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雷达基础知识：雷达分类

测量目标距离仍然是大多数雷达系统的基本用途。然而，雷达系统在其组成方式、使用的信号、可捕获的信息以及如何在不同的应用中使用这些信息等方面都有了显著的发展。

雷达广泛应用于军事和民用领域，包括：

• 导航（避免汽车碰撞或空中交通管制）

• 高分辨率成像（地形测绘或着陆制导）

• 天气跟踪（风暴预警或风廓线）

按信号类型分类

下面列出了一些具有各种信号类型的常见雷达系统：

连续波（多普勒）雷达：连续波雷达系统以恒定频率发射连续波信号。接收信号存在多普勒频移，可用于确定目标速度。该雷达系统通常用于交通监控。

FMCW雷达：FMCW雷达系统对CW信号进行调频以产生定时基准。有了这些信息，除了可以测速之外，还可以测距。连续波雷达的一个显著优势是它们提供连续的结果（与脉冲雷达系统相比）。这种雷达系统常用于飞机在着陆过程中的精确测高。

脉冲雷达：基本的（非相干）脉冲雷达系统，通过测量发射和接收脉冲之间的时间差来确定目标的距离和方向。由于相位在脉冲间是随机的，所以系统是非相参的。远程空中监视是这些雷达系统的常见的应用场景。

多普勒脉冲雷达：这是一种相参雷达系统，在该系统中，根据接收脉冲间相位的变化可以获得除目标距离和方向之外的信息——目标速度。通常采用高脉冲重复率（PRRs），这使得径向速度测量更精确，但测距精度较低。利用多普勒脉冲雷达系统在抑制静杂波的同时检测运动目标，这对气象监测应用具有重要意义。

动目标指示（MTI）雷达：MTI雷达也使用多普勒频率区分动目标与静止目标和杂波。它的波形是一系列低PRR脉冲，从而避免距离模糊，但牺牲了速度精度。这些类型的雷达系统通常用于地面飞机搜索和监视应用。

脉冲压缩雷达：短脉冲宽度信号提供更好的距离分辨率，但作用距离有限。长脉冲宽度信号包含更多能量，提供更长的探测范围，但牺牲了距离分辨率。脉冲压缩结合了长脉冲宽度与功率相关的优点和短脉冲宽度的分辨率优点。通过调制发送信号的频率（例如线性调频）或相位（例如使用巴克码），长脉冲可以在接收机中压缩相当于调制信号带宽倒数的量；许多天气监测系统已趋向于使用脉冲压缩雷达。

按天线配置分类

单站雷达：在单站雷达中，发射机和接收机通过时域复用的方式共用同一个天线。

双基地雷达：发射天线和接收天线分离（通常以较大的距离或偏移角）的雷达系统称为双基地雷达系统。双基地雷达系统通常用于探测隐身目标，其中隐身技术有意避免将雷达信号反射到发射机方向。

电子扫描阵列（ESA）：雷达系统可以使用天线阵列，可包含1000或10000个天线阵列。通过精确地控制每个天线阵元的相位和幅度，可以形成阵列的整体波束方向图。这些相控阵天线是机械扫描天线的替代品，机械扫描天线通常更重，更容易发生故障。

此外，电机的单点故障会造成机械系统失效，而相控阵天线的一个或多个阵元发生故障时，不会导致整个雷达系统失效。电子扫描阵列（ESA）雷达系统有两种基本类型：无源ESA（PESA）和有源ESA（AESA）。

PESA：无源电子扫描阵列。通常，PESA雷达系统从一个信号源获得信号，然后将其分成数百条路径，并对其中一些进行延迟和（或）衰减，直到每条路径到达单个天线阵元。

AESA：有源电子扫描阵列。AESA雷达系统阵列的每个天线阵元都是独立发射/接收模块（TRM）。这提供了很大的灵活性，使AESA雷达系统能够同时在多个频率下工作，产生多个波束模式以实现不同的雷达功能。AESA雷达现在是最先进的战斗机基线。

影响雷达性能的要素

脉冲压缩雷达

脉冲压缩雷达（pulse compression radar），是发射已调制(或编码)的宽脉冲，对回波信号进行压缩处理得到窄脉冲的雷达。为获得脉冲压缩的效果，发射的宽脉冲采取编码形式，并在接收机中经过匹配滤波器的处理。脉冲压缩雷达能有效地解决常规脉冲雷达中增大探测距离与提高距离分辨率的矛盾，因而获得广泛的应用。

