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为帮助正在学习大学物理的同学及时有效的复习和总结，我们整理了全部课程要点以供同学们参考。欢迎分享，谢谢支持！

电磁学要点(一)：真空中的静电场

电荷是自然界中粒子的一种基本属性。电荷有两种，分别称为正电荷和负电荷。自然界的粒子所带的电荷不能无限小，一个基本的电荷量是指电子所带的电量，数量为  ，物体所带电荷必定是基本电荷的整数倍，这是电荷的量子性。

根据电荷间作用的规律，即“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”，可以确定电荷的种类是两种。电荷是粒子的属性，同质量一样，电荷也具有相对论不变性，不同的是，它还满足电荷守恒定律。

点电荷是指大小和形状可以忽略，可以看成一个点的带电体。同质点一样，是否能被看作点电荷，也依具体问题而定。

同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。真空中，两个点电荷之间的相互作用力沿着二者连线的方向，按照如下公式给出 其中，  是点电荷的距离，  是从施力电荷指向受力电荷的单位矢量，  是真空的电容率。

理解库伦定律矢量式的含义，当考虑电荷1对电荷2的作用时，  从1指向2，否则  就反向。无论电荷1和2的电性如何，只要规定正电荷用正数，负电荷用负数，库仑力的方向总能自动通过矢量式获得。

为了尽量减少因为电场力过大，而导致场源电荷重新分布，进而影响空间电场的分布，基于点电荷的模型，定义所谓“试验电荷”，即带电量足够小的点电荷。

与超距作用观点不同，场的观点认为作用是通过场有限速度来传递的。电场就是传递电荷相互作用的媒介。

试验电荷在空间某点所受到的电场力与试验电荷的量的比值描述该点的电场的强弱，称之为电场强度，其方向与该点正电荷受力方向一致，即  

根据力的叠加性可知，空间任一点的电场是周围所有电荷在此贡献电场的矢量和，此即为电场的叠加原理。  

一个点电荷  在离它距离为  的点激发的电场强度为

其中  是指从点电荷   指向该点的单位矢量。

基于此，由点电荷组成的带电体系的电场就可以根据电场强度的叠加来获得。

离散的点电荷体系的电场为 电荷连续分布的带电体系的电场为 微元电荷  的具体形式依赖于带电体的维度，当电荷分别为线、面和体分布时，  分别为  ，  和  。

这是计算电场强度的第一种方法。

电场线：一种描述电场强度矢量分布的模型，它在某处的切线方向对应该点的电场的方向，在某点垂直于电场的单位面积内，穿过的电场线的条数  为该处电场强度的大小  ，即 

电场线起始于正电荷或无穷远，终止于负电荷或无穷远。电场线永不相交，不会在没有电荷的地方中断。

电通量：根据以上电场线的模型易知 如果要知道空间中一个面内  有多少根电场线穿过，只要对此式积分即可。由于电场线本身并不存在，而是一种假想模型，因此说“条数”是不合适的，而是用通量来描述，叫做电通量，用  表示，即 电通量的符号取决于面积矢量与电场强度的方向的夹角，如果夹角是锐角，则通量为正，否则，通量为负。

规定闭合曲面的法线方向以向外为正，向内为负。因此，若电场线从曲面内射出，则通量为正，否则通量为负。

真空中，穿过任意闭合曲面的电场强度的通量 ，等于该曲面内所包含的电荷的代数和  除以  ，即 高斯定理表明，电荷是电场的源，电场是有源场。

关于高斯定理要注意：

a. 闭合曲面外的电荷对整个曲面上的电通量没有贡献，曲面上的的电通量全部由内部的电荷贡献。

b. 高斯定理描述的是曲面的通量与内部的电荷之间的关系，并不是描述曲面上的电场与电荷之间的关系。

c. 高斯面上的电场并非只由曲面内的电荷贡献，而是由空间所有电荷共同贡献的。

d. 作为一个数学定理，高斯定理是普遍成立的，对曲面的形状没有任何要求，但是只有当电场分布具有某种对称性时，高斯定理才能为我们所用——用来求空间电场的分布。

当电场分布具有高度对称时，例如球形带电体，圆柱形带电体，无限大带电平面等，电场强度可从积分符号中提出，因而可据此求解电场强度。这是求解电场强度的第二种方法。

a. 电荷线密度为  的无限长直线 b. 电荷面密度为  的无限大平面  c. 电荷线密度为  ，截面半径为  的无限长圆柱面 d. 半径为  的均匀带电球面   e. 半径为  的均匀带电球体 另外，若电荷的分布只与径向距离有关，则上述规律中的  的部分依然成立。

