来源 | 雷达信号处理matlab

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1. 多脉冲积累的处理方法

因为雷达单个脉冲的回波能量有限，通常不采用单个接收脉冲来进行检测判决。在判决之前，先对一个波位的多个脉冲串进行处理，以提高信噪比，进而提高雷达系统的探测性能。

这种基于脉冲串而非单个脉冲的处理方法称为积累。

从时域上来说，积累是将一个波位（波束的覆盖范围）内连续的  个重复周期同一距离单元的回波信号叠加起来（或加权叠加），如下图所示。

图右下角的数据矩阵的横坐标为距离单元，由快时间采样得到；纵坐标为每个脉冲重复周期，在雷达中经常称其为慢时间采样。

积累分相干积累和非相干积累两种。相干积累是在包络检波器之前进行，利用接收脉冲之间的相位关系，可以获得信号幅度的叠加。这种积累器可以把所有的雷达回波能量直接相加。

非相干积累是在包络检波以后进行，也称之为检波后积累或视频积累。由于信号在包络检波后失去了相位信息而只保留下幅度信息，所以检波后积累就不需要信号间有严格的相位关系，因此称为非相干积累。

相干积累的处理方法

由于运动目标的回波包括多普勒频率  ，当脉冲雷达的每个脉冲重复周期  相等（即等周期，通常简称为等  ）时，如果忽略目标回波的幅度起伏，则对目标所在距离单元的信号在每个  采样时，就可以看作是对频率为  的正弦波的采样，这时，第  个脉冲重复周期对目标的采样值可以表示为

式中  表示在一个波位（半功率波束宽度）内发射的脉冲数。

因此，相干积累通常采用 FFT 的处理方法实现。若  不是  的幂，则通过补零到  的幂（即  ）。

  个距离单元，则需要进行  次  点的 FFT 处理。于是目标所在距离单元、所在多普勒通道的输出为

上式只有当  时才出现峰值。

相干积累具有以下特点：

• 相干积累时间或间隔（CPI）取决于一个波位的驻留时间和目标运动速度的限制。一般警戒雷达在一个 CPI 内目标运动不超过一个距离分辨单元，同时在一个 CPI 内目标运动的多普勒频率变化也不能超过一个多普勒分辨单元。否则，就需要像成像雷达中那样对包络进行补偿。

• 相干积累可以提供一定的多普勒分辨性能。如果目标的多普勒频率  ，则可以提供无模糊的多普勒频率，否则就存在多普勒模糊。

• 相干积累只适用于“等  ”（重频不变）的场合。如果脉间“变  ”（重频参差），则不能采用 FFT 的处理方法进行相干积累。

• 相干积累是以一组  个脉冲为单位进行处理的，因此，在一个 CPI 才输出一个结果。

• 理论上，  个脉冲进行相干积累的信噪比改善可以达到单个脉冲的倍。也就是说，若要达到同样的检测性能，对单个脉冲的检测因子可以减低为  。因此，有利于降低发射功率或提高检测性能。

非相干积累的常用方法

对于磁控管发射机的非相参雷达和脉间重频参差的相参雷达，不能采用相干积累。为了提高目标回波的信噪比，通常利用一个波位的多个脉冲进行非相干积累。非相干积累的常用方法主要有滑窗积累器和反馈积累器等。