脉冲压缩雷达发展历史

　　初期的脉冲雷达, 发射的是固定载频的脉冲，其距离分辨力反比于发射脉冲宽度。要增加作用距离，就要求加大发射脉冲宽度，这样必然会降低距离分辨力。雷达作用距离和雷达分辨能力正是雷达的两项重要性能指标。因此，必须解决这一矛盾。自从40年代提出匹配滤波理论和50年代初P.M.伍德沃德提出雷达模糊原理之后，人们认识到雷达的距离分辨力与发射脉冲宽度无关，而是正比于发射脉冲频带宽度。只要对发射宽脉冲进行编码调制,使其具有大的频带宽度,对目标回波进行匹配处理后就能获得分辨力很好的窄脉冲输出，即τp≈1/B。式中τp为处理后的输出脉冲宽度;B为发射脉冲频带宽度。根据这一原理，发射脉冲宽度和带宽都足够大的信号，雷达就能同时具有大的作用距离和高的距离分辨力，还可以使单一脉冲具有较好的速度分辨力。因为根据雷达模糊原理,速度分辨力与发射脉冲时宽τ成正比。这种信号的脉冲压缩倍数为τ/τp≈τB。

脉冲压缩雷达信号处理方式

1、模拟脉冲压缩

在脉冲压缩处理中已广泛应用的一种器件是声表面波器件。它是用换能器将电磁波能转换成声波，使声波在基体的表面传播。这种表面波称为瑞利波，具有非色散的性质。但只要把叉指换能器间隔按一定规律变化,就可制成色散延迟线。当换能器受到电脉冲冲击时，在各对叉指间便产生波长为2d的声波。叉指对的排列使内侧的间隔小，因此内侧叉指对发送和接收的频率高,传播的路程短,高频延时小；外侧叉指对的间隔大,发送和接收的频率低,传播的路程长,低频延时大。控制叉指对的间隔,可使延迟线产生线性的或某种规律的非线性的色散信号(即调频信号)。色散信号的总带宽取决于叉指对的最小间隔d和最大间隔d，总时宽取决于叉指列的总长度 D。各频率分量是可以加权的，加权的方法是变化叉指对交叉的深度。

2、数字脉冲压缩

60年代数字集成技术出现后，特别是70年代大规模集成电路商品化以后，许多雷达设计采用数字脉冲压缩处理。数码为二进制，数字脉冲压缩对二相位编码信号特别方便。采用脉冲线性调频的脉冲压缩雷达也可用数字处理技术。数字处理前先把高频信号与本振信号差拍成零中频。为了保持相位信息，零中频信号分为I和Q两个支路。频谱乘法器就是完成数字式的频域匹配处理而用的。数字处理的优点是：①具有灵活性，可以在计算机控制下快速改变发射波形,同时改变信号处理,使之与改变了的波形相匹配；②具有高的可靠性和精确性，可在只读存储器中存入合适加权，使脉冲压缩后的旁瓣极小。数字处理的缺点是对大带宽信号必须有极高的数字处理速度，解决这个问题尚存在困难。

脉冲压缩雷达种类

按发射信号的调制方式分，脉冲压缩雷达主要有线性调频、非线性调频与相位编码等几种体制。

1、线性调频脉冲压缩雷达

线性调频脉冲压缩雷达的发射信号频率在脉冲内随时间线性变化，频带宽度为B，脉冲宽度为T。线性调频体制的关键器件是压缩滤波器，常用的压缩滤波器是声表面波色散延迟线或数字电路，其延迟时间与信号频率成线性关系。当频率随时间线性上升的宽脉冲回波经过延迟线后，由于低频部分的时延大而高频部分的时延小，回波信号经过压缩滤波器后，被压缩成脉冲宽度为1/B的窄脉冲。压缩前后信号脉冲宽度之比为BT，称为脉冲压缩比。由此可见，压缩后的信号脉冲宽度仅为发射信号宽度的BT分之一，因而距离分辨力也改善了相应的数值。而压缩后的窄脉冲幅度则增大许多倍。根据雷达的不同用途，脉冲压缩比通常在数十至数百之间，有的可达数千倍。线性调频的宽脉冲在压缩为窄脉冲时，在窄脉冲前、后的距离上会产生幅度较小的窄脉冲，称为距离旁瓣。强回波信号的距离旁瓣，将干扰对邻近弱回波的检测或被当作目标。为了压低旁瓣电平，可对回波信号中不同频率的分量进行幅度加权，但这将使回波信号遭受损失，降低信号噪声比。

2、非线性调频脉冲压缩

非线性调频脉冲压缩是针对线性调频脉冲压缩雷达的缺点而设计的。它将有关的加权因子，采用频率调制的非线性变化来实现，因此在脉冲压缩时既抑制了旁瓣，又避免了回波信号的损失，但设备比较复杂。

