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阵列输出的绝对值与来波方向之间的关系称为天线的方向图。方向图一般有两类：一类是阵列输出的直接相加（不考虑信号及其来向），即静态方向图；另一类是带指向的方向图（考虑信号指向），当然信号的指向是通过控制加权的相位来实现的。

对于某一确定的  元空间阵列，在忽略噪声的条件下，第  个阵元的复振幅为 

式中  为来波的复振幅，  为第  个阵元与参考点之间的延迟。设第  个阵元的权值为  ，那么所有阵元加权的输出相加得到阵列的输出为 

对上式取绝对值并归一化后可得到空间阵列的方向图  为 

如果式中  ，上式即为静态方向图  。下面考虑空间谱估计中经常碰到的几种阵列的方向图。

均匀线阵

假设均匀线阵的间距为  ，且以最左边的阵元为参考点（最左边的阵元位于原点)，另假设信号入射方位角为  ，其中方位角表示与线阵法线方向的夹角，则 

则式阵列的输出可简化为 

式中  ，  为入射信号的波长。当阵元的权值  时 

可得均匀线阵的静态方向图 

当式阵元的权值  ，  时，则 

于是可得指向为  的阵列方向图 

由上面分析可知，静态方向图其实就是指向为  时的阵列方向图。正是因为  ，所以有  ，即  。

下图给出了  阵元的均匀线阵的方向图，阵元间距为半波长。其中图一为静态方向图，图二为指向为  的方向图。

平面阵

假设这个平面阵是在水平面放置的矩形阵，由  个阵元组成，几何关系如下图。

以阵列的左上角的阵元为参考点，  轴上有  个间距为  的均匀线阵，  轴上有  个间距为  的均匀线阵，假设信号入射方位角为  ，俯仰角为  ，其中方位角表示与  轴的夹角，信号入射到第  个阵元上引起的与参考阵元间的时延为 

如果这个平面阵是竖立放置，阵列的几何关系如下图。

即这个阵列是放置在  平面。则信号入射到第  个阵元上引起的与参考阵元间的时延（  ）为 

因此，  ，  时的水平面放置的平面阵的方向图为 

即平面阵的方向图相当于合成行子阵（平行于  方向）方向图  与合成列子阵（平行于  方向）方向图  的乘积。

而  ，  时的竖面放置的平面阵的方向图为 

上式表明竖面放置平面阵的方向图相当于合成行子阵（平行于  方向）与合成列子阵（平行于  方向）方向图的乘积。

下图中，图一给出的是  的水平放置方阵的方向图，图二给出的是  的竖面放置方阵的方向图，其中波束指向  ，  。

均匀圆阵

假设均匀圆阵由  个阵元组成，以均匀圆阵的圆心为参考点，设圆的半径为  。如果圆阵是水平放置，则信号入射到第  个阵元上引起的与参考阵元间的时延（  ）为 

因此，  ，  时的方向图为 

下图给出的是水平放置均匀圆阵的方向图，圆阵的阵元数为  ，阵元间距为半波长（均匀圆阵的半径为  波长)，其中波束指向  ，  。

波束宽度

在 DOA 估计中，线阵的测向范围为  ，而一般的面阵如圆阵的测向范围为  。为了说明波束宽度，下面只考虑线阵。由前面可知，  个均匀线阵的静态方向图为 

式中，空间频率  。则对于天线静态方向图主瓣的零点，由  可得零点波束宽度  为 

而由  ，可得到半功率点波束宽度  ，在  的条件下有 

下图是  元均匀线阵的方向图，阵元间距为半波长，从图中可以很清楚地了解半功率点波束宽度与零点波束宽度之间的区别。

实际中一般考虑的是静态方向图的半功率点波束宽度，即对于均匀线阵而言，波束宽度为 

式中，  为天线的有效孔径，  为信号的波长，  表示弧度单位。对于  阵元的等距均匀线阵，阵元间距为  ，则天线的有效孔径为  ，所以对于均匀线（  ）阵，阵列的波束宽度的近似计算公式为 

