从时域到频域
这里以快速傅里叶变换（FFT）为对象举实例进行解释，并附上全部MATLAB代码。
另外，说明一下，用MATLAB做FFT并不要求数据点个数必须为以2为基数的整数次方。之所以很多资料上说控制数据点数为以2为基数的整数次方，是因为这样就能采用以2为基的FFT算法，提升运算性能。
如果数据点数不是以2为基数的整数次方，处理方法有两种，一种是在原始数据开头或末尾补零，即将数据补到以2为基数的整数次方，这是“补零”的一个用处；第二种是采用以任意数为基数的FFT算法。
而MATLAB的 fft(x,N) 函数在参数 N 正好就是数据 x 的长度，但又不是以2为基数的整数次方时，并不会采用补零的方法，而应该是采用以任意数为基数的FFT算法（说“应该”是因为帮助文档里没有明确说明），这样也能得到很好的结果，只不过速度要稍稍慢了一些，以通常的计算量是体现不出来的。
比如，现在有一个信号，这个信号中仅包含两个正（余）弦波，一个是 1 MHz ，一个是 1.05 MHz ，即 x = cos(2π×1000000 t) + cos(2π×1050000 t) 。设定采样频率为 Fs=100 MHz，如果采 1000 个点，那么时域信号的时长就有 10 μs。
如果，直接对这1000个数据点做快速傅里叶变换，将得到频谱图：
可以发现，频谱点稀疏，在1MHz附近根本无法将1 MHz 和1.05 MHz 的两个频率分开。
clear;clcclose all%% FFTFs = 100e6; % Sampling frequency / HzT = 1/Fs; % Sampling time / sL0 = 1000; % Original signal lengthL = 1000; % Data lengtht0 = (0:L0-1)*T; % Original signal time sequencex = cos(2*pi*1e6*t0) + cos(2*pi*1.05e6*t0); % Signal functiont = (0:L-1)*T; % Data time sequence%% Plotfigure(1)plot(t*1e6,x,'b-','linewidth',1.5)title ('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}Time domain signal')xlabel('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}\it t /\rm \mus')ylabel('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}\it y\rm(\itt\rm)')grid on;axis([0 10 -2 2])set(gca,'FontSize', 10 ,'FontName', 'Times New Roman')set(gcf,'unit','centimeters','position',[15 10 13.53 9.03],'color','white')%% FFTY = fft(x); % FFT% Calculate double sides spectrum P2, and then calculate single side% spectrum P1 based on P2 and even data lengthP2 = abs(Y/L0);P1 = P2(1:L/2+1);P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);f = Fs*(0:(L/2))/L;% Rfftfigure(2)plot(f, P1,'r-','Marker','.','markersize',10,'linewidth',1.5)axis([0.5e6 1.5e6 0 1.5])title('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}Power Spectrum')xlabel('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}\it f /\rm Hz')ylabel('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}\it y\rm(\itf\rm)')grid on;set(gca,'FontSize', 10 ,'FontName', 'Times New Roman')set(gcf,'unit','centimeters','position',[15 10 13.53 9.03],'color','white')
发现频率成分无法被区分开来，第一反应应该就是：频率分辨率不够。那么，如何提高频率分辨率呢？首先要清楚，这里存在两种类型的频率分辨率。
一种叫波形分辨率，其由原始数据的时间长度决定：
另一种可以称之为视觉分辨率或FFT分辨率，其由采样频率和参与FFT的数据点数决定[1]：
之所以要区分，就是因为后面要进行“补零”的操作。如果不补零，直接对原始数据做FFT，那么这两种分辨率是相等的。
例如上面，有：
那么，如果现在在原始数据点后补零会有什么效果呢？假设在这 1000 个原始数据点后面再补充零达到 6000 个点，那么数据变成了：
此时对其做快速傅里叶变换，结果如下：
可以发现，频谱点密集了不少，但是在 1MHz 附近依然无法将 1MHz 和 1.05MHz 的两个频率成分分开。这是因为从式 (1) 可以看出，波形分辨率只与原始数据的时长 T 有关，而与参与FFT的数据点数无关。虽然补了很多零，但波形分辨率依然为1/10μs= 100 kHz，该分辨率大于1MHz 和 1.05MHz 这两个频率成分之间的距离50 kHz 。这就好比用筛子分黄豆和大米，分辨率就好像是筛子上孔的大小，如果筛子的孔太大了，就没有办法把这两者分开。
而“时域补零相当于频域插值”[2]，也就是说，补零操作增加了频域的插值点数，让频域曲线看起来更加光滑，也就是增加了FFT频率分辨率，注意式(2) 所示，这是“补零”的另一个原因。