滑窗积累器

滑窗积累器就是对每个距离分辨单元输出的连续  个发射脉冲的回波视频信号简单地滑动相加，又称为滑窗检波器，如下图所示。

将接收的新脉冲输出累加到先前的和上，并减去前面的第  个脉冲，其表达式为

其中  是第  个脉冲处前  个脉冲之和，  和  分别是当前第  个脉冲和第  个脉冲的输入。

反馈积累器

迟延线反馈积累器主要有单回路积累器和双回路积累器，如下图所示。

单回路积累器也就是单极点滤波器，其传递函数为

将  、  代人上式，得

双回路积累器也就是双极点滤波器，其传递函数为

两个极点的位置为

常取：  ，且  ，则  为一对共轭极点。

对一个二阶系统，其传递函数为

其中，  为阻尼系数；  为系统的自然谐振频率；  为系统的阻尼振荡频率。

因此，双极点滤波器的反馈系数  和  为

经计算，有

滤波器的脉冲响应为

若天线方向图函数为  （单程），当所有的  都有  和  时，输出信噪比的提高最大。因此可以近似地得到

其中  为最佳积累次数，通常取半功率波束宽度内的脉冲个数。

下图分别给出了一些相干积累的仿真结果。其中图一为输入信号的实部，图二为脉冲相干积累的结果，可见相干积累后目标的信噪比有明显的提高。

下图一为天线扫描过程中包络检波器的输出（在目标所在方位和距离附近），图二为采用双极点滤波器的非相干积累的结果，可见非相干积累后目标的信噪比也有明显的提高。

下图给出了一些长时间的相干积累与非相干积累输出信号的仿真结果。其中图一为输入的多个脉冲信号；图二为相干积累后的输出结果。

图一为包络检波输出的多个脉冲信号；图二为非相干积累的处理结果（用双极点滤波器进行非相干积累）。

2. 脉冲压缩处理

雷达系统想要同时满足高距离分辨率和高速度分辨率，就必须采用大时宽带宽积信号。对于一个普通信号，其时宽带宽积为一个常数，即窄脉冲具有宽频带，宽脉冲具有窄频带。

脉冲压缩处理将发射的宽脉冲信号压缩成窄脉冲信号。它既可以发射宽脉冲以提高平均功率和雷达的速度分辨率，又能保持窄脉冲的距离分辨率。

脉冲压缩信号的大时宽带宽积的性能，大多是通过信号的非线性相位调制获得的，如脉宽内线性调频、非线性调频、频率编码和相位编码等。

下面主要介绍两种类型信号的脉冲压缩处理。

线性调频脉冲信号的压缩处理

线性调频脉冲信号波形

假设雷达发射线性调频脉冲信号，可表示为

式中，  ，  为发射脉冲宽度，  为中心载频，  为调频斜率，  为调频带宽。则 LFM 信号包络信号如下图所示。

得到接收的基带复信号模型为（推到过程可参考#LFM信号的脉冲压缩处理#）

此时，雷达脉压输入信号（即雷达接收的基带信号）如下图所示。

雷达几乎都是在数字域进行脉压处理的，脉冲压缩本身就是实现信号的匹配滤波，只是在模拟域一般称匹配滤波，而在数字域称为脉冲压缩。

LFM 匹配滤波输出

因此，根据匹配滤波方程，令匹配滤波器的冲击响应  ，则匹配滤波器的输出为

则 LFM 匹配滤波器输出为

其模值为

可见，输出信号在  处取得最大值。

LFM 信号脉压输出结果均具有函数的包络形状，其  主瓣宽度为  ，第一旁瓣的归一化副瓣电平为  。其它旁瓣随其离主瓣的间隔  按  的规律衰减，旁瓣零点间隔为  。如下图所示。

在多目标环境中，强目标回波的旁瓣会埋没附近较小目标的主瓣，导致目标丢失。为了提高分辨多目标的能力，必须采用旁瓣抑制或加权技术。加权可以在发射端、接收端或收、发两端上进行，分别称为单向加权或双向加权，其方式可以是频域幅度或相位加权。

此外，加权可在射频、中频或视频级中进行。为了使发射机工作在最佳功率状态，一般不在发射端进行加权。目前应用最广的是在接收端进行脉冲压缩过程中采用频域幅度加权。

如果输入脉冲幅度为 1，匹配滤波器在通带内传输系数的增益为 1，则输出脉冲幅度为

这里，  ，表示输入脉冲和输出脉冲的宽度比，称为压缩比。

由此可以看出，对 LFM 信号，匹配滤波器对回波信号的多普勒频移不敏感，因而可以用一个匹配滤波器来处理具有不同多普勒频移的信号，这将大大简化信号处理系统。

脉冲压缩处理方法

现代雷达实现脉冲压缩处理的方法有两种：当要求较小的脉压比时，经常采用时域相关的处理方式；当要求较大的脉压比时，通常利用FFT在频域实现。

由于匹配滤波器是线性时不变系统，根据傅立叶变换的性质，

当两个信号都被正确采样时，脉冲压缩输出信号可以表示为

下图表示在频域实现线性调频信号数字脉冲压缩的方框图。

采用频域实现脉冲压缩方法相对于时域卷积而言，其运算量将大为减少，而且在脉冲压缩时可以利用加窗函数来抑制旁瓣，只需将匹配滤波器系数与窗函数进行频域相乘（频域加窗）或者时域相乘（时域加窗），即