注：

• 波束宽度与天线孔径成反比，一般情况下天线的半功率点波束宽度与天线孔径之间有如下关系： 

• 对于某些阵列（如线阵），天线的波束宽度与波束指向有关系，如波束指向为  时，均匀线阵的波束宽度为 

• 波束宽度越窄，阵列的指向性越好，也就说明阵列分辨空间信号的能力越强。
  

空时等效性

对于空间阵列中按位置放置的一系列阵元，在窄带远场信号的假设下，任两阵元接收信号的时间差为 

式中，  ，表示阵元间距为半波长，  为阵元间距。而时域处理中各采样点之间的时间差即为采样间隔 

式中，  为采样频率。

由以上两式可以清楚地知道空时信号处理之间的区别，即空域处理的时间差与角度有关（阵元的位置相当于对空间的采样），而时域处理中的时间差则是一个常数（时间差即等于采样频率的倒数）。

需要注意的是，对于固定的角度，  是一个常量，相当于时间为  的采样，只不过采样数目等于阵元数。所以前面所述的天线的方向图就相当于时域的傅里叶变换，所不同的就是频率，即加权的方向图就相当时域加权的傅里叶变换。

下表直接给出空域信号与时序信号之间的对应关系

对上表需要说明的是，时域的分辨力正比于观察长度（时域的采样数可以很大)，但空间阵列的阵元数（即空间采样）是有限的，所以空域的分辨力正比于阵列孔径，这也是空时之间的一个差别。

由上面阵列方向图论述可知，一个阵列经过加权求和后，可以将阵列接收的方向增益聚焦在一个方向上，相当于形成一个波束。

下图是自适应波束形成的原理图。自适应信号处理器的作用在于：根据空间阵列的输入信号及输出信号自适应形成权矢量，不同的权矢量可以将形成的波束指向不同的方向，对期望信号得到最大输出功率的方向就是信号入射方向。

波束形成的最优权

假设空间存在  个阵元组成的阵列，阵元的接收信号矢量为  ，各阵元的权矢量

阵列的输出为

则整个阵列输出的平均功率为

如果上式中  ，那么它就是常规波束形成（CBF）算法，即

我们的目的是保证来自某个确定方向  的信号能正确接收，而其他入射方向的信号或干扰被完全抑制。

用数学表示就是，在保证所需方向的信号输出为一常数的条件下，使阵列的输出功率极小化，即

可以用拉格朗日常数法求解上式。令目标函数为

上述目标函数对  求导，并令其为零，可以得出最优权矢量

再利用  可以得出常数

波束形成与线性预测之间的关系

为了比较波束形成与线性预测之间的关系，我们先将上面的自适应波束形成器改成下图所示。

图中的  为期望信号，权值计算的算法采用最小均方误差准则。于是，期望信号与阵列输出信号之差为

对于相互独立的零均值平稳信号，统计平均值为

式中，  ，  分别为阵列信号与期望信号的互相关矢量和阵列信号的自相关矩阵。式中对  求导并令其为零，可求出最小均方意义上的权矢量  如下

假设只有  时的信号与期望信号相关，而与其他信号和噪声相互独立，则有

其中，  为一常数。所以

该式说明，按照主瓣约束求出的最优权  与最小均方误差求出的最优权  形式完全一样，不同的只是前面的常数。

结合上面的说明，波束形成与线性预测存在一定的关系：在输出方向预测滤波器的输出式和波束形成器的输出式，两者都相当于某延迟点的加权求和，一个是时域延迟，一个是空域延迟；