3、相位编码脉冲压缩雷达

相位编码脉冲压缩雷达有二相制、多相制以及巴克码、伪随机码等类型。在二相制相位编码脉冲压缩体制中，宽度为T的宽脉冲被划分为N个宽度为τ的子脉冲，每个子脉冲的相位按0°、180°两相编码。经过压缩滤波器后，输出的是一个主瓣宽度为τ、幅度为宽脉冲回波幅度N倍的窄脉冲。在要求大脉冲压缩比的场合，相位的编码通常采用伪随机码，对于同一码长，可以得到多种不同的编码。相位编码脉冲压缩雷达多采用数字技术进行压缩滤波处理。数字处理方法的优点是在计算机控制下可以快速改变发射波形，相应地改变信号处理，以适应不同的战术要求。

脉冲压缩雷达优缺点

　　脉冲压缩雷达优点

　　1、通过匹配压缩处理获得高的距离分辨率。

　　2、脉冲宽度与有效频谱宽度这两个参数可以独立选取，增加了雷达波形设计的灵活性。

　　3、宽带信号有利于提高系统的抗干扰能力。

　　脉冲压缩雷达缺点

　　1、存在距离和速度耦合，影响测量。

　　2、存在距离旁瓣，通过加权处理抑制旁瓣。

　　3、收发系统比较复杂，在信号产生和处理过程中的任何失真，都将增大旁瓣高度。

脉冲压缩雷达存在条件

　　●发射信号必须具有非线性的相位谱。

　　●存在对应的匹配压缩网络。

脉冲压缩

时间带宽积

矩形和函数  是一对常见的傅里叶变换对，其相关性质在时间和频率上是可互换的。

其中  为矩形函数，定义为

  函数为

  函数的第一对零点出现在  处。

这两个傅里叶变换对如下图所示。在任一情况下，某一域中的矩形函数将被变换为另一域中的  函数。其最重要的特性为：时间函数越宽，频率函数越窄，反之亦然。

变换  揭示了 SAR 处理中的一条重要性质：对（宽的）矩形频谱进行 IDFT，就会得到（窄的）冲激响应。上图的后一行表明，如果带宽（频谱扩散）为  ，相应  函数的  宽度则为  。也就是说，信号的持续时间近似与带宽成反比。

信号的一个重要参数是其时间带宽积（time bandwidth product，简称 TBP）。顾名思义，其为信号  时宽和  带宽的乘积。矩形函数和  函数的 TBP 近似为 1。

对于  型脉冲，  之间的区域称为主瓣，分布在主瓣两侧，与主瓣轮廓相似的区域称为旁瓣。最大旁瓣功率（图中的  处）与峰值功率（  处）的比值称为峰值旁瓣比。该比值在  函数中为  。

如果一个函数在频域中近似为矩形，但向两端逐渐锐化，则峰值旁瓣比将会降低，  带宽将会增大。

由于时间与频率的对偶性，同样的定义也适用于  变换对，只是需将频率替换为时间。该傅里叶变换也有同样的 TBP。

脉冲压缩原理

在探测系统中，通过脉冲能量对远场目标的距离、速度、形状或反射率等参数进行测量。为了使测量有效，接收脉冲必须具有足够强的能量和足够好的分辨率。如果发射脉冲的持续时间为  ，则每一目标在回波数据中占据相同的时间间隔  ，故压缩前的可分辨能力为

在任意时刻，回波中间隔大于这一时间的两个目标都不会被同一脉冲同时照射到。因此，为了得到良好的分辨率，必须使用短脉冲或至少使用经过信号处理能得到短脉冲的信号。

但是，为了得到精确的目标参数，接收信号的  必须足够高，这一要求经常与分辨率相矛盾。提高信号的平均发射功率，可以增大  。这可以通过增大峰值功率或发射信号长度（持续时间）予以实现。

由于高峰值功率较难实现，通常都采用后一种方法，经延伸后的信号长度一般远高于分辨率所要求的脉冲长度。在信号处理中，将这种通过发送一个展宽脉冲，再对其进行脉冲压缩以得到所需分辨率的技术称为脉冲压缩。

雷达系统中的脉冲压缩与通信系统中的展布频谱很相似。脉冲压缩的目的是获得高分辨率接收数据，从而得到聚焦良好的图像，而通信中的展布频谱是为了在噪声环境中发送消息。

在脉冲压缩中，信号在时域进行展宽和压缩，发射信号的持续时间高于最终分辨率。在展布频谱中，信号的展布与解展布则是在频域进行的，发送信号带宽宽于消息中的信息量。脉冲压缩可以很容易地通过线性调频信号实现。

由前面的叙述可知，信号持续时间是带宽的倒数。为了合成一个短（好的分辨率）脉冲，必须发送、接收和处理大的信号带宽。且一定带宽下的脉冲（频域）可近似为  函数（时域），其时域能量分布非常集中。

  函数可以通过对矩形频谱进行傅里叶逆变换得到。矩形函数的相位必须与  函数中正弦波的相位对应（即必须是线性的），正弦波的频率确定了  函数的时间位置。

因此，为了取得好的脉冲压缩，必须对接收信号进行处理，使其频谱幅度非常平坦，相位仅包含常量和线性分量。#线性调频信号#说明了如何使线性调频信号具有近乎平坦的频谱。这几乎是有限长度信号可得到的最平坦的频谱。这种平坦性是通过在信号带宽内进行均匀扫频实现的。

