 证明：

  根据希尔伯特变换 的定义，有：

  根据傅里叶变换卷积定理，

  下面求   的傅里叶变换。根据

  根据傅里叶变换的对偶特性，

因此

  再由 ，可得，

参考资料