多普勒频谱采样

云脑智库 2022-04-21 00:00

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来源 | 雷达信号处理matlab

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所选的脉冲重复频率决定了慢时间信号的采样频率。慢时间信号的频谱通常被称为多普勒谱，这是因为非零的频率分量是由于雷达和目标场景相对运动产生的空间多普勒效应造成的。分析和调整包含在多普勒频谱中的目标场景信息是我们的处理目标。

以上所说的多普勒处理有时是直接在慢时间域实现的，即直接处理 $y[l,m]$ 中某行所代表的时间信号，但通常要分别计算出每一行信号的多普勒频谱。在数字信号处理器中，这过程必须通 $DFT$ 过或其他离散频谱分析技术来实现。

在本节中假设频谱是由传统的离散傅里叶变换技术得到的，而没有考虑非线性频谱估计方法或其他方法。那么就会产生这样个问题，计算所得的多普勒频谱，其连续样本应当间隔多大？也就是说，多普勒采样间隔应当是多大？

多普勒中的奈奎斯特速率

频域的奎斯特采样速率可以通过观察采样多普勒频谱与慢时间信号的关系得到。将有限持续时间的慢时间信号（ $y[l,m]$ 的一行）表示为 $y_s[m]$ ， $0le mle M-1$ ，并令其离散时间傅里叶变换（ $DTFT$ ）由下式决定

$Y_s(omega)=sumlimits_{m=-infty}^{infty}y_s[m]e^{-jomega m}quadomegain(-pi,pi]$ 尽管 $y_s[m]$ 是离散的，但 $Y_s(omega)$ 是频率变量的连续函数，并且沿 $omega$ 轴以 $2pi$ 为周期。

考虑对 $Y_s(omega)$ 以 $K$ 为间隔，在 $(0,2pi]$ 内均匀采样后得到的 $K$ 点离散频谱 $Y_s(k)$ ，有

$Y_s(k)=Y_s(rac{2pi k}{K})quad kin[0,K-1]$ $Y_s(k)$ 被称为离散傅里叶变换。为了求得它与原始信号 $y_s[m]$ 的关系，计算其逆 $DFT$ 变换

$egin{align*}hat{y}_s[m]&=rac{1}{K}sum_{k=0}^{K-1}Y_s(rac{2pi k}{K})e^{j2pi mk/K}quad min[0,K-1]&=rac{1}{K}sum_{k=0}^{K-1}sum_{p=-infty}^{infty}y_s[p]e^{-j2pi pk/K}e^{j2pi mk/K}&=sum_{p=-infty}^{infty}y_s[p][rac{1}{K}sum_{k=0}^{K-1}e^{j2pi (m-p)k/K}]end{align*}$ 其中的求和项可以表示为

$rac{1}{K}sumlimits_{k=0}^{K-1}e^{j2pi (m-p)k/K}=sumlimits_{q=-infty}^{infty}delta[m-p-qK]$ 其中， $delta[cdot]$ 是离散时间单位脉冲函数。故可得

$hat{y}_s[m]=sumlimits_{q=-infty}^{infty}y_s[m-qK]quad min[0,K-1]$ 虽然在前面的分析中假设 $y_s[m]$ 是有限长度的，但是该结果也适用于无限长信号。

上式表明，时域采样过程对偶的频谱采样是将时域信号进行周期延拓，延拓的周期与频率采样速率成比例。特别地，如果慢时间信号频谱是通过 $K$ 个频率点计算得到的，则对这些频率采样进行逆 $DFT$ 变换所得的时间域信号就是以 $K$ 个样本为间隔进行延拓的慢时间信号。

考虑到 $y_s[m]$ 被限制在间隔 $[0,M-1]$ 内，当 $Kge M$ 时，在所关心的间隔 $[0,K-1]$ 内对所有 $q<br/>eq0$ 的点有 $y_s[m-qK]=0$ ，因此 $hat{y}_s[m]=y_s[m]$ 。当 $DFT$ 运算的长度至少与原始数据序列的长度相等时，这种情况是很常见的。

现在，频域奎斯特采样速率就显而易见了。当 $Kge M$ 时，原始慢时间信号 $y_s[m]$ 不会因为频域采样而发生混叠。因此，通过提取主值区间 $min[0,M-1]$ 的对应信号 $y_s[m]$ 可以将其从周期延拓的信号中恢复出来。该方法与采样慢时间信号重构要求低通滤波器是等价的。

在以上对频域采样的讨论中，时域和频域仅仅进行了相互转换。因此频率域的采样间隔 $omega_s$ 必须满足

$omega_slerac{2pi}{M}quad(rad)$ 对应的频域采样率为

$Kge M（每个多普勒谱周期中的样本个数）$ $K$ 点 $DFT$ 的输入必须是 $K$ 点离散序列，但现有数据是 $M$ 点序列 $y_s[m]$ 。如果 $K>M$ ，则通过在序列后补 $K-M$ 个零将其扩展成 $K$ 点序列，这一操作称为零值填充。

在一些系统中，所需的多普勒采样点数少于可用的数据样本数，即 $K<M$ 。当 $K<M$ 时，一种对 $M$ 点序列计算 $K$ 点 $DFT$ 的方法是保留 $K$ 点样本并计算其 $K$ 点 $DFT$ 。

但是当采样样本数 $M＞K$ 时，进行 $K$ 点 $DFT$ 是不合适的，原因有两个：首先，保留下来的 $K$ 点样本的 $DTFT$ 与全部的 $M$ 点序列的 $DTFT$ 是不同的，所以我们将从 $DFT$ 得到低分辨率 $DTFT$ 的样本；

其次，未采用全部 $M$ 点样本时所得频谱的信噪比会降低，因为仅有 $K$ 个样本而不是 $M$ 个可用样本参与了求和。所以，为获得最高测量质量而抛弃被测数据不是一种很好的方法。

在这种情况下，如果仍要求多普勒谱样本与 $y_s[m]$ 的离散时间傅里叶变换的样本相等，则 $DFT$ 式及逆 $DFT$ 式表明：需要构造一个新的，长度被减小到 $K$ 点的序列 $hat{y}_s[m]$ ，它是由慢时间数据序列 $y_s[m]$ 按照逆 $DFT$ 式进行混叠得到的。如上图所示，该操作有时被称为数据扭转。由于使用了所有的样本，所以它使多普勒频谱的信噪比最大化。该方法实际上已经应用于某些军用雷达。

－ The End －

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