线性调频信号中的均匀扫频可以通过时域相位的二次分量得到。由 POSP 导出的信号频谱中也包含二次相位。此时，为了得到具有线性相位的平坦频谱，可以与含有二次共轭相位的类似频谱信号相乘。相乘后的信号相位即是线性的。再经过傅里叶逆变换就得到了所需的函数。

可见，频域中的脉冲压缩本质上就是将信号频谱与含有二次共轭相位的频域滤波器进行相乘。脉冲压缩又称为“匹配滤波”。

看待匹配滤波的另一种方式来自于通信实践。如果预期的信号淹没在接收信号矢量的噪声中，通过将接收信号与预期信号的共轭进行互相关，就可以对信号的存在及其发生时间做出判断。一旦在接收数据中发现信号，输出中都会出现一个类似  函数的尖峰。

在本文中，相关“滤波器”与信号的预期相位特性相匹配。一般来说，如果  为接收信号，  为复制信号，则匹配滤波可以通过相关实现

注意，根据相关的定义，  应取复共轭。如果使用卷积而不是相关进行滤波，则滤波核为复制信号时间反褶后的复共轭，即  。

本文中的匹配滤波器是指卷积滤波器，卷积积分为

线性调频信号的时域压缩

脉冲压缩的一个量化量度是压缩比，其为初始信号长度除以压缩脉冲的  宽度，接近未压缩脉冲的 TBP。线性调频脉冲的压缩比可达几百甚至几千的量级。

下面推导基带和非基带信号下的匹配滤波器时域输出表达式。

基带信号

设发射信号  ，则  时延后的目标接收回波可表示为

  时的匹配滤波器为  时间反褶后的复共轭

匹配滤波器的输出由卷积给出，具体细节见同发文章#匹配滤波器的输出推导#。压缩后的输出近似为  函数

该近似在大 TBP 下是很精确的。下图对同发文章#匹配滤波器的输出推导#中的压缩示例进行了放大，其中 TBP＝100，  设为零，为清晰起见，进行了 8 倍过采样。

上面讨论的信号和匹配滤波器的持续时间都设为  。但是，对于某些不满足该假设的 SAR，会出现一个一般可忽略不计的二次附加相位（详细推导见同发文章#匹配滤波器的输出推导#）。

注意，由于匹配滤波器是专门针对信号设计的，故上式是相位为 0 或  的实函数。实际上，每一目标的相位都不同，因而压缩后的脉冲有可能是复数的。

脉冲分辨率

分辨率指压缩后信号中的两个  点之间的间隔，其为幅度峰值以下 0.707 倍处的脉冲宽度（见上图）。时间量纲下的  分辨率可表示为

在某些情况下，因子 0.886 可近似忽略不计，尤其在考虑加窗引入的展宽影响时更是如此。由于  为 chirp 带宽，分辨率为带宽的倒数，所以带宽越宽，分辨率越高。由于  表示匹配滤波后的点目标响应，所以分辨率又称为冲激响应宽度（IRW）。

忽略因子 0.886 后的压缩比等于未压缩脉冲的 TBP，为

以 RADARSAT 中等分辨波束中的  和  为例，  ，  ，则带宽为  ，分辨率为  ，压缩比为 723。

压缩的另一种解释为：通过展宽/压缩将发射脉冲合成到  的极短时间内，这一时间只有实际发送脉冲长度的1/723。

脉冲压缩示例

下图示意了匹配滤波。图（a）给出的是去除时延后点目标的接收线性调频信号实部。图（b）则为压缩脉冲的幅度。利用点目标分析方法，可以对图（c）和图（d）中的信号幅相进行更详尽的观察。

接收信号长  ，压缩脉冲  宽约为  ，压缩比和 TBP 近似相等，约为 42，过采样率为 10 以便更清晰地观测波形。从图（c）中可见，第一旁瓣（即峰值旁瓣）与主瓣的比值为矩形函数经傅里叶逆变换后的  。这一比值即为峰值旁瓣比（PSLR）。

在本例中，由于压缩脉冲的实部为正，虚部为零，故主瓣及偶数旁瓣中的相位为零，这是因为信号不含噪声，而匹配滤波器的相位是信号相位的共轭。对于奇数旁瓣，由于实部为负，虚部仍为零（虚部中可能存在干扰理想相位的取整误差），故其相位为  。