clear;clcclose all%% FFTFs = 100e6; % Sampling frequency / HzT = 1/Fs; % Sampling time / sL0 = 1000; % Original signal lengthL = 7000; % Data lengtht0 = (0:L0-1)*T; % Original signal time sequencex = cos(2*pi*1e6*t0) + cos(2*pi*1.05e6*t0); % Signal functiont = (0:L-1)*T; % Data time sequencey = zeros(1,L);y(1:L0) = x;%% Plotfigure(1)plot(t*1e6,y,'b-','linewidth',1.5)title('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}Time domain signal with Zero Padding')xlabel('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}\it t /\rm \mus')ylabel('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}\it y\rm(\itt\rm)')grid on;axis([0 70 -2 2])set(gca,'FontSize', 10 ,'FontName', 'Times New Roman')set(gcf,'unit','centimeters','position',[15 10 13.53 9.03],'color','white')%% FFTY = fft(y); % FFT% Calculate double sides spectrum P2, and then calculate single side% spectrum P1 based on P2 and even data lengthP2 = abs(Y/L0);P1 = P2(1:L/2+1);P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);f = Fs*(0:(L/2))/L;% Rfftfigure(2)plot(f, P1,'r-','Marker','.','markersize',10,'linewidth',1.5)axis([0.5e6 1.5e6 0 1.5])title('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}Power Spectrum')xlabel('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}\it f /\rm Hz')ylabel('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}\it y\rm(\itf\rm)')grid on;set(gca,'FontSize', 10 ,'FontName', 'Times New Roman')set(gcf,'unit','centimeters','position',[15 10 13.53 9.03],'color','white')
显然，根据上面的分析可知，在采样频率不变的情况下，要想将 1MHz 和 1.05MHz 这两个频率成分分析出来，光靠“补零”是不够的，必须要改变波形分辨率，也就是要延长原始数据的时长。现在以相同的采样频率对信号采 7000个点作为原始信号：
对其做快速傅里叶变换，结果如下：
因为此时的波形分辨率为：1/70μs≈14kHz ，小于 1MHz 和 1.05MHz 这两个频率成分之间的距离 50 kHz ，所以可以看出有两个明显的峰值。
但是会发现 1MHz 对应的幅值为1，与原始信号中该频率成分的幅值一致，但 1.05MHz 对应的幅值明显低于1，但是其周边的点上却都有不小的幅值，这就是所谓的频谱泄露，因为数据点的个数影响，使得在 1MHz 处有谱线存在，但在 1.05MHz 处没有谱线存在，使测量结果偏离实际值 ,同时在实际频率点的能量分散到两侧的其它频率点上，并出现一些幅值较小的假谱。
clear;clcclose all%% FFTFs = 100e6; % Sampling frequency / HzT = 1/Fs; % Sampling time / sL0 = 7000; % Original signal lengthL = 7000; % Data lengtht0 = (0:L0-1)*T; % Original signal time sequencex = cos(2*pi*1e6*t0) + cos(2*pi*1.05e6*t0); % Signal functiont = (0:L-1)*T; % Data time sequence%% Plotfigure(1)plot(t*1e6,x,'b-','linewidth',1.5)title('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}Time domain signal')xlabel('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}\it t /\rm \mus')ylabel('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}\it y\rm(\itt\rm)')grid on;axis([0 70 -2 2])set(gca,'FontSize', 10 ,'FontName', 'Times New Roman')set(gcf,'unit','centimeters','position',[15 10 13.53 9.03],'color','white')%% FFTY = fft(x); % FFT% Calculate