静电场的电场强度沿任意闭合路径的积分必为零，即   这表明静电场力做功与路径无关，静电场力是保守力。 

电势能：电荷  在电场中移动时，电场力所做的功只与始末位置有关，与路径无关，这说明存在一个函数，它在始末点的函数值的差对应电场力所做的功，因此引入电势能函数  ，它满足 若选择  为零势能参考点，则  点的电势能函数就被确定下来了 零势能参考点：零势能参考点的选择是任意的，一般选择无穷远点。因此上式通常写作 但当带电体本身延伸到无穷远处时，不能选择无穷远点为零势能参考点。

电势：单位正电荷在某点的电势能的值，即 

电势与电场强度一样，描述的是电场本身的性质，与试验电荷无关。这是电势的定义，也是计算电势的第一种方法。

电势差：空间两点之间的电势相减得到的就是两点之间的电势差，即 

电场力做功：电场力做功等于电荷乘以电势的减少值，即  

电场中任一点的电势等于各个点电荷单独存在时对该点形成的电势的代数和，即 

点电荷  对离它距离为  的点产生的电势为 据此可得到带电体系在空间形成的电势。其中，离散的点电荷系的电势为 

电荷连续分布的带电体系的电势为 这是计算电势的第二种方法。

电势是电场强度的积分，但是反过来，如何通过电势得到电场强度呢？

电势  的全微分为 根据矢量的点乘，上式也可以写为 上式即为  ，以无穷远处为电势零点，则任意点  的电势为(订：最后一步积分起点应为a) 而电势的定义为 比较上述两式即得  

因此电场强度是电势的负梯度，电场强度与电势之间是积分和微分的关系。在直角坐标系中表示为 这是计算电场强度的第三种方法。 

等势面：电势相等的点构成的面。一般，电场中相邻等势面的电势差为一常量。这样就导致电场大的地方，等势面较密集，电场小的地方，等势面较稀疏。

等势面与电场线：电场线是从电势高的等势面指向电势低的等势面，等势面与电场线处处正交。

电势为零的点，电场不一定为零，例子：等量异号电荷连线中点。

电场为零的点，电势不一定为零，例子：等量同号电荷连线中点。

电磁学要点(二)：电场中的导体和电介质

导体是指内部有大量可以自由移动的电荷的物质，最典型的导体是金属，其次是电介质的溶液或熔融态。作为一个特例，石墨是良好的导体。除此之外的绝大多数物质一般没有导电性，称之为电介质。

在电场的作用下，导体内的自由电荷发生宏观的定向运动，体内电荷的分布发生重新分布，最终使得导体的两端的表面聚集异号电荷，这种现象称之为静电感应现象。

定义：在外电场的作用下，导体发生静电感应，当电荷的定向运动已经完全停止时，就表示静电感应已经完成，此时的状态称之为静电平衡。

条件：导体达到静电平衡的条件是，导体内部任何一点的电场强度都为零。

性质：导体达到静电平衡的性质：

a. 导体内部电场强度处处为零，导体表面的电场沿法线方向。

b. 导体内部没有净余电荷，所有的电荷都分布在导体的表面上。

c. 导体的电势处处相等，导体是一个等势体。

实心导体：电荷只分布在表面上。

空心导体：若空腔内没有带电体，则电荷只分布在外表面上，若空腔内有带电体，则导体内表面将带与该带电体等量异号的电荷量。

导体表面电荷的面密度与对应位置的曲率半径有关，曲率半径越小，则电荷分布密度越大。

根据高斯定理可知，若导体表面电荷密度为  ，则表面附近的电场强度为 

电荷密度随表面曲率增大而增大，而表面附近的电场又与电荷面密度成正比，这导致尖端物体表面附近具有较强的电场，当形成较大的电压时，导致空气电离，形成尖端放电现象。 

处于静电平衡时，不管导体腔是否接地，腔体外的电场都不对腔体内产生影响；但若要避免腔体内的电场对腔体外的空间产生影响，则导体腔应该接地。

极化现象：在外电场作用下，介质表面或内部的密度不均匀处会出现电荷集聚，使介质具有宏观极性的现象。

极化电荷：电介质内部的电荷不能自由移动，但由于受到电场的作用，构成电介质的分子在局部发生拉伸或者偏转，导致分子的电矩产生有序排列，最终导致介质表面出现的电荷，极化电荷不能自由移动，也叫束缚电荷。

