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在封装开发中，如何正确使用数据表的热特性参数以做出设计决策经常存在一定的误区。之前我们讨论了稳态数据和瞬态数据的解读与多输入瞬态模型，今天我们将继续分析各种模型下的瞬态响应。
多结器件和瞬态响应
上一部分中提到了多输入瞬态模型。正如热系统的稳态描述一样，也可以构建多结器件的瞬态描述。如果遵循矩阵方法，唯一区别是矩阵的每个元素都是时间的函数。对于器件中的每个热源，都会有一条“自发热”瞬态响应曲线；对于系统中的每个其他关注点，都会存在一条“相互作用”瞬态响应曲线。
在同样的限制性假设的约束下，线性叠加和互易原理仍然适用。也就是说，系统中任何一点的时变响应都可以被视为其对每个独立热源的响应的线性叠加，就好像每个热源都是单独供电的，并且独立于其他热源。此外，互易定理的不太直观的真实性适用于时域：也就是，网络中点“A”处的（恒定）热量输入在点“B”处引起的瞬态响应，与点“B”处施加的相同量热输入在点“A”处引起的瞬态响应完全相同。因此，在矩阵描述中，关于主对角线的对称性仍将存在。互易定理的最大影响也许体现在实验上：实际上，只需要测量所有可能相互作用热瞬态响应的一半就行。
电路仿真器
描述 Cauer 模型的数学响应所需的代数非常麻烦，若没有电路仿真器，这种模型几乎没有用处。因此，如果只有 Cauer 模型可用的话，那么电路仿真器是必不可少的。当然，如果有电路仿真器，电路就是电路，因此很明显，Cauer 阶梯和 Foster 阶梯可以同样容易地进行分析。事实上，对于单输入网络，整体方法并无区别，只是网络连接和元素值等细节有区别。
对于多输入网络，Cauer 网络非常简单（参见图 9）。回想一下，Cauer 网络是在具有物理意义的某些前提下导出的，各种可能的热源之间的相互作用会被构建到网络本身的拓扑结构中。对于每个热源的热量输入，将有电阻和电容“自动”提供正确的相互作用响应；互易和叠加是该方法的必然结果。只需将接地电容 Cauer 模型以及原理图中明示的所有节点和互连输入仿真器，任务就完成了。
图 9. 在电路仿真器中实现多输入 Cauer 网络
图 10. 在电路仿真器中实现多输入 Foster 网络
电子表格模型
如前所述，Cauer 模型基本上需要一个电路仿真器，甚至单输入模型也需要。然而，对于 Foster 阶梯，电子表格工具可以方便地实现单输入和多输入模型。这因为 Foster 模型在数学上非常简单，电子表格可以毫不费力地引入叠加。例如，考虑一下用 Microsoft Excel 编写单输入 Foster 阶梯的恒定功率瞬态响应的简便性。假设将如下含义赋予电子表格中的某些单元格：
单元格 A1 是功率水平
单元格 B1:B10 是幅度
单元格 C1:C10 是时间常数（其中 C1 是 B1 幅度对应的时间常数，以此类推）
单元格 D1 是恒定功率步进开始后的时间
（公式23）
定义名称
功率 $A$1
幅度 $B$1:$B$10
tau $C$1:$C$10
时间 D1
现在我们可以使用更具可读性的公式：
例如，如果该公式被输入单元格 E1，则可以将其复制到单元格 E2 至 E100，从而产生单元格 D2 至 D100 中每个时间的时间响应。还可以利用 Excel 的表格功能，从单个公式创建一个包含许多值的表格 4。
由于引入了时变功率输入，并且引入了多个热源，情况显然变得更加复杂，但对于数量相对有限的输入和时间步进，这仍然是可管理的。方法已在前面说明（图 3 给出了示例），但有以下调整：(1) 任何关注点处的温度是都是全部热源在该点引起的响应的叠加；(2) 每当任何热源的功率输入改变时，必须创建一个新的时间“步进”，哪怕在该时刻所讨论的点的功率没有变化。
RC 模型和短时瞬态响应
对于那些不熟悉 Excel 中“数组”公式的人来说，前面的示例用紧凑的表示法完成了一些非常强大的运算。首先，数组语法本身的使用告诉 Excel 依次对范围中的每个单元格执行相同的计算；由于在所识别的两个数组中每一个数组有 10 个单元格，因此产生 10 个并行计算结果。这意味着代表 10 个幅度和时间常数的 10 个不同项是一起计算。其次，公式周围的大括号 {} 表示公式实际上是用 Ctrl-Shift-Enter 按键输入电子表格的，而不是普通的 Enter 按键。这告诉 Excel，我们希望它返回所有可用的数组结果，无论分配给公式的单元格有多少。然而，这里不需要单独查看所有 10 个结果，但是我们仍然希望访问所有结果，即使只有一个单元格是公式结果的目标。因此，最后我们使用 SUM 函数来告诉 Excel 将这 10 个单独的结果相加，而不是只报告我们为公式位置选择的单个单元格中的第一个结果。