其中  为窗函数，可以根据需要选取合适的窗函数。将其结果  预先存入 DSP 的匹配滤波器系数表中，不需要增加运算量。

需要注意的是，FFT / IFFT 的点数不是任意选取的。假设输入信号点数为  ，滤波器阶数为  ，那么经过滤波后的输出信号点数应为  ，则对于 FFT 点数的选择必须保证其大于等于  ，通常取 2 的幂对应的数值大于等于  。因此，在对滤波器系数及输入信号  进行 FFT 之前,要先对序列进行补零处理。

假定雷达脉冲压缩处理的距离窗定义为

其中，  和  分别表示雷达探测的最大和最小作用距离。单基地雷达在发射期间不接收，因此雷达的最小作用距离取决于发射脉冲宽度。

根据奈奎斯特采样定理，对实信号而言，采样频率  ，采样间隔  。对时宽为  的 LFM 信号 FFT 的频率分辨率为  ，则所要求的最小样本数为

因此，总共需要（  ）个实样本或（  ）个复样本才能完全描述时宽为  、带宽为  的 LFM 波形。

下图给出了线性调频信号的目标回波脉压结果，其中上图是加泰勒窗后的脉压结果；下图是未加窗的脉压结果，副瓣比主瓣低  ，为辛克函数的副瓣电平。

LFM 信号的距离—多普勒测不准原理

由 LFM 信号匹配滤波器输出模值可得，无论  是否为0，脉压输出结果均具有函数的包络形状。

只是当  时，包络没有平移，峰值对应于真实目标位置。而其他情况下，包络将产生位移，引起测距误差；而且输出脉冲幅度下降，宽度加大，信噪比和距离分辨率有所下降。

下图分别是假设两个目标的速度为  、  的脉压结果，尽管速度并不影响线性调频信号的脉压处理，但是，目标的距离发生了位移。

这就是线性调频信号的“测不准原理”。当目标的径向速度为  时，由于速度测不准而产生的距离误差为

相位编码信号的脉冲压缩处理

前面已经指出，脉冲压缩技术是匹配滤波和相关接收理论的实际应用。下图为伪随机相位编码脉冲压缩的实现框图，其中的脉冲压缩器可以采用匹配滤波技术和相关技术来实现。

相位编码脉冲压缩器有延迟匹配脉冲压缩器和相关检测器两种。延迟匹配脉冲压缩器用在模拟脉冲压缩器中，抽头延迟线可采用全通网络、CCD或SAW器件来实现；而在数字脉冲压缩器中则采用移位寄存器来代替抽头延迟线。数字相关压缩处理的原理如下图所示，这是数字时域的相关处理方法。

如果相位编码信号的码长较长，则通常采用下图类似的频域相关处理方法，利用 FFT 可以大大减少运算量。

假定雷达发射的二相编码脉冲信号模型为

其中为所采用的二相编码序列对应的相位。发射信号的基带复信号模型即为脉压的匹配滤波系数,即

相位编码信号在频域的脉冲压缩处理与 LFM 信号的频域脉压处理类似（如上图）,也是利用正—反离散傅立叶变化的方法实现。

下图给出了 127 码长的  序列编码脉冲信号，即匹配滤波系数的实部。

下图上述  序列的非周期自相关函数；

设  、  分别为输入信号  和匹配滤波系数  的傅立叶变换，则脉压处理输出信号  为

在进行釆样时，通常每个码元采样个  点。由于相位编码信号是多普勒敏感信号，它的脉压处理与 LFM 信号类似，最大区别在于需要根据目标的大致速度进行补偿。

下图给出了码长  的  序列编码信号的脉冲压缩结果，图（一）为脉压输入信号的实部；图（二）是两目标速度为零时的脉压结果。

下图相同条件下两目标速度为  时的脉压结果，可见距离在  位置的目标几乎看不到，这是由于速度对脉压的影响，表明二相编码脉冲信号是多普勒敏感信号。

LFM 信号与相位编码信号的比较

上面介绍了线性调频脉冲和二相编码脉冲这两种典型且常用的大时宽带宽积信号的脉压处理，下表对这两种信号及其脉压处理进行了比较。

3.拉伸信号处理

拉伸（Stretch）处理，也叫做“有源相关”，通常用于处理带宽很宽的 LFM 信号。

这种处理技术的流程如下图所示，图中给出了三个点目标或散射点的回波在处理过程中的时频变化关系示意图。

其处理过程为：首先，雷达回波与一个发射信号波形的复制品（作为参考信号）混频；随后进行低通滤波和相干检波；再进行数模变换；最后，采用一组窄带滤波器（即 FFT）进行谱分析，提取与目标距离成正比的频率信息。

