（1）第一小题
▲ 图1.1.1 周期信号第一小题◎ 求解：
在求解过程中， 令 ，根据傅里叶级数分解公式，
下面通过 Python 编程， 利用上面推导出来的傅里叶级数分解系数公式，取前 N=300项谐波进行叠加，绘制出相应的综合波形。其中周期 T=2。验证上述公式正确性。
在合成的波形中， 在信号间断点处能够观察到明显的吉布斯过冲振荡现象。
▲ 图1.1.2 使用前 300项谐波合成的信号波形
▲ 图1.1.3 周期信号的单边频谱（2）第二小题
▲ 图1.1.4 周期信号第二小题◎ 求解：
在求解过程中， 令 ，根据傅里叶级数分解公式，
信号是奇对称信号，所以：
上面这个积分看起来挺吓人的，对于是否能够 一次性推导出来没有太大的信心。下面借助于 Sympy 符号公式推导软件帮助完成计算。
下面是软件给出的结果。由于此时 ，所以下面公式还可以进一步化简。
化简得到 的表达式为：
下面是利用上面给出的傅里叶级数分解共识，将前面 300 项进行叠加所获得波形， 其中令 T = 1。可以看到这个波形与给定的作业波形是一致的。从另外一个方面也验证了所得到的公式的正确性。
▲ 图1.1.5 使用前300项傅里叶级数合成的信号波形
▲ 信号的单边频谱（3）第三小题
▲ 图1.1.4 周期信号第三小题◎ 求解：
在求解过程中， 令 ，根据傅里叶级数分解公式，
信号是一个奇对称信号， 所以有：
下面仍然使用 sympl 符合推导，获得上面 bn 的积分表达式。
根据上面结果，可以获得 bn 的表达式：
下面是傅里叶级数前 300 项叠加后的波形，其中信号周期 T=1。可以看到它与题目给定的波形是一致的，能够在信号间断点出观察到明显的吉布斯 过冲振荡。
▲ 图1.1.8 信号傅里叶级数前 300 项叠加的波形
▲ 图1.1.9 信号的单边频谱 （4）选做题
▲ 图1.1.6 周期信号选做题◎ 求解：
这是一个偶对称的周期信号，所以其中的 bn 分量为 0。
下面是 sympl 给出的 an 积分公式：
整理一下，可以得到：
下面利用上述傅里叶分解公式，使用前级数300项绘制出对应的波形。其中周期 T= 1。可以看到与给定的波形是相同的。
▲ 图1.1.11 使用傅里叶级数前300项合成的信号波形
▲ 图1.1.12 信号的单边频谱（5）第五小题
▲ 图1.1.13 周期信号第五小题◎ 求解：
这是一个偶对称的周期信号，所以其中的 bn 分量为 0。
▲ 使用傅里叶级数前300项合成的信号波形复指数形式傅里叶级数分解系数
信号的单边频谱
▲ 信号的单边频谱◎ 求解：
（1） 根据信号表达式可以知道其中包括有 直流分量，三个谐波角频率分别为 2、3、5。所以信号的基频对应的角频率为 1 。
（2） 为了绘制 f(t) 的幅度谱和相位谱， 根据三角恒等式，将信号表达式转换成 的形式，如下：
▲ 图1.1.16 题目原来信号表达式与修改后的信号表达式对应的波形根据表达式， 可以知道信号中各个谐波对应的幅度和相角：
▲ 图1.1.17 信号的单边频谱
▲ 图1.2.1 电压信号波形◎ 求解：
根据观察，信号的周期为 10微秒，对应的基频为 100kHz。信号的交流分量呈现“奇谐对称”，所以信号中只包含有奇次谐波分量，也就是该信号的谐波分量中只有 100kHz， 300kHz， 500kHz。
在给定的四个电路中， 第一个电路为 线性时不变系统， 其余三个都是非线性时不变系统。线性时不变信号的输出信号中不会出现输入信号中 不同的新的频率成分。所以在给定的四个电路中， 除了第一个电路之外，其它三个电路都可以产生 200kHz的谐波分量。
▲ 图A1.2.2 使用SPICE仿真后RC电路输出电压波形
▲ 图A1.2.3 使用SPICE仿真后的二极管RC电路输出电压波形
▲ 图A1.2.2 绝对值电路的输出波形
▲ 图A1.2.3 平方电路输出的电路波形◎ 求解：
（1） 根据题目给定条件，信号为偶函数，并呈现奇谐对称。对应的信号波形为：
▲ 图1.2.2 补齐后信号在一个周期内的波形（2） 根据题目给定条件，信号为奇函数，呈现所谓的偶谐 对称，实际上就是原来的一个周期内包含两个相同的波形。对应的信号如下图所示：
▲ 图1.2.3 补齐后信号在一个周期内的波形
▲ 图1.2.4 个个周期信号中的谐波分量特性◎ 证明：
根据题目可以知道周期信号的周期为 ，那么对应的傅里叶级数为：
对上面等式两边进行求导：
所以，对于 的傅里叶级数 与原来信号的傅里叶级数之间有如下关系：
◎ 求解：
根据条件 （1）（2）（3）（4）可以知道给定的函数值包含有一次谐波。根据条件（5）可以知道该谐波的功率为 1/2， 所以该信号的有效值为 ， 信号的峰值为 1。
根据条件（6），可以知道该信号为 偶实 信号，所以信号的周期为 6， 峰值为 1 的余弦信号。它的表达式为：
最终，带球的信号参数为：
信号与系统 2023（春季） 作业要求 - 第五次作业: https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/129729625