实际上，接收信号总是含有噪声的。为了揭示接收噪声的影响，在接收信号的实部和虚部中加入高斯随机噪声。噪声的标准差为信号幅度的 0.75 倍，相当于  的接收  。

结果如下图所示。与上图相比，可看出下图（a）中有明显的接收信号失真。然而，图（b）中的压缩结果却并不比无噪声情况差很多。

这种对噪声的不敏感性是由于滤波器只与信号匹配，而不与噪声匹配（它与噪声不相关）。匹配滤波器将大部分信号分量集中为单一的尖峰，而噪声仍以随机的形式分布在输出序列中。

对于高斯加性噪声，匹配滤波接收机是使压缩脉冲峰值处  最大的最佳接收机。噪声不会影响到对  处理原理的理解，在后续讨论中可忽略不计。

可以通过观察旁瓣的规整性以及相位形式，对压缩质量（尤其是匹配滤波器与信号的相位匹配程度）进行判断。比较上述两图会发现，噪声对旁瓣（见图（c））和相位（见图（d））的明显影响。

非基带信号

在时域中，非基带信号可以视为零频时刻偏离脉冲中心的信号。设  是脉冲中心相对于  的时间偏移，则发射信号  为

脉冲压缩的分析与基带信号的讨论非常相似。如果接收回波时延为  ，则目标回波可表示为

匹配滤波器为

根据同发文章#匹配滤波器的输出推导#的推导，压缩信号为

与基带信号相比，脉冲仍被压缩至脉冲中心  ，但是由于上式中的指数项，有一个  的线性相位穿过脉冲峰值。因子  可以从物理上解释为接收解调数据的中心频率，或压缩脉冲的频偏。由于该式为正扫频脉冲，脉冲中心位于零频左侧，故其值为负，见下图（a）。

注意，信号  的零频不在  时刻，而是在  时刻。通常要将压缩数据校准至零频位置。这可以通过频域中的匹配滤波很方便地实现。

仿真结果如下图所示，其中信号持续时间、脉冲宽度与上述仿真一致，脉冲中心相对于零时刻偏移量  。

频域匹配滤波器

基带信号

前面讨论的时域匹配滤波器可以通过时域卷积实现。同样的结果也可通过频域中的快速卷积得到。并且，还可直接在频域设计精度很高的匹配滤波器中得到。有时这样做非常方便。在此忽略所有无关紧要的常数因子。

由前面分析可知，  时延后的目标接收回波可表示为

对该式使用 POSP（详见#线性调频信号#），信号频谱近似为

最后一个指数项中的附加线性相位源于相对零时刻的目标偏移  。

匹配滤波器在设计上应能消除上式中的二次相位，即为

注意，二次相位与目标位置  无关。如果有必要，也可以将其消除。匹配滤波后的信号频谱为

式中的二次相位相互抵消，只余下线性位置相位。

对  进行傅里叶逆变换，得到压缩信号

除了附加增益  以外，该结果与时域结果相同。增益  源自频域推导，这是由于在 POSP 中忽略了一个  的常量。信号频谱式中应含有该常量，也可将其纳入式中，以去除因子  。但是，由于在实际中使用其他归一化准则，以设置匹配滤波器的增益，所以该常量一般会忽略不计。

非基带信号

以上推导假设信号为零中心频率的“基带”信号。对于非基带信号，频谱被旋转，信号中心频率不再为零。根据傅里叶变换的性质，频谱平移会在时域引入一个在压缩目标峰值处过零的线性相位。

由前面分析可知，  时延后的非基带接收回波可表示为

对非基带接收信号式进行 POSP，接收信号频谱为

则频域滤波器为

匹配滤波器相乘后的频谱为

压缩信号是上式的傅里叶逆变换

对接收信号进行频谱平移，目标被压缩至  ，即目标定位在接收信号的零频位置。即使零频处于信号带宽以外，这一性质仍然成立。接收信号中的频谱平移仅影响到压缩信号中线性相位的斜率。

某些应用需要将目标定位至接收信号的起始时刻（或中间时刻），为此可将滤波函数乘以一个线性调制相位  ，其中  是零频时刻和定位时刻的时间差。

窗效应

到目前为止，所讨论的匹配滤波器的幅度都为常量。从仿真结果中可知，频谱近似为矩形时的 PSLR 为  。一般认为这一 PSLR 过高，因为在图像中会淹没附近的弱目标。降低 PSLR 的一种方法是对频域匹配滤波器引入平滑窗，以减少主瓣到旁瓣的能量泄漏。

窗是一个对信号频谱进行加权的对称实函数。权值在信号频谱中心处（峰值）最大，向频谱两边逐渐衰落。回顾上期#线性调频信号#对频谱间隙的讨论，当频谱峰值位于距间隙中心  采样率处时，必须将窗进行旋转，以实现与频谱的峰值对准。

窗能够平滑频谱，即弱化频谱边缘处的不连续性。这样会降低压缩脉冲中的主瓣能量泄漏，但要以损失分辨率为代价。这是因为窗使压缩中的有效信号带宽变窄。

典型窗包括 Taylor 窗、Chebyshev 窗、Hanning 窗、Hamming 窗和 Kaiser 窗。本期将主要讨论 Kaiser 窗，它有以下几个特性：