在求解误差方面，预测滤波器是求预测值与实际值的误差，而波束形成是关于输出值与期望信号之间的误差；两者的共同之处都是通过误差来求解滤波器。

最优约束的谱曲线

通过上面的分析知道，当波束形成的最优权矢量  的形式为

则阵列的输出功率为

但在实际应用中由于不能确切知道信号的来向  ，所以只能通过扫描得到谱曲线

该式就是著名的极大似然谱估计或最大似然谱估计，也称为最小方差法（MVM）。

注意：

• 上式虽被称为极大似然谱估计，但不是严格意义上的似然估计

• MVM 算法的谱曲线表示的是功率
  

• MVM 算法除了在谱估计中的应用外，在其他领域也有广泛的应用空间，如空时二维自适应处理（STAP）、SAR等。

线性预测（LP）是时间序列分析中常用的一种方法，它利用一系列已知的静态离散随机过程的采样数据，预测将来或过去的数据。预测将来的数据通常称为前向预测，而预测过去的数据通常称为后向预测。

1967 年 Burg 成功地将 LP 算法应用到谱估计领域用于估计信号的入射方向，这就是著名的最大熵算法（MEM）。由于 MEM 算法成功地突破了瑞利限的限制，得到了广泛的应用。

线性预测的基本原理

线性预测是根据已知时间序列估计将来或过去的时间序列方法，它是借助于预测滤波器和预测误差滤波器来实现的。

预测滤波器的作用是预测所需要的时间序列的值，预测误差滤波器的作用是根据实际值与预测值之间的误差来调节预测滤波器的权值。

下图是一个一阶前向预测滤波器及预测误差滤波器的系统框图。

对于一个  点时间序列  ，它是一个  维矢量，如果  利用的后  点已知数据估计  ，就是前向预测，预测值设为  ；

反之，如果利用  的前  点已知数据估计  ，就是后向预测，预测值设为  。另外，假设前向预测的  维权矢量为  ，后向预测的  维权矢量为  ，则对于前向预测有下式成立

式中，  。而对于后向预测有下式成立 

式中，  。

则可以用 Yule-Walker 方程求解权矢量  和  即 

其中，数据的自相关矩阵  和互相关矢量  分别为

则可得 

式中，  为  阶交换矩阵。令  ，即

可推出权矢量  和  之间的关系如下

又因为  是一个共轭对称的 Toeplitz 矩阵，所以满足  。这也说明，前向预测权矢量与后向预测权矢量的关系为

可知前后向的预测误差分别为

即可得预测误差的功率为

则可以得到如下两个等式

式中，  表示维由  组成的矢量。显然，可以用 Levinson-Durbin 算法对上两式进行求解，从而得到预测滤波器的权矢量。

对于前向预测算法而言，其权矢量可变为

该式表明，预测矩阵  的权矢量为  ，其第一个元素为  ，而其他元素为  。

同理对于后向预测算法而言，其权矢量可变为

由上述分析可知，时域线性预测是一个有关求权值的问题。

对线性预测原理不太了解的小伙伴建议可以先看看#线性预测算法#和#波束形成的最佳权矢量#，以更好的理解文章相关内容。

前面已提到线性预测是一个有关求权值的问题，且空间各阵元对应预测滤波器中的各延迟节点，各点间的延迟对应空域中两相邻阵元的间距。

由前面知识可知：空域中线性预测的方向图可以表示为

定义如下的方向函数：

式中的权矢量也可以构成如下的一个多项式：

对于线性预测，式中的  。对于 DOA 估计除了用谱峰搜索外，还可以用该式的求根算法来计算。它有  个根，其中有  个根位于单位圆上，即信号零点，其余的落在单位圆内。

在每一个算法之后都会进行响应的仿真，仿真阵元数  ，阵元间距为波长的一半，  个信号分别从  方向入射，快拍数目  。

前向预测算法

前向预测是利用  来估计  。前面已经提到时域中的延迟节点与空间的阵元存在一一对应，即对于  个阵元的均匀线阵，空域中的前向预测就是利用前  个阵元的数据来估计第  个阵元的数据。