可以在数学上证明，当时间尺度短于其最快时间常数时，RC 模型的瞬态响应将变成与时间成比例。如果 (1) 关注的时间尺度略大于最快时间常数，或者 (2) 已知随时间的线性响应对于所考虑的系统是合适的，这将不是问题。然而，正如随后将讨论的，对于许多半导体器件，存在一个时间范围，在该范围内“表面发热”的概念非常接近真实的热物理。在表面发热中，器件瞬态响应与时间的平方根成正比，而不是与时间呈线性关系。现在，一个正确构建的 RC 模型能够以极高的精度遵循这种平方根行为，但仅针对大于模型最短时间常数的时间尺度。因此，只要使用 RC 模型，就必须考虑最短时间常数是否足够快以满足分析的需要。对于 Foster 阶梯，最快时间常数是确切知道的。对于 Cauer 阶梯，可以类似方式获得对最快时间常数的良好估计，即最接近结的 RC 对的乘积。在任何情况下，如果最短合法时间常数不小于目标最短时间尺度，尤其是在微秒到毫秒的时间尺度上，那么在解释 RC 模型结果时应格外小心。当平方根模型合适时，如果使用线性模型，则由该模型预测的温度变化会发生得太慢，这可能导致严重低估最高结温。
考虑到这一点，下表列出了相同 D2pak 器件在两个不同热测试板上的 RC 模型。对于每个测试板，下表同时给出了 Cauer 网络和 Foster 网络。应该强调的是，这些 Foster 网络实际上是相应 Cauer 网络的精确数学等价物。通过下表可以明白前面讨论中涉及的许多概念。
表 1. RC 网络（“R”值单位为°C/W；“C”值单位为 J/C；“tau”单位为秒）
第一，这些网络的最快时间常数是 2.98E-7 s（在 Foster Tau 列中精确给出）。此值的近似值是 Cauer 网络中最靠近结的 RC 乘积，即 C_C1 乘以 R_R1，结果为 3.66E-7 s。第二，为方便起见，Foster 阶梯的梯级按时间常数的升序列出，但很明显，其 R 与 Cauer 网络的“相应”梯级的 R 没有很好的相关性。第三，从阶梯的短时间末端开始，两个测试板的模型相同。也就是说，对于单脉冲发热响应，一开始只有封装重要，经过一段时间后，热量才开始从封装传入测试板，环境才会影响响应。
图 11. 基本方波
使用 Foster RC 模型的周期波形
上面已经讨论了方波占空比曲线，它们通常由前面的简单公式 22 得出。然而，给定单脉冲瞬态曲线的 RC 模型（特别是幅度/时间常数 Foster 表达式），可以推导出无限列等方脉冲的精确闭合形式解。我们将简单给出其中的几个解，并说明如何应用它们（参见 AND8219/D）。给定 n 级 RC 模型的单脉冲发热曲线公式，如公式 23 所示，我们得到以下结果：
占空比 d、开启时间 a 的简单方波列的波峰 （公式24）
简单周期方波列的波谷 （公式25）
注意，波形的开启时间、周期和占空比通过等式 a = p·d 相联系。当将开启时间绘制在 x 轴上，占空比用作曲线参数时，公式 24 产生之前在图 5 中看到的占空比曲线族，其基于拟合原始 R(t) 单脉冲发热曲线的 Foster RC 电阻模型。事实上，如果 RC 模型拟合良好，则从等式 24 导出的占空比曲线将比从更近似的公式 22 导出的曲线更精确（可能的例外是，如果占空比值非常小，并且开启时间小于最小 RC 时间常数，我们可能面临与前面讨论的时间平方根相关的相同限制）。
当重复单个脉冲时（图 11），很明显，波峰出现在“开启”时间的末端，波谷出现在“关闭”时间的末端（即每个“开启”时间的开始处）。此外，当仅重复单个方脉冲时，如果只关心波峰和波谷，则脉冲在周期内的位置并不重要。事实上，为方便起见，前面的这些公式是在假设每个脉冲的“开启”时间从每个周期的开端开始的情况下推导出来的。
然而，如果我们对这个问题稍作拓展，并允许单个方脉冲位于周期内的任意点，那么可以推导出一些更强大的公式。对于以下公式，图 12 定义了周期长度 p 内广义方脉冲的参数。所有时间都是相对于一个周期的开始。
