来源 | 雷达信号处理matlab

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如同在其他的大多数信号处理领域中一样，傅里叶变换在雷达信号处理中也是无处不在的。我们经常采用频域表示将所需要的信号和干扰；多普勒频移也是非常重要的频域现象；我们会看到在某些雷达系统中，特别是成像系统中，采集数据和我们所需要的最终成像之间是由傅里叶变换联系起来的。

人们对连续信号和离散信号都是感兴趣的，所以两者都需要傅里叶变换。

连续变量傅里叶变换

在一维空间内信号可以考虑成一维连续变量的函数  ，这个域称为信号域。其傅里叶变换，记为  ，表示如下： 

我们将这个函数称为变换域内的信号。其逆变换为 

在式中，频域变量  的单位为  。

例如，如果  ，即  是单位为  的时间变量，则  是通常的角频率，单位为  ；如果  是单位为  的空间变量，则  是单位为  的空间频率。

采用周频率变量  的一个等效变换对为 

如果信号域是时间域（  ），则  的单位为  ，即  。

上述所分析的变换均为连续变量傅里叶变换。如上述两种变换所示，连续变量傅里叶变换可以采用弧度频率的表示方法，也可以采用周频率表示方法。

离散变量傅里叶变换

连续变量傅里叶变换对于一些分析是非常重要的，特别是涉及采样需求的一些分析；但是大多数的数据处理是对离散变量信号进行的。对于离散变量信号，有两类傅里叶变换。类似于连续变量傅里叶变换的是下面的离散变量信号  的变换对： 

在这个变换对中，  是归一化连续频率变量，其单位为  （既不是  ，也不是  ）。归一化频率  和常规的频率  的对应关系为 

其中，  是采样间隔。相应的采用归一化周频率  （单位为周）的傅里叶变换对为 

我们将函数  称为  的离散时间傅里叶变换（  ）。从式中可以看到  在频率变量  上是连续的，并且具有  的周期，即  每  重复一次。

虽然对于所有的  ，  都是有定义的，但是通常只讨论它的主值周期  ，同样，  的周期为  周，其主值周期为  。

当然，我们不可能在无限多的连续频率自变量  或  的可能取值上计算  或者  ，我们通常需要的是有限数目的离散频率点上的取值。所以，对于有限长度的离散变量信号，我们定义离散傅里叶变换（  ，注意和  相区分）。对于  点的信号  ，  及其逆可以写成如下形式： 

仔细观察上面公式我们会发现，如果  是  个采样的有限长度序列，则  是  或  的采样，  个采样均匀分布在主值周期上： 

  频率采样的位置等于  周/单位，或者    ，这里的“单位”即为自变量的单位（如果  的单位为  ，采样位置的单位即为  ）。当然，   也是周期性的，周期为  个采样。

－ The End －

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