面包芯语

锁相环环路计算中用到的波特图

原创 加油射频工程师 2022-10-08 18:30
TI MCU方案：电动汽车实时控制 如何增强能源基础设施的实时控制？
为什么要学习波特图呢？
波特图将传输函数和频率响应定性的联系起来了，通过波特图的绘制，可以了解极点和零点是怎么影响频率响应的幅度和相位，进而影响电路的性能。
换成人话，可以这样说。
呀，这个电路不稳定啊。画画波特图，噢，原来相位裕度接近为0啊。这个可以看看，电路上哪些因素会影响极点零点的位置，调整一下，就能改进电路的稳定性。

什么是波特图？
波特图也是根据人名命名的，它是出自贝尔实验室，由荷兰裔科学家 Hendrik Wade Bode在1930年发明的。Bode当时需要设计用于电话网络的放大器，放大器带有负反馈。为了能够快速了解放大器保持绝对稳定所需的增益裕度和相位裕度，Bode开发了波特图。

假设一系统为线性时不变系统，传输函数为H(s)。则波特图有两副图，幅频图和相频图，分别对应增益和相位。

幅频图是|H(s=jw)|随频率的函数，其横轴为频率，用对数尺度表示；纵轴为功率的dB值，即20log10|H|。
相频图是arg(H(s=jw))随频率的函数，其横轴为频率，用对数尺度表示；纵轴的单位一般为度，为线性值。

怎么画波特图？
画幅频图时，遵循以下规则：
(1) 当频率w经过极点时，|H(jw)|的斜率变为-20dB/dec，也就是以频率变化10倍，|H(jw)|变小20dB;
(2) 当频率w经过零点时，|H(jw)|的斜率变为20dB/dec，也就是以频率变化10倍，|H(jw)|变大20dB;
(3) 图在起始点时的增益值，可以计算频率的下限值对应的|H(jw)|；
  •      如果零点没有在原点处的时候，可以将w=0代入|H(jw)|,计算其在DC处的增益；
  •     如果有零点处在原点处，则可以选择一个靠近w=0的值，比如说w=1作为|H(jw)|的初始值。零点在原点，即w=0时，|H(jw)|=0，因为纵轴是对数值，所以不可能在图中包括|H(jw)|=0的值。
(4) 图在起始点的斜率，取决于在w小于起始点处零点和极点的个数，然后按照(1)和(2)的规则计算；如果在w小于起始点处无零点和极点，则初始斜率为0。

画相频图时，遵循以下规则:
(1) 假设极点为wp,即其则曲线在0.1wp处开始变化，在wp处变化-45度，在10wp处变化接近于-90度。
(2) 假设零点为wz,则曲线在0.1wz处开始变化，在wz处变化45度，在10wz处变化接近于90度。

看到电路，快速画出波特图，了解系统的稳定性
如下图所示，是一个通用的反馈系统框图。
当K等于0时，没有反馈，此时系统为开环系统；
当K不等于0时，此时系统为闭环系统。
该系统的传输函数为：
其中，KH(s)称为环路增益。
假设上面的系统的输入为正弦信号，则s=jw。这个假设是合理的，因为任何信号都可以分解成多个正弦函数之和。
所以：

由上面等式可知，当KH(jw)=-1时，Y/X-->无穷大，即使X很小很小，也会导致很大的Y输出，即系统处于振荡状态，不稳定。
所以为了保证系统稳定，需要在任何频率处都不能满足KH(jw)=-1的条件，即|KH(jw)|=1&arg(H(jw))=-180度。

那如果是|KH(jw)|>1&arg(H(jw))=180度呢？
因为每经过一次环路，信号都会被进一步放大，因为反相，所以叠加出来的信号会变得越来越大。
所以当
|KH(jw)|>=1
arg(KH(jw))=180度，
系统都处于一个不稳定的状态。

用图形示意，可能会比较直观。
增益等于0dB对应的频率，称为gain crossover frequency.
相位等于-180度对应的频率，称为phase crossover frequency.
若系统稳定，则要求gain crossover frequency

举两个例子，解释一下，如何从电路到波特图，再分析系统的稳定性。
所以，如果电路只包含一个极点的话，那么这个系统肯定是稳定的。

可以看到，系统中相应部件对最后波特图的影响，比如说，原来系统处于不稳定的状态，但是当降低K的值时，系统则会变稳定。

增益裕度和相位裕度
增益裕度和相位裕度都是衡量系统稳定程度的方法。

在相位图上，找到相位达到-180度时对应的频率，然后计算该频率对应的幅度值。如果|KH(jw)|180>=1，则该系统不稳定；如果|KH(jw)|180<1,则系统稳定。
而20log|KH(jw)|180即为增益裕度，代表相位达到-180度时对应的幅度值与0dB的距离。

在波特增益图上，找到|KH(jw)|=1的频率，称为w0dB，然后找到该频率下KH(jw)w0dB的相位。
如KH(jw)w0dB的相位大于-180度，则系统稳定。
KH(jw)w0dB的相位与-180度之间的差，称为相位裕度。
一般取相位裕度为60度左右，此时任务系统处于一比较好的稳定状态。


不想自己手工画波特图，怎么办？
计算机已如此普及，当然可以不用手工画啦。matlab中有现成的函数。

还有什么可以用到波特图呢？
那就是锁相环。

当环路滤波器只有一个电容时，如下图所示。
可以看到环路中只有两个零极点，所以相位图为接近-180度的一条直线，因此其总相位裕度基本为0，表面这个锁相环是不稳定的。

解决问题的一个办法是给电容加入一个串联电阻R，这样就引入了一个零点，从而对环路进行相位补偿。

在实际的应用中，需要额外增加电阻电容低通滤波器，以滤掉一些高频噪声和电压波动。其中最简单的一种是在上述电容电阻两端再加一个电容C1，通常C1远小于积分电容C0，如下图所示。
这就是我们常用的环路滤波器的结构。

参考文献：
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%A2%E5%BE%B7%E5%9C%96#%E5%A2%9E%E7%9B%8A%E8%A3%95%E5%BA%A6
https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/phase-margin
https://web.njit.edu/~levkov/classes_files/ECE232/Handouts/Frequency%20Response.pdf
https://www.mathworks.com/help/control/ref/lti.bode.html
https://www.rohde-schwarz.com/us/products/test-and-measurement/oscilloscopes/educational-content/understanding-bode-plots_254514.html
https://web.mit.edu/2.14/www/Handouts/PoleZero.pdf
张刚，CMOS集成锁相环电路设计


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