图 12. 广义方波
良好（可计算）仅适用于 0 ≤ t < b （公式26）
良好（可计算）仅适用于 b ≤ t < a （公式27）
注：如果 t = 0 且 b = 0，就得到公式 25
对 0 ≤ t ≤ p 良好（可计算）仅适用于 t > a （公式28）
注：如果 t = a 且 b = 0，就得到公式 24
（公式29）
现在，假设我们将周期分解为一系列方边脉冲——此过程已在前面的非周期波形示例中说明，那么公式 29 允许我们预测任何复杂周期性功率的“稳态”瞬态行为。“稳态”瞬态响应指的是在无限多次相同周期发生后，一个典型周期的温度响应曲线的形状。现在必须强调一点：在不知道曲线细节的情况下，无限重复单脉冲的“峰值”和“谷值”温度是可以预测的（即公式 24、25），但这对于一般的周期波形是不可能的，即使该波形是几个方形子脉冲的相对简单的组合也不行。考虑以下示例，将图 13 的周期性功率输入应用于表 4 给出的 RC 模型。
表 2. 3 脉冲示例的 RC 模型
图 13. 3-脉冲周期性输入
三个独立方脉冲构成重复模式，将公式 26、27 和 28 应用于各脉冲的相应部分，并应用公式 29 来计算其叠加效应，我们得到以下温度响应：
图 14. 3-脉冲周期示例稳态瞬态响应
让这个例子特别有意思的是，峰值温度出现在第二脉冲的末端，该脉冲的功率较低，甚至在它与该周期中紧接在它之前的较高功率脉冲之间有一个零功率的小间隙。由于知道单脉冲响应与功率成正比，并且峰值温度总是出现在方脉冲的末尾，人们可能很容易忽略这里展示的可能性。换句话说，对于广义周期波形，即使它仅由少量方形子分量构成，人们也能很好地计算整个周期范围内的响应，而不仅仅是一些“明显”点的响应。
表面发热、时间平方根和短时瞬态响应
在大多数热瞬态测试中，实验数据最早可在 1E-5 s（10 微秒）时获取。但在大多数情况下，由于电气开关瞬变，测试器件的数据获取时间是不一致的，最晚可达 1E-3 s。即使测量一致性出现在更早时间，但在 1E-4 s 之前的时间，结果也很少可靠。事实上，与预期理论行为相对应的测量信号通常要到 3E-4 s 和 1E-3 s 之间才会出现。导致这种相关性的因素主要有两个：器件中的电瞬态效应和芯片几何效应。
更具体而言，芯片厚度和实际有效受热面积会影响理论行为。对于短时热瞬态行为，最简单的常用理论是表面发热模型。它假设恒定功率、一维热流，产生的结果是表面温升与发热时间的平方根成比例。
正因如此，它常被称为“sqrt(t)”发热。sqrt(t) 发热的一个重要方面是，在对数-对数图上（参见图 2），这种发热“曲线”是一条直线，时间每增加 100 倍，温度（或热阻）上升 10 倍（sqrt(t) 正是由此而来）。因此，在对数-对数图上，它显示为 1:2 的斜率。这条理论直线的垂直位置由受热面积、芯片的材料特性以及与芯片受热表面邻接的材料决定。同样根据 sqrt(t) 理论，芯片越薄，热量越快到达硅的背面，然后便不再遵循 sqrt(t) 模型；因此，一半厚度的芯片将在四分之一的时间内结束其 sqrt(t) 行为。通常，我们认为对于 15 mil（380 微米）厚的芯片，理论行为应该持续到大约 1E-3 s，但是当厚度小到 10 mil（250 微米）时，理论行为将仅持续 4E-4 s；对于 7 mil（180 微米）厚的芯片，sqrt(t) 只能持续 2E-4 s。芯片厚度还与瞬态行为的另一“极端特性”直接相关，即达到局部稳态需要多长时间。在所有其他条件相同的情况下，15 mil 芯片达到局部稳态所需时间应该不超过 2.5E-3 s，7 mil 芯片所需时间应该不超过 5E-4 s。
另一方面，集总参数 RC 模型由于描述其行为的方程的指数性质，在接近最短时间时总是变成与时间呈线性关系。因此，如果时间小于最短时间常数，RC 模型必定无法近似模拟 sqrt(t) 行为。正如前面所讨论的，如果已知 sqrt(t) 行为是实际行为的合理近似，但 RC 时间常数不是以低于该范围的值开始，那么应将 sqrt(t) 模型直接用于短脉冲温度估计，否则将导致温度变化被严重低估。
下面的表格提供了对一维表面发热估计有用的定义和公式，以及半导体封装方面的一些典型材料特性值。
表 3. 一维表面发热公式和定义
其中：
表 4. 短时热响应的材料特性