极化类型：没有偶极矩的分子（无极分子）发生正负电荷分离，形成位移极化；而本身具有电矩的分子（有极分子）则会以转动为主，电矩沿外场规则排列，形成取向极化。

极化强度时描述介质极化程度的物理量，定义为介质内单位体积内的电偶极矩的矢量和，先定义平均极化强度如下对上述定义中的  时得到的就是介质内部一点的极化强度。

极化强度在介质表面沿外法线方向的分量等于曲面上的极化电荷的面密度，即
据此得到极化强度高斯定理 即：极化强度对任意闭合曲面的通量等于该曲面内的极化电荷总量的相反数。

介质的极化电荷在介质内部所产生的电场  ，与外场方向相反，反抗外电场的极化作用，称之为退极化场。

退极化场  与外场  一起合成总电场  ，即 且有  ，其中  为相对电容率。电容率  为 相对电容率乘以真空电容率，即在各向同性的电介质中，极化强度满足 

其中  是介质的极化率，定义为  。

电位移矢量  是一个用来方便描述电场的辅助量，定义为 由于在各向同性的介质中  ，故有   

极化电荷  和自由电荷  形成的电场没有任何差别，根据真空中的高斯定理，有 根据极化强度的高斯定理 代入上式中得 故得因此得到介质中的高斯定理为 当介质是各向同性时，高斯定理也可以写成 

电容是带电体或者电容器容纳电荷的能力，符号为  ，单位法拉  。

孤立导体电容： 由分离的两极构成的带电体系，即所谓电容器的电容： 电容器的极板之间有相对电容率为  的介质时，电容  会变为真空时的电容  的  倍，即  这也是电容率这一名词的由来。 

常见的电容的结果，孤立导体和平行板电容器的结果可作为结论直接使用，其他电容器电容结果不需要当作公式记忆。

孤立导体球： 平行班电容器： 球形电容器： 圆柱形电容器： 

孤立导体的的电势是相对无穷远点的，如果将导体看作一极，将无穷远点看作另一极，则孤立导体和电容器的电容的定义一致。球形电容器的外球面如果趋于无穷大，那么电容表达式就变成  ，与孤立导体球的电容一致。

电容器串联的时候，所有的电容器共享一份电荷，但共同分摊全部电压，因此 故得到：   而电容器并联的时候，所有支路的电容器共享同一电压，但分摊总路全部电荷，故 故  

三个等价的公式            

能量密度公式：

能量的计算 积分空间  为电场的全部空间。

电磁学要点(三)：稳恒磁场

电流强度：单位时间穿过导体横截面的电量，即 考察一段导体，如下图所示，其横截面为  ，设载流子的漂移速度为  ，单位体积内的载流子的个数为  ，单个载流子的电荷为  。

位于面  的左侧长为  ，底面积为  的圆柱体内的电荷总量为  ，这些电荷将在接下来的  时间内全部流过  面，故 这是电流强度的微观表达式。

电流密度矢量：单位时间内，穿过与载流子速度垂直的单位面积的电荷量。采用与上类似的分析方法，得它的表达式为 它与电流强度的关系为  ，写成矢量式为 因此，电流强度是电流密度的通量，即 电流的连续性方程：考虑一个闭合曲面，单位时间内，其电流密度的通量即为穿过曲面流出的正电荷的量，根据电荷守恒定律，则曲面内的正电荷必然减少这么多，因此 稳恒电流：导体内任意闭合曲面  内的电荷都维持不变，即 此即基尔霍夫电流定律。

欧姆定律的微分形式：根据欧姆定律  ，通过微元法分析得 其中  为电导率。

非静电力：与静电力的方向相反的某种力  ，正负电荷在它的作用下分别朝电势高和低的方向运动。

非静电场：单位电荷所受到的非静电力，即  。

电源：能提供某种非静电力的装置，据此电路中的电流得以持续，它将其他形式的能量转化为电能。

电动势：单位正电荷在电源内部从负极运动到正极的过程中，非静电力所做的呃功，即 由于电源外部没有非静电力，考虑到有些电路的电源可能遍布电路多处，上式也写成闭合积分的形式，即  

磁场：奥斯特发现，通电导线周围存在磁场，安培提出分子环流假说，天然磁性与电流的磁场的来源都是运动的电荷。也即，运动电荷激发磁场，以传递彼此之间的相互作用。

磁感应强度：描述磁场的力的性质的矢量，大小为带电粒子受到的最大的磁场力除以电荷与速度的乘积，即 方向为点的小磁针的北极指向。

载流导线中的任意一段电流元  在距离它为  的地方产生的磁感应强度为 理论上，一段宏观载流导线在空间一点激发的总磁感应强度为  

一个线圈的面积为  ，若通有电流  ，则它具有的磁矩  为 其中  是面积矢量的单位矢量，与电流成右手螺旋关系。 

无限长载流直导线的磁：方向与电流成右手螺旋关系，大小为 通电圆环圆心的磁场：方向与电流成右手螺旋关系，大小为 无限长直螺线管内部的磁场：大小均匀，方向与轴线平行，与电流成右手螺旋关系，大小为 

