傅里叶变换在雷达信号处理中的应用

云脑智库 2022-05-31 00:00 1761浏览 0评论 0点赞

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来源 | 雷达信号处理matlab

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如同在其他的大多数信号处理领域中一样，傅里叶变换在雷达信号处理中也是无处不在的。我们经常采用频域表示将所需要的信号和干扰；多普勒频移也是非常重要的频域现象；我们会看到在某些雷达系统中，特别是成像系统中，采集数据和我们所需要的最终成像之间是由傅里叶变换联系起来的。

人们对连续信号和离散信号都是感兴趣的，所以两者都需要傅里叶变换。

连续变量傅里叶变换

在一维空间内信号可以考虑成一维连续变量的函数 $x(u)$ ，这个域称为信号域。其傅里叶变换，记为 $X(Omega)$ ，表示如下：

$X(Omega)=int_{-infty}^{infty}x(u)e^{-jOmega u}duquadOmegain(-infty,infty)$

我们将这个函数称为变换域内的信号。其逆变换为

$x(u)=rac{1}{2pi}int_{-infty}^{infty}X(Omega)e^{jOmega u}dOmegaquad uin(-infty,infty)$ 在式中，频域变量 $Omega$ 的单位为 $rad/单位u$ 。

例如，如果 $u=t$ ，即 $u$ 是单位为 $s$ 的时间变量，则 $Omega$ 是通常的角频率，单位为 $rad/s$ ；如果 $u$ 是单位为 $m$ 的空间变量，则 $Omega$ 是单位为 $rad/m$ 的空间频率。

采用周频率变量 $F=Omega/2pi$ 的一个等效变换对为

$egin{align*}X(F)&=int_{-infty}^{infty}x(u)e^{-j2pi Fu}duquad Fin(-infty,infty)\x(u)&=int_{-infty}^{infty}X(F)e^{j2pi Fu}dFquad uin(-infty,infty)end{align*}$ 如果信号域是时间域（ $u=t$ ），则 $F$ 的单位为 $周/s$ ，即 $Hz$ 。

上述所分析的变换均为连续变量傅里叶变换。如上述两种变换所示，连续变量傅里叶变换可以采用弧度频率的表示方法，也可以采用周频率表示方法。

离散变量傅里叶变换

连续变量傅里叶变换对于一些分析是非常重要的，特别是涉及采样需求的一些分析；但是大多数的数据处理是对离散变量信号进行的。对于离散变量信号，有两类傅里叶变换。类似于连续变量傅里叶变换的是下面的离散变量信号 $x[n]$ 的变换对：

$egin{align*}X(omega)&=sumlimits_{n=-infty}^{infty}x[n]e^{-jomega n}quadomegain(-infty,infty)\x[n]&=rac{1}{2pi}int_{pi}^{pi}X(omega)e^{jomega n}domegaquad nin(-infty,infty)end{align*}$

在这个变换对中， $omega$ 是归一化连续频率变量，其单位为 $rad$ （既不是 $rad/s$ ，也不是 $rad/m$ ）。归一化频率 $omega$ 和常规的频率 $Omega$ 的对应关系为

$omega=Omega T_s$ 其中， $T_s$ 是采样间隔。相应的采用归一化周频率 $f=(Omega/2pi)T_s=FT_s$ （单位为周）的傅里叶变换对为

$egin{align*}X(f)&=sumlimits_{n=-infty}^{infty}x[n]e^{-j2pi fn}quad fin(-infty,infty)\x[n]&=int_{-0.5}^{0.5}X(f)e^{j2pi f n}dfquad nin(-infty,infty)end{align*}$ 我们将函数 $X(omega)$ 称为 $x(n)$ 的离散时间傅里叶变换（ $DTFT$ ）。从式中可以看到 $X(omega)$ 在频率变量 $omega$ 上是连续的，并且具有 $2piquad rad$ 的周期，即 $DTFT$ 每 $2piquad rad$ 重复一次。

虽然对于所有的 $omega$ ， $DTFT$ 都是有定义的，但是通常只讨论它的主值周期 $-pileomega<pi$ ，同样， $X(f)$ 的周期为 $1$ 周，其主值周期为 $-0.5le f<0.5$ 。

当然，我们不可能在无限多的连续频率自变量 $omega$ 或 $f$ 的可能取值上计算 $X(omega)$ 或者 $X(f)$ ，我们通常需要的是有限数目的离散频率点上的取值。所以，对于有限长度的离散变量信号，我们定义离散傅里叶变换（ $DFT$ ，注意和 $DTFT$ 相区分）。对于 $N$ 点的信号 $x[n]$ ， $DFT$ 及其逆可以写成如下形式：

$egin{align*}X(k)&=sumlimits_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2pi nk/N}quad kin[0,N-1]\x[n]&=rac{1}{N}sumlimits_{k=0}^{N-1}X[k]e^{j2pi nk/N}quad nin[0,N-1]end{align*}$ 仔细观察上面公式我们会发现，如果 $x[n]$ 是 $N$ 个采样的有限长度序列，则 $X[k]$ 是 $X(omega)$ 或 $X(f)$ 的采样， $N$ 个采样均匀分布在主值周期上：

$X[k]=X(omega)|_{omega=rac{2pi}{N}k}=X(f)|_{f=rac{1}{N}k}quad kin[0,N-1]$ $DFT$ 频率采样的位置等于 $k/NT_s$ 周/单位，或者 $2pi k/NT_s$ $rad/单位$ ，这里的“单位”即为自变量的单位（如果 $T_s$ 的单位为 $s$ ，采样位置的单位即为 $Hz$ ）。当然， $X[k]$ 也是周期性的，周期为 $N$ 个采样。

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