• 由于 Kaiser 窗是一种似长球波函数，故其能在一定 ISLR 下，近乎最优地使压缩脉冲的主瓣能量达到最大。

• Kaiser 窗有一个可调参数  ，可以在不同应用中兼顾分辨率和旁瓣。

Kaiser 窗在时域和频域中分别表示为

其中，  为Kaiser 窗在时域的长度，  为Kaiser 窗在频域的长度；  是可调节的衰减系数或平滑系数，  是零阶贝塞尔函数。

在 MATLAB 中，kaiser(N， beta)产生的是一个平滑系数为 beta 的 N 元列矢量。Kaiser 窗的傅里叶变换或傅里叶逆变换为一个  型函数。

当  时，窗退化为矩形。当  时，两侧的锐化扩大了变换后函数的  宽度，同时降低了峰值旁瓣比。展宽定义为加窗前后宽  度的比值。

下图示意了不同  值的 Kaiser 窗。

加权后，频域匹配滤波器变为

由于线性调频信号存在一一对应的时频关系，所以可在时域加窗，还可在时域设计无窗匹配滤波器，直至在频域处理数据时再加窗。加窗后，时域中匹配滤波器变为

下图示意了以上两个域中的窗的应用。左列示意的是时域中的窗及其对信号边缘处的锐化效应。右列则为频域中的类似效果。为简化起见，在此假设信号是基带的。

经加权和匹配滤波后的信号频谱为

由窗的傅里叶逆变换可得压缩脉冲的冲激响应

这是一个中心为  的  型函数，与  函数相比，其主瓣较宽，旁瓣较低。设  为窗引入的 IRW 加权展宽因子。则分辨率可写为

在确定系统性能时，对 IRW 和 PSLR 都必须加以限制。因此，应对窗参数的选择进行权衡。

前面我们将过采样率定义为采样率与信号带宽的比，也可将其定义为分辨率与采样间隔的比。

附录：匹配滤波器输出的推导

本文对卷积积分给出的匹配滤波输出进行推导。在此考察两种情况：

（1）信号和匹配滤波器长度相等；（2）长度不等。除了后者存在一个附加的二次相位外，两者在结果上很相似。

信号和匹配滤波器等长

由同发文章#脉冲压缩#可知，基带信号为  ，匹配滤波器为  ，两者具有相等的长度  ，为简单起见，设  ，则匹配滤波输出为

当两个矩形函数存在重叠时积分有效。根据信号与滤波器的重叠情况，在两段区间内分别进行积分，其中一段区间内的信号位于匹配滤波器左侧，而另一段区间则位于右侧。改变相应的积分限，则

经过代数运算后的匹配滤波输出为

输出  为实函数，一般写为

可以将上式表示的函数视为由两部分组成，其中缓变部分（或包络）为  ，捷变部分为  函数。如下图（a）所示，包络为三角函数。这是因为当两个幅度均匀的函数  和  进行相对移动时，其重叠部分从中间向两侧降低。

本例中的参数取自 TBP 为 100 的雷达，为清晰起见，峰值进行了归一化处理。

捷变部分近似由上图（b）所示的三个  函数表示，峰值时刻分别位于  ，0 和  。由于假设信号具有极大的 TBP，每一  函数的有效持续时间远小于  。

合成后的函数如图（c）所示。由于三角函数在  和  处附近接近为零，故可忽略这两处的  函数峰值的影响。当 TBP＜100 时，这些远离中心的  函数开始变得明显。而且，对于峰值位于  点的  函数，在零时刻附近（  ）的包络接近为  。那么，TBP≥100 时的压缩输出可近似为

图（c）中曲线的放大显示如同发文章#脉冲压缩#中的。由于此处中的 TBP 极大，几乎看不到近似影响。

信号和匹配滤波器不等长

以上推导假设信号与滤波器的长度相等，即矩形函数长度相等。这需要将积分分为两部分。以下讨论矩形函数不等长的情况，此时无需进行分块积分，推导更简单。

卷积积分可以通过去除某一函数的矩形窗得到。例如，去除  的矩形窗，这相当于假设信号  的持续时间长于滤波器  的持续时间。同样，设  ，匹配滤波器输出为

最后一行中的积分为矩形窗的傅里叶逆变换，其结果为  型函数

与长度相等时滤波器输出相比，该式有一个附加的二次相位  。该项在  附近的峰值主瓣内通常可忽略。无论信号长于滤波器还是滤波器长于信号，得到的结果都一样（前者更普遍）。对于有些 SAR 模式，需要截断信号，以使匹配滤波器长于信号。