根据电流的微观表达式  ，从毕奥-萨法尔定律可以推得，以速度  运动得单个电荷为   ，在相对它的位矢为   处形成的磁感应强度为 

由于磁感应线是闭合曲线，由闭合曲线对与意闭合曲面的空间关系可知，磁感应线对任意闭合曲面的通量恒为零，即 这说明，磁感应线不会在任何点中断——它不是源于某点，也不会消失于某点，所以磁场是无源场。

磁感应强度沿任意闭合路径的积分，等于该闭合路径中穿过的电流的代数和乘以  ，即 上式中的电流求和时，那些与积分环绕方向  成右手螺旋关系的电流取正号，反之则取负号。 

电磁学要点(四)：洛伦兹力与安培力

洛伦兹力是带电粒子因为在磁场中运动而受到的力，表达式为 

根据矢量叉乘的定义，  ，故洛伦兹力总是与粒子的速度垂直，因此洛伦兹力只能改变速度的方向，不能改变速度的大小，洛伦兹力不对带电粒子做功。

带电粒子虽然有质量，但是重力远比电磁力弱，故忽略重力，粒子的运动分三种情形。

a. 静止或匀速运动

当  时，不受洛伦兹力，这包含两种情况：当  静止的电荷不受洛伦兹力，粒子一直静止；当  时，粒子也不受力，做匀速直线运动。

b. 匀速圆周运动

当  时，洛伦兹力取最大值  ，粒子将在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，轨道的半径为 运动周期为 c. 螺旋线运动

当   与  既不平行也不垂直时，洛伦兹力由垂直于磁场的速度  决定，大小为  ，粒子在垂直于磁场的平面内做圆周运动，轨道半径为 同时，粒子在平行于磁场方向做速度为  的匀速直线运动，所以粒子表现为螺旋线运动，螺距为 

现象描述：当通电导体置于磁场中时，在垂直于电流和磁场的方向上的两个表面上会出现电势差，这一现象称之为霍尔效应，该电势差成为霍尔电压，用符号  表示。

理论解释：载流子受到洛伦兹力作用，会沿与磁场和电流方向都垂直的方向偏转，最终使该方向的两个表面上分别聚集正负电荷，如上图所示。若载流子是电子，则电子定向运动的速度方向朝左，电子受到的洛伦兹力方向朝内侧，导致导体内侧面电势低于外侧面电势。若载流子是正电荷，则载流子也将向内侧表面聚集，导致导体内侧面电势高于外侧面电势。

霍尔电压：当内外两侧之间形成电场时，载流子会受到与洛伦兹力方向相反的电场力，当二者大小相等，即 时，载流子不再偏转，两侧之间的电势差维持恒定值  ，称之为霍尔电压。如上图所示，内外侧间距为  ，沿磁场方向的厚度为  ，则 电流强度与载流子速度的关系  得 得 定义 为霍尔系数。

安培力即磁场中载流导线所受到的磁场作用力，其微分表达式为 根据力的叠加原理，任意形状的通电导体所受到的安培力为 一个有用的推论：若磁场均匀，则任意形状的通电导线受到的安培力总可以按照下式计算 其中  是只从电流的流入点指向流出点的有向线段。

都知道，洛伦兹力不做功，而安培力是洛伦兹力的一种集体作用，本质上也是洛伦兹力，为什么安培力却又能做功呢？可参考本公众号文章“安培力为什么可以做功？”

a. 磁力

均匀磁场中，任意形状的通电回路所受安培力为 

很显然 故均匀磁场中的任意电流回路受到的安培力为零。非均匀磁场中，通电导线框受力不为零，但比较复杂，此处不表。

其实这个结论亦可从前面提到的那个推论得到。另外要注意两种曲线积分的差别，如果是微元线段的积分，则结果是曲线总长；但这里是矢量微元的积分，首尾相连构成矢量环的全部矢量之和为零，所以结果是零。