double sides spectrum P2, and then calculate single side% spectrum P1 based on P2 and even data lengthP2 = abs(Y/L0);P1 = P2(1:L/2+1);P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);f = Fs/2*linspace(0,1,L/2+1);% Rfftfigure(2)plot(f, P1,'r-','Marker','.','markersize',10,'linewidth',1.5)axis([0.5e6 1.5e6 0 1.5])title('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}Power Spectrum')xlabel('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}\it f /\rm Hz')ylabel('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}\it y\rm(\itf\rm)')grid on;set(gca,'FontSize', 10 ,'FontName', 'Times New Roman')set(gcf,'unit','centimeters','position',[15 10 13.53 9.03],'color','white')
为了解决这个问题，可以设法使得谱线同时经过1MHz 和 1.05MHz 这两个频率点，找到他们的公约数。
如果原始数据不变，在后面再补充 1000 个零点：
那么FFT分辨率就是 12.5kHz ，是这两个频率的公约数， 1MHz=80×12.5kHz ；1.05MHz=84×12.5kHz ，所以谱线同时经过 1MHz 和 1.05MHz 这两个频率点。
对其做快速傅里叶变换，结果如下：
会发现 1MHz 和 1.05MHz 对应的幅值均为1，与原始信号一致。这也是一种补零操作带来的影响。
clear;clcclose all%% FFTFs = 100e6; % Sampling frequency / HzT = 1/Fs; % Sampling time / sL0 = 7000; % Original signal lengthL = 8000; % Data lengtht0 = (0:L0-1)*T; % Original signal time sequencex = cos(2*pi*1e6*t0) + cos(2*pi*1.05e6*t0); % Signal functiont = (0:L-1)*T; % Data time sequencey = zeros(1,L);y(1:L0) = x;%% Plotfigure(1)plot(t*1e6,y,'b-','linewidth',1.5)title('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}Time domain signal')xlabel('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}\it t /\rm \mus')ylabel('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}\it y\rm(\itt\rm)')grid on;axis([0 80 -2 2])set(gca,'FontSize', 10 ,'FontName', 'Times New Roman')set(gcf,'unit','centimeters','position',[15 10 13.53 9.03],'color','white')%% FFTY = fft(y); % FFT% Calculate double sides spectrum P2, and then calculate single side% spectrum P1 based on P2 and even data lengthP2 = abs(Y/L0);P1 = P2(1:L/2+1);P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);f = Fs/2*linspace(0,1,L/2+1);% Rfftfigure(2)plot(f, P1,'r-','Marker','.','markersize',10,'linewidth',1.5)axis([0.5e6 1.5e6 0 1.5])title('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}Power Spectrum')xlabel('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}\it f /\rm Hz')ylabel('\fontsize{10}\fontname{Times New Roman}\it y\rm(\itf\rm)')grid on;set(gca,'FontSize', 10 ,'FontName', 'Times New Roman')set(gcf,'unit','centimeters','position',[15 10 13.53 9.03],'color','white')
图8 中会有一些旁瓣出现，这是因为补零影响了原始信号，如果，直接采8000个点作为原始数据，即将程序中的L0改为8000，那么有：
并对其做FFT，结果如下
这样也就不存在补零带来的误差了。
Zero Padding http://www.bitweenie.com/listings/fft-zero-padding/
ZeroPaddingTheorem https://ccrma.stanford.edu/~jos/dft/Zero_Padding_Theorem_Spectral.html
