之前，我们检查了热电偶冷端补偿(CJC)的硬件实现。CJC 电路需要检测冷端的温度( Tc ) 并产生一个补偿电压，该补偿电压与温度为 Tc 的热电偶产生的电压相等。
总的来说， 热电偶是非线性的，由简单的模拟电路产生的补偿电压只能接近实际响应。因此，使用线性方程来近似热电偶响应会给我们的测量带来误差。
考虑到所有这些，本文将检查此误差，并了解我们如何使用最小二乘法来找到使近似误差最小化的最佳拟合线。
下面的图 1 显示了K 型热电偶的输出和我们在上一篇文章中使用的线性近似值。
在这种情况下，我们假设热电偶响应的斜率是恒定的，并且等于其在室温下的值（25 °C 时为 41 μV/°C）。如图所示，采用的直线经过原点。通过减去这两条曲线，我们得到了图 2 所示的以 μV 为单位的近似误差。
接下来，通过将差异曲线除以直线的斜率 (41 μV/°C)，我们得到了以°C 为单位的误差，如图 3 所示。
上图显示，即使使用理想的电路元件，当 T c从 0 到 70°C 变化时，我们也会有大约 0.7°C 的误差。这个错误仅源于我们的线性近似。我们可以使用最小二乘回归线法 [视频] 来找到最适合我们数据点的线性方程。
我们将通过一个例子来解释最小二乘拟合过程。假设我们有以下数据点：
| X | 1 | 3 | 4 | 6 | 7 |
| 是的 | 1.5 | 3 | 5.7 | 9.8 | 16 |
我们想找到最能代表这些数据点的直线。图 4 显示了这些点以及通过视觉检查选择的一条直线，该直线试图跟踪数据中的趋势。
如您所见，一条直线无法通过所有这些点。因此，我们的线性近似可能会给出与数据点的实际值不同的值。例如，在图 4 中，直线在 x = 7 处给出 y = 14，而在此 x 值处实际值为 16。因此，实际值与我们的线性模型产生的值之间存在 2 个单位的差异。
在最小二乘法的上下文中，实际曲线与线性模型的值之间的这种差异称为残差（在本文中用 r 表示）。在此示例中，x = 7 处的残差等于 r = +2。残差的平方和可以被认为是我们的线性模型与数据的拟合程度的指示。使用图 4 所示的模型，我们有：
其中总和索引 (i) 指的是我们数据中的第 i个点。最小二乘法试图通过调整线性模型的斜率 (m) 和 y 轴截距 (b) 来最小化所有数据点的残差平方和。可以使用下面的公式1 和 2 找到“最适合”数据的线性模型的斜率和 y 轴截距：
和
在哪里：
x i和 y i是第 i个数据点的 x 和 y 值
x 和 y 是所有 x i和 y i的平均值
n 是数据点的总数
根据表 1 中给出的数据，我们有 x = 4.2 和 y = 7.2。表 2 显示了将公式 1 和 2 应用于我们的数据点时的一些计算。
| 一世 | (x, y) | ||
| 1 | (1, 1.5) | 18.24 | 10.24 |
| 2 | (3, 3) | 5.04 | 1.44 |
| 3 | (4, 5.7) | 0.3 | 0.04 |
| 4 | (6, 9.8) | 4.68 | 3.24 |
| 5 | (7, 16) | 24.64 | 7.84 |
使用上面的值，我们得到：
和
从那里，下面的图 5 提供了我们获得的线的图。
让我们找到这个新模型的残差平方和：
这给了我们：
这个等式远小于上面得到的前一个总和值。最小二乘法所涉及的计算很繁琐，并且通常使用电子表格或计算机程序来进行这些计算。
在 Matlab 中绘制曲线后，我们可以从“工具”菜单中选择“基本拟合”选项（图 6（a）），打开“基本拟合”窗口（图 6（b））。
如果我们在“基本拟合”窗口中选择“线性”和“显示方程”，Matlab 将生成并显示“最适合”我们的数据点的线性方程。
继续使用 Matlab，我们发现 K 型热电偶在 0 到 70 °C 的温度范围内的线性模型如下：
V out = 40.778 X 温度 – 13.695
在这种情况下，模型的斜率和 y 轴截距分别为 40.778 μV/°C 和 13.695 μV。四舍五入到两位有效数字，我们得到：
V out = 41 X 温度 – 14
该模型和 K 型热电偶产生的值之间的差异如图 7 所示。这为我们提供了以 μV 为单位的近似误差。
将这些值除以 41 μV/°C 线的斜率，得出下面绘制的以°C 为单位的误差。
使用最佳拟合线，当 T c从 0 变为 70 ° C 时，近似误差约为 0.35 ° C。这几乎是以前模型的一半错误。最后一点，请记住，如果冷端温度在您的设计中更受限制的范围内变化，您可以获得更准确的模型。例如，如果 T c从 20 变为 50 °C，您的最佳拟合线可以更准确地模拟热电偶响应。
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