这种拉伸处理有效地将目标距离对应的时延转换成了频率，接收的相同距离单元上的回波信号产生了同样的频率。

参考信号是一个 LFM 信号，具有与发射的 LFM 信号相同的线性调频斜率。参考信号存在于雷达的“接收窗”的持续时间内，而持续时间由雷达的最大和最小作用距离的差值计算得到。

拉伸处理与前面介绍的 LFM 脉冲压缩处理的主要区别之一是参考信号不同，在脉压中是采用单载频信号作为参考信号，因此采样速率要求为调频带宽的两倍。

例如，若距离分辨率为  ，则要求调频带宽  为，采样速率要求达  。

而拉伸处理的采样速率主要取决于距离分辨率和接收窗的大小。接收窗的大小通常只有数千米甚至更小。

雷达的发射信号模型可表示为

式中，  为 LFM 斜率，  为调频带宽，  为脉冲宽度；  为线性调频脉冲的起始频率。

假设在距离为  位置有一个点散射体，雷达接收其回波的信号为

式中，  为信号幅值，与目标 RCS、距离、天线增益等有关；  为时延。

混频器输入的参考信号为

式中，  为接收窗；  为参考号 LFM 的起始频率，通常令  。

接收信号与参考信号经混频、低通滤波后的复信号模型为

该信号的瞬时频率为

上式表明，目标的距离与瞬时频率成正比。所以,对接收信号进行采样并对采样序列进行 FFT，在频率为  的峰值位置对应的目标距离为

假设距离为  、  、…、  处有  个目标，则总的接收信号可表示为

由此可见，不同距离的目标回波出现在不同的频率上，上图中给出了三个目标的回波信号示意图，对应的频率分别为  、  、  。为了在 FFT 后能区分开不同的频率，下面主要讨论采样率和 FFT 点数的确定方法。

  点 FFT 的频率分辨用  表示。假设两个相邻的点散射体的距离为  和  ，距离间隔为  ，可以分辨这些散射体的最小频率间隔  为

将  代人上式，得

由于  点 FFT 可分辨的最大频率限制在正负  范围内，最大可分辨频率为

由  ，则可得，

因此，选取 FFT 的点数为

  是一个非零的正整数。于是，采样间隔为

在目标相对最小采样距离分别为  、  、  ，且其速度均为  时目标回波信号，及其出脉压结果如下图所示。

由脉压结果可知，雷达可将  个目标分辨出来。

在目标相对最小采样距离分别为  、  、  ，且其速度均为  时目标回波信号，及其出脉压结果如下图所示。

从脉压结果可知，尽管理论上（此时调频带宽  为  ）距离分辨率为，但由于 FFT 加窗后主瓣展宽，使得两个相距的目标不能被分辨开。

在目标相对最小采样距离分别为 5m、6.5m、15m，且其速度分别为 0、50、100时目标回波信号，及其出脉压结果如下图所示。

从脉压结果可知，由于速度的影响，两个目标的距离发生了位移且主瓣被展宽，因此，拉伸处理前需要对目标的速度进行补偿。

4. 步进频率信号的合成处理

这一节将重点讨论均匀载波（即子脉冲不进行调制）的步进频率信号的相参合成处理。

前面讨论的线性调频脉冲和相位编码脉冲宽带雷达信号都是通过匹配滤波器来实现压缩处理的。

对于线性调频脉冲，当对距离分辨率要求较高时，信号带宽  就很大，这不但要求整个发射和接收系统具有相应的带宽，而且对采样率的要求也较高。对于相位编码信号，高距离分辨率也要求高的采样率。

因此，当对距离分辨率要求很高时，基于匹配滤波器的脉冲压缩体制存在系统带宽大、采样及处理困难等问题。

步进频率信号作为一种宽带雷达信号，是通过相参脉冲合成的方法来实现其高距离分辨率的，其基本过程为：

依次发射一组窄带单载频脉冲，其中每个脉冲的载频均匀步进；在接收时对这组脉冲的回波信号用与其载频相应的本振信号进行混频，混频后的零中频信号通过正交采样可得到一组目标回波的复采样值，对这组复采样信号进行离散傅立叶逆变换（IDFT），则可得到目标的高分辨率距离像（High-Range-Resolution Profile, HRRP）。