假设第  个阵元的输出数据为

式中，  。另假设由  次快拍数据组成的数据矢量表示为  ，即

利用前向线性预测的方法可得

若简记  ，则

两边取共轭，然后用  左乘可得到：

令  ，  ，则

可得前向预测的权矢量心

根据上式得到的前向预测权矢量可以方便地得到前向预测的空间谱估计算法为

后向预测算法

后向预测是利用  来估计  。同样将空域与时域中前向预测的关系应用到空域中的后向预测，可得空域中的后向预测就是利用  个空域阵元中后  个阵元数据来估计第  个阵元，则可以得到：

同样令  ，则

两边取共轭，然后用  左乘可得到：

令  ，  ，则

可得前向预测的权矢量心

根据上式得到的前向预测权矢量可以方便地得到前向预测的空间谱估计算法为

双向预测算法

将前向和后向预测算法进行组合，即可得到双向预测算法：

同样，定义

则

将上式两边取共轭，然后用  左乘可得到

令  ，等式右边为  ，则

由上式可得双向预测的权矢量

则双向预测权矢量可以方便地得到双向预测的空间谱估计

多阶线性预测算法

由前面分析可知，前向预测、后向预测及前后向预测算法都是使空域数据通过一个滤波器阶数为  的预测滤波，这里为了方便，简记为  阶线性预测。

如果使空域数据通过  阶的预测滤波器（即为  阶线性预测），就是多阶线性预测算法。在讨论多阶线性算法之前，我们先分析  阶线性预测各算法之间的关系。

假设回波空域数据矢量及矩阵分别为

由  阶前向预测可知

式中，  为  的置换矩阵，所以，前向预测矩阵

又因为前面提到的前向预测矢量

可得式中的  就是矩阵  的前  行及前  列组成的一个子阵，而  则是矩阵  的第  列前  行元素组成的一个矢量。同样根据  及  的定义可知，  是矩阵  的后  行及后  列组成的一个子阵，而  则是矩阵  的第  列后  行元素组成的一个矢量。下图是它们之间的相互关系图。

根据上图所示的关系，我们很容易将一阶线性预测推广到多阶线性预测。下面考虑  阶线性预测，即滤波器维数  ，则前向预测为

即

将上式两边取共轭，然后用  左乘，简化可得到

其中

式中，  表示矩阵  的第  行到第  行及第  列到第  列，  表示矩阵  的第  列及第  行到第  行。算法的内在关系见下图（注意图中没有利用原协方差矩阵的最后一行信息)。

同理可以得到  阶后向预测为

即

将上式两边取共轭，然后用  左乘，简化可得到

其中

式中，  表示矩阵  的第  行到第  行及第  列到第  列，  表示矩阵  的第  列及第  行到第  行。算法的内在关系见下图（注意图中没有利用原协方差矩阵的最后一行信息)。

前面分析了一阶单向线性预测与多阶单向线性预测之间的关系，下面分析一阶前后向预测算法。已知一阶前后向预测矩阵

而一阶双向预测矢量

同样，可以将之推广到  阶双向线性预测

可将上式化简为

其中

当然，多阶线性预测算法同一阶线性预测算法一样也需要进行谱峰搜索，所不同的就是权值（需要特别注意搜索导向矢量的维数）。另外，通过上述对多阶线性预测的分析可以发现：

• 多阶单向线性预测矩阵相当于空间平滑修正的矩阵，而多阶双向线性预测矩阵则相当于双向空间平滑修正后的矩阵，所以多阶线性预测及二阶双向预测能够估计相干信号源；

• 在预测矩阵维数大于信号源数的情况下，估计相干信号源的数目取决于预测的阶数，但注意到  阶线性预测与  次空间平滑具有相同的解相干效果（指解相干源数）；

• 线性预测解相干也是以牺牲阵列孔径为代价，线性预测没有充分利用。原阵列协方差矩阵的对角子阵信息，却部分利用了互相关矢量信息，而空间平滑算法侧充分利用了对角子阵信息，却没有利用互相关子阵及矢量信息。

• － The End －

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