b. 磁力矩

线框的具有大小和形状，它的运动规律应该由力矩决定，通过分析矩形线框的四个边在均匀磁场中的受力，得到其所受力矩为 

置于均匀磁场中的载流回路，磁力矩对其做功的规律为 若电流保持不变，则可写为  。

电磁学要点(五)：磁介质

磁介质定义：受到外磁场的作用，能对空间的磁场产生影响的物质，具体讲就是叠加了磁介质的附加磁场，从而使总磁场发生变化。

设外场为  ，介质产生的附加磁场为  ，则总磁感应强度为 在各向同性的磁介质中  ，其中  称之为相对磁导率。

磁介质分类

顺磁质：  但非常接近  ， 附加磁场与外场同向，   略大于  。

抗磁质：  但非常接近  ， 附加磁场与外场反向，   略小于  。

铁磁质：  且不是常数，随外场的大小变化而变化，  远大于  。

完全抗磁质：  ，即超导体，体内附加磁场与外场等大反向。

磁化的形成机理

顺磁性：磁介质的分子内部的电子的轨道磁矩和自旋磁矩之和叫固有磁矩，固有磁矩受外场作用，具有势能，当它的方向与外场同向时，势能最小，因此分子的磁矩会尽量整齐排列，这导致了一个与外场同向的附加磁场。

抗磁性：磁介质分子中的每一个电子的轨道和自旋角动量在外磁场作用下都会产生一个进动，且该进动所对应的磁矩总是与外磁场方向相反，这导致了一个与外场反向的附加磁场。

铁磁性：一些特殊的材料，例如铁、钴、镍及一些合金和氧化物，其内部存在一个个小的自发磁化区，区域内的电子的自旋磁矩同向，称之为磁畴。在外场的作用下，磁畴同向排布产生磁性。

抗磁性是普遍的，但如果磁介质的分子的固有磁矩不为零，则顺磁性远大于抗磁性，因此磁介质表现为顺磁质，否则就是抗磁质。

磁化强度：无论是顺磁质还是抗磁质，磁化后 ，其内部的分子的磁矩之和都不为零，定义磁化强度为 

磁化电流：磁介质表面上，由经过表面的分子环流拼接而成的电流，也叫束缚电流。它不是载流子的定向运动导致的，但与载流子的真实电流（自由电流）等效的产生磁场。

磁化强度的安培环路定理：磁介质内部，磁化强度对任意闭合回路的积分等于回路内穿过的磁化电流的代数和，表达式为 实验表明，各向同性的磁介质中，磁化强度与磁感应强度有如下关系 

定义磁场强度为 对各向同性的磁介质，代入磁化强度和磁感应强度的线性关系，得 和
上面式中，  ，是介质的磁导率，  ，为磁化率。

考虑束缚电流  和自由电流  后，安培环路定理为 代入磁化强度的安培环路定理，得 即 这就是磁介质中的磁场的安培环路定理，如果是各向同性的磁介质，也可以写成  

磁介质的附加磁场与真空中的磁场一样，磁感应线都是闭合的，对任意闭合曲面的通量为零，因此高斯定理与真空中的形式一致，即 

电磁学要点(六)：电磁感应

闭合回路中的磁通量发生变化时，在闭合回路上所产生的感应电动势与磁通量的变化率成正比，符号相反，即 其中  为回路的磁通量，若线圈的匝数为  ，定义磁链  ，则注意理解式中负号的含义，当选择了回路的正方向时，也选择了面积的正方向，这样就能得到磁通量的变化情况，从而得出  的值，若它为负，则表示电动势的方向与选择的环路的正方向相反，反之就与所选择的环路正方向相同。

高中所学的楞次定律是一种定性的描述，是能量守恒定律的一种体现，现在通过负号的形式包含在法拉第电磁感应定律中。

由于导体的运动导致磁通量的变化，从而所引起电磁感应现象，所产生的电动势叫动生电动势，包含切割磁力线，回路的形变，回路移动等多种情况，服从法拉第电磁感应定律。

如果是一段导体运动，则计算公式为  如果是闭合回路的运动，则计算公式为 注意上式中的积分的环绕方向，即选定的  的方向，是电动势方向判断的标准，如果  ，则电动势的方向和  一致，否则相反。 

如果是线框在磁场中转动，设线框面积为  ，匝数为  ，角速度为  ，可推得电动势为 

动生电动势公式的由来：根据电动势的定义，任何电动势必须是某种非静电场将单位正电荷从负极移到正极的过程中所作的功，即 分析发现候选力只有洛伦兹力，因此非静电场为 代入即得到动生电动势的计算公式。

当导体保持不变而磁场变化，导致磁通量变化引起电磁感应，其电动势叫做感生电动势，根据法拉第电磁感应定律，有而另一方面，根据电动势的定义，必然存在一种非静电场  满足 这种场是什么？麦克斯韦提出它是一种所谓感生电场  ，因此   是以  为边界的曲面，上式正是斯托克斯公式。麦克斯韦严谨的数学物理思想使他提出了感生电场——一种不由电荷激发的新的电场，它提供了非静电力，形成电动势。