这种获得高距离分辨率的实质是对目标回波进行频域采样，然后求其时域回波，而时域采样是通过发射离散化的频率步进信号来实现的。

由于多个脉冲的相参合成的单个脉冲信号为带宽较窄的信号，对系统带宽、采样率的要求可大大降低，有利于工程实现。步进频率雷达系统的组成如下图所示。

设第  个发射脉冲的信号模型为

其中，  和  分别为第  个脉冲的幅度和初相；  为载频，取  ，  和  分别为脉冲时宽和发射重复周期。

考虑静止点目标的情况（对于运动目标，经运动补偿后情况类似）。对应第  个脉冲的目标回波为

其中，  为第  个脉冲回波的幅度，  为目标时延。

第  个脉冲的回波信号与  进行复混频、低通滤波后，在  时刻，即目标所在距离单元的采样信号为

其中  为第  个脉冲回波混频后的幅度。

从上式可以看出，  个发射脉冲的目标回波相当于一组逆傅氏基，因此  个发射脉冲回波信号的相参处理可以利用 IDFT 来实现。

假设各脉冲回波的幅度相等，且  ，则对接收的  个回波信号采样值做 IDFT 处理，则归一化的时域合成脉冲输出为

其中

对上式取模，得

至此，就完成了一次脉冲相参合成处理。由上式知，脉冲合成的结果是目标回波合成为一个主瓣宽度为  的  函数型脉冲。显然，目标距离分辨率是单个脉冲测量时的  倍。

又由上式可知，合成窄脉冲的最大值位于  处。设最大值所在的高分辨距离单元序数为  ，则相应的目标距离为

显然，最大不模糊距离或称为不模糊距离窗的长度为

为了避免造成距离模糊，应使系统的采样率满足一定的要求。

设  为系统的采样间隔，则应有  ，即步进频率脉冲信号对系统采样率的要求仅为不低于单个脉冲的跳频步长即可。因此，系统对采样率的要求大为降低，易于工程实现。

另外，在实际应用中为了降低  函数脉冲响应的旁瓣，还须在进行 IDFT 处理前对  个载频发射脉冲的回波信号采样值进行加权处理。

前面提到，当目标相对于雷达存在径向运动时，步进频率脉冲相参合成处理的间隔会受到影响，必须进行补偿。

假设目标以速度  相对于雷达作径向运动，则第  个脉冲回波的复采样信号的相位为

其中，  为目标的起始位置；  为回波零中频信号采样时间，若以回波包络中点为基准，可取  。

忽略上式中的常数项，则相位关系可表示为

上式中，第一项为获得目标距离信息的有效相位项；第二项为目标速度产生的线性相位项，在进行 IDFT 处理后将耦合为距离，使合成目标距离像产生距离徙动，徙动的高分辨单元数为  ；第三项为目标速度因频差而产生的二次相位项，将导致合成目标距离像波形失真，表现为峰值降低和波形展宽。

因此，必须在相参合成之前对目标的运动速度加以补偿，以消除目标速度对相参合成处理的影响。可通过对采样序列乘以复补偿因子  来实现速度补偿，即

其中  为目标速度的估计值。

调频步进信号处理的基本过程可概括为：首先对子脉冲进行脉冲压缩（基于匹配滤波器），然后再对多脉冲进行相参积累的合成处理（也称为二次脉冲压缩），得到目标的高分辨距离像。

应该指出，用步进频率相参合成的方法实现高距离分辨率，发射的脉冲之间应保持严格的相位关系，这就要求雷达应具有良好的相参性。

另外，由于多脉冲相参积累的处理时间较长，考虑到目标姿态变化的影响，脉冲重复周期的取值一般不宜太大，雷达应工作在高重频状态。

步进频率脉冲信号在具有高距离分辨率和多普勒分辨率的同时，还存在距离—多普勒耦合现象。为此，有关文献提出了采用随机跳频脉冲信号（HFP: Hopped-Frequency Pulse）和频率编码优化的方法。