线性调频信号

线性调频信号在 SAR 系统中非常重要，其瞬时频率是时间的线性函数。这种信号用于发射，以得到均匀的信号带宽。

时域表达

在时域中，一个理想线性调频信号或脉冲的持续时间为  秒，振幅为常量，中心频率为  ，相位随时间按一定规律变化。由于频率的线性调制，相位是时间的二次函数。当  为  时，信号的复数形式为

其中  是时间变量，单位为秒；  是线性调频率，单位为  。

下图给出了  时的一个复线性调频信号，其中信号持续时间  ,信号带宽  。实部和虚部都为时间的振荡函数，振荡频率随着远离时间原点而逐渐增大。

仿真过程中为了能更清楚地观测信号波形，进行了  倍的过采样。

从图（d）信号频率的时频关系中可以看出信号被称为线性调频（或  被称为线性调频率）的缘由。脉冲相位由上式中指数项的幅角给出

单位为弧度。如图（c）信号的相位所示，其为时间的二次函数。对时间取微分后的瞬时频率为

单位为  。这说明频率是时间  的线性函数，斜率为  。带宽指主要 chirp 能量占据的频率范围，或者为信号的频率漂移（实信号中只需考虑正频率）。根据图（d），带宽是 chirp 斜率及其持续时间的乘积

单位为  。由前面的知识可知，带宽决定了分辨率。

信号的一个重要参数是其时间带宽积（time bandwidth product，简称  ）。顾名思义，其为信号  时宽和  带宽的乘积。矩形函数的  近似为  。在线性调频信号中

中心频率  的基带线性调频信号的  可以通过在时域计算信号实部或虚部的过零点数得到。设基带线性调频信号的相位为  ，即  。

在脉冲某一端的相位为  ，在  和  之间，  经历了  次过零。这样，全部信号的过零点数为  ，为  的一半。故当  时，信号过零点数约为  的一半（或完整的周期数近似为  ）。

在上述仿真中，信号持续时间  ,信号带宽  ，故其  为  。由图（a）和图（b）可知，全部过零点数为  。如果信号的中心频率不为零，过零点数则会大于  。

总之，线性调频信号的相位是二次的，其频率是时间的线性函数，频率斜率是线性调频率。由于与鸟鸣很相似，故线性调频信号经常被称为 chirp。如果斜率为正，信号称为正扫频。如果斜率为负，则信号称为负扫频。chirp 方向隐含在  中。

线性调频脉冲的频谱

在 SAR 系统分析中经常要用到线性调频信号频谱的解析形式。虽然难以直接精确推导出傅里叶变换后的信号解析表达，但可以利用驻定相位原理（POSP）得到简单的近似表达式。

设  是一个调频信号，其调制可以是线性的，也可以是近似线性的

其中  是实包络，  为信号调制相位。假设与相位相比，包络为时间缓变函数。

该信号的频谱为  的傅里叶变换

其中，来自傅里叶变换的相位  ，合并于单一相位项中

被积相位包含二次项或更高次项。即使对于只有二次项的线性调频信号，也很难用常规方法得到积分的解析表达式。

POSP 的简要解释如下。上述线性调频信号仿真图表明信号相位  在  等于  的时刻  是“驻留的”。在上图中，驻留点出现在  处。与实、虚部的幅度变化一样，相位在该点的邻域附近是缓变的，而在其他时间点上则是捷变的。上式中的相位  也有类似情况，只不过驻留点随  而改变。

假设与相位函数相比，  变化得很慢，则频谱  有如下性质：

在相位  变化很快的地方，包络  在一个完整相位周期内近似为常数。由于这一区间内相位周期的正负部分相互抵消，故其对积分的贡献（包括实部和虚部）几乎为零。对积分起主要作用的部分集中在相位驻留点附近。

由此可以得到信号的频谱近似为

式中，  是一个通常可以忽略的常数，双重上标代表关于  的二次求导，注  ；

  为频域包络，其为时域包络  的尺度变换。  为频域相位，其为时域包络  的尺度变换。

  由信号时频关系给出，这一关系可以由完整被积相位的驻留点（导数为  ）给出，即  。  的符号由  的符号给出。

线性调频信号的积分解

线性调频信号的复数形式为  ，信号频谱为

其中包络  为矩形，被积相位

令  ，则线性调频信号时频关系为

与时域分析中直接得到的频率关系一致。频域相位为

频域包络为

其中矩形函数的中心频率为  。忽略常数  和相位  ，得到的线性调频信号频谱为

频谱讨论

下图给出了通过 DFT 而不是 POSP 得到的线性调频脉冲频谱。脉冲结构与前面时域仿真图相同，只是将  增加到  （信号持续时间  保持不变，将信号带宽提升到  ），以使 POSP 更精确，并且将过采样率从  降至  。由于在 DFT 后进行了fftshift（左/右半边互换）操作，故零频位于序列中心。