通过相参合成处理，随机跳频脉冲信号不仅可以获得步进频率脉冲信号的距离和多普勒分辨性能，而且避免了距离—多普勒耦合问题，具有很好的距离—多普勒联合分辨率。

下面产生了步进频率脉冲信号的目标回波以及步进频率脉冲综合处理的结果

假设有  个散射点，相对于接收窗的距离为  ，散射点的速度均为  ，下图分别给出了不加窗和加窗的步进频率脉冲综合处理结果。

下图是假设散射点的速度为 。

由图可以看出，速度不为  的散射点的距离发生了位移，不能正确反映散射点的距离。因此，步进频率脉冲信号也是多普勒敏感信号，脉冲综合处理时需要进行速度补偿！

5.窗函数及其在雷达信号处理中的应用

在脉冲压缩、相干积累、数字波束形成等大多数雷达信号处理中，输出均为  （辛克）函数的形式，其峰值主副瓣比只有  。

在工程实际中高副瓣将影响对目标的检测，容易产生虚警或受到干扰等。因此，在雷达信号处理中，经常采用加窗技术。

序列  与窗函数  的乘积为

式中

为有限长度序列，长度为  且  。

加窗过程应不影响截短序列  的相位响应，因此，窗函数  必须保持线性相位，这可以通过使窗函数相对于其中心点对称来实现。

如果对所有的  都有  ，则就是熟知的矩形窗（即不加窗的情况）。矩形窗会造成吉布斯（Gibis）现象，表现为在不连续点的前后出现过冲和纹波。

下图给出了矩形窗的幅度谱，其第一副瓣比主瓣约低  。若在边缘附近的采样点上加小权值的窗函数，则在不连续点位置有较小的过冲（即较低的副瓣）。与矩形窗相比，较低的副瓣的窗函数是人们更期望的。

当然，根据能量守恒定律，副瓣的降低会带来主瓣的展宽，对比下图汉明窗与上图主瓣宽度。所以选择合适的窗函数是指从副瓣降低、主瓣展宽、信噪比损失、旁瓣衰减速度等几个方面折中考虑。

引入加权网络实质上是对信号进行失配处理，它在使旁瓣得到抑制的同时，也会使输出信号包络主瓣降低、变宽。因此，旁瓣抑制是以信噪比损失及距离分辨率变坏为代价的。

如何选择加权函数，这涉及到最佳准则的确定。考虑到信号波形和频谱的关系与天线激励和远场的关系具有本质上的共性，应用天线设计中的旁瓣抑制理论，采用多尔夫-切比雪夫（Dolph-Chebshiev）函数作为最佳加权函数。

尽管从天线设计的角度，这种理想的加权函数甚至其近似函数—泰勒（Taylor）函数都是难以实现的，但是从数字信号处理的角度，系统需要用到的窗函数可以通过近似计算算法预先计算，并存储在 ROM 中，工程应用时只需直接调用。

汉明（Hamming）窗、余弦平方、余弦立方、余弦四次方等这几种加权函数可以统一表示为

式中，当  时为汉明加权。

这是泰勒加权函数的特例，即泰勒函数中级数展开式只保留一项所得。当  时为  锥比加权函数。当  时分别为余弦平方、余弦立方、余弦四次方加权函数。

下面以一个加权网络为例，对几个主要性能指标进行定量分析与计算。

设线性调频脉冲经过匹配滤波器后输出具有矩形频谱  的  波形，多普勒频移  。如果信号通过一个加权网络，其频率响应为

则加权网络输出信号为

根据傅氏变换的线性性质，不难得到：

其中

经过整理得到输出信号的表达式为：

下面计算脉冲压缩过程中加权的几个主要性能指标。

加权引起的信噪比SNR损失

加权网络输出端的信噪比为

匹配滤波器输出端的信噪比则为

由此得到加权引起的信噪比损失为

其中

则可得到

主瓣峰值与最大旁瓣之比

令  ，即利用汉明窗，则其输出信号如下图所示。其旁瓣出现在

  位置。  为主瓣峰值位置。当  ，得

从上图汉明窗的旁瓣结构可以看出，最大旁瓣峰值出现在  处，可得最大旁瓣与主瓣峰值之比为

-3dB处主瓣展宽系数

主瓣展宽系数是指加窗后的主瓣宽度与不加窗时的主瓣宽度之比。为了确定加权后在  处的主瓣展宽系数，这里采用归一化输出响应。不加权时，输出为矩形频谱的  波形。

经过加权后的输出波形(归一化)为：

应用上面的公式可以对不同的加权函数计算其输出响应的主要性能指标。下表列出了几种加权函数的性能指标。

表中：

上式中，  取决于旁瓣电平  ，而表中  是第一类零阶 Bessel 函数，  ，  为旁瓣电平。表中“*”表示旁瓣电平可以根据需要设置。

下图给出了几种窗函数及其归一化幅度谱（  ）。使用 MATLAB 中的 wvtool 工具可以得到各种窗函数的时域和频域特性。

－ The End －

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