对比时域与频域线性调频信号：

• 上图中频谱实部和虚部与时域所示的实部和虚部具有相似的线性调频结构。与时域相比，不同之处在于存在  的相变和调频斜率符号的改变。为清晰起见，图中只示意了  的频谱。

• 上图（b）的包络与对应的时域信号矩形包络近似一致。也就是说，两个域中的包络近似不变。幅度谱的陡降源自  倍的时间过采样。

• 上图（d）中的频域相位与时域相位相同，基本上是二次的。这意味着频时关系为  ，表明线性调频信号中的频率与时间之间存在一一对应的线性关系。

POSP 只是一种近似。然而，如果调频信号的周期足够多，这种方法对于分析来说是足够精确的。POSP 也可以用于含有高于二阶相位的近似线性调频信号。

调频信号采样

由#正交信号：是复数但不复杂（二）#可知，对于复线性调频信号，奈奎斯特采样定理可以表述为采样率必须高于信号带宽。

基带复线性调频信号的最高频率为  （即带宽的一半），所以最低复采样率  必须大于带宽  。检验采样率充分性的另一种方法是寻找采样信号频谱中的间隙（凹槽）。如果间隙不存在，则采样率过小。如果间隙高于采样率的，采样率就大于最优效率值。

为了衡量能量间隙的相对大小，定义过采样因子（或比值）为

下图给出了不同过采样率下的能量间隙。随着过采样率以  间隔逐行降低，能量间隙也相应减少。为了更清楚地显示间隙，频率按 DFT 的输出顺序排列。最上面一行中的  ，间隙相当宽。此时，采样率高于必需值，需要额外的存储和计算，以进行信号处理。间隙也可看成是未被利用的频谱空间。

图中信号持续时间  ，带宽  。过采样率分别为  ，探索过采样率对信号频谱的影响。

上图中第  行的  ，此时频谱中存在一个小但很清晰的间隙。这一过采样值很好地兼顾了效率和精度。第  行中的  ，此时间隙消失。虽然严格来讲此时不会出现混叠，但由于存在于标称带宽范围外的频率泄漏，仍会有少量混叠发生。

最下面一行中的  ，此时存在严重的混叠。如图左下角所示，在  之前和  之后出现频率卷绕。较低和较高部分的信号频谱能量互相交织在一起，以至于无法区分。通过右下角频谱中的“冗余”能量可以看出这一点（30～50频率单元）。

通常，为既能有效地利用数据采样点，又能留有足够的频谱间隙，过采样因子应选在  之间。当存在明显的间隙时，可以对样本进行精确的信号处理（如连续信号的精确重建）。

频率和时间不连续性

如前所述，DFT 认为时域和频域序列具有周期性和循环性，即假设每一序列是首尾相连的。但是，对于某些应用来说，必须确定序列的实际结束位置（如补零中的置零区）。

对于时域序列，由于输入是通过对较长序列进行截断得到的，端点位于 DFT 输入的首、尾样本处。虽然 DFT 假设输入为  点周期信号，但通常信号是非周期的，因而在序列的截断处会存在不连续性。

如果需要在时域补零来得到合适的变换长度，使信号与滤波器等长，或者扩大频谱的样本空间，则补零必须在序列的一端进行。注意，补零区的选择会影响频谱相位。

对于频域序列，频谱端点由前面所讨论的间隙来界定。以上图最上面的一行为例，频谱间隙中心位于第  个单元。此时，频谱主区开始于第  个单元，结束于第  个单元，频率从左至右逐渐增加。

如果所处理的频谱是连续的，当间隙处于 DFT 输出序列中心附近时，可以将序列的左右两半部分互换，从而使间隙在两端处分开。这种运算可以通过 MATLAB 中的 fftshift 函数方便地实现。

对于实值时间信号，频谱间隙总是以 DFT 输出序列的中点（  频率处）为中心。频谱关于零频（即第一个输出样本）共轭对称。

但是，对于复时间序列，频谱不一定是对称的，间隙可能出现在频谱的任意位置。上图中的信号虽然是复的，但由于信号的中心频率为零，故间隙仍处于频谱中心。当信号中心频率非零时，间隙则会出现在其他位置。当不能预判间隙位置时，需对其进行估计。

如果在频域进行信号处理，则必须把频谱样本看成是连续的，其以间隙末端为起点，经过 DFT 序列的两端（如果需要），而结束于间隙始端。其实例是频域滤波器的设计和应用及对频谱补零（必须在间隙中心处补零），以扩展时域的样本空间。

如前所述，在时域中，序列的任一端都存在不连续性，但是这只对输入数据成立。如果在频域处理数据，则不一定会有不连续性。通过傅里叶变换将数据变回到时域，此时序列的时间轴是循环的。问题的关键在于如何确定时间间断点。

参考资料：

1、公众号：雷达信号处理matlab

2、http://www.ck365.cn/baike/1/2046.html

3、公众号：雷达通信电子战

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