来源 | 雷达信号处理matlab

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噪声环境下的信号检测

对雷达接收信号进行正交双路匹配滤波、平方律检波和判决的简化框图如下图所示。假设雷达接收机的输入信号由目标回波信号  和均值为零、方差为  的加性高斯白噪声  组成，且噪声与信号不相关。

匹配滤波器的输出信号可以表示为

其中，  是雷达的工作频率；  是  的包络；  是  的相位；下标  、  对应的  和  分别称为同相分量和正交分量。

匹配滤波器的输出是复随机变量，其组成或者只有噪声，或者是噪声加上目标回波信号（幅度为  的正弦波）。对应只有噪声情况的同相和正交分量为

对应噪声加上目标回波信号情况的同相和正交分量为

其中，噪声的同相和正交分量  和  是不相关的零均值低通髙斯噪声，具有相同的方差  。这两个随机变量和的联合概率密度函数（pdf）为

随机变量  和  的联合概率密度为

其中，  为 Jacobian （即导数矩阵的行列式），

在这种情况下，

则

将上式对  积分得到包络  的概率密度为

式中  为修正的第一类零阶贝塞尔函数

这里  。对  积分得到包络  的概率密度是 Rice 概率密度函数。如果  （只有噪声），则为 Rayleigh 概率密度函数，

当  很大时，包络  的 pdf 变为均值为  、方差为  的 Gaussian 概率密度函数，

对  积分得到随机变量  的 pdf 为

其中

为标准正态分布函数。

当只有噪声（  ）时，  简化为  区间的均匀分布的概率密度。

虚警概率

虚警概率  定义为当雷达接收信号中只有噪声时，信号的包络  超过门限电压  的概率。根据包络的概率密度函数，虚警概率的计算为

其中，  称为标准门限，即噪声功率归一化门限电压。

上述公式反映了门限电压  与虚警概率  之间的关系。下图给出了虚警概率与归一化检测门限的关系曲线。从图中可以明显看出，  对门限值的微小变化非常敏感。

虚警时间  是指发生虚警的平均时间，它与虚警概率的关系为

其中，  表示雷达的积累时间，或包络检波器的输出超过门限电压的平均时间。因为雷达的工作带宽  是  的逆，所以可以将写为

使虚警时间最小意味着增加门限值，导致雷达的最大检测距离会减小。因此，  的选取依赖于雷达的工作模式。

表征虚警的大小有时还用虚警次数  ，它表示在平均虚警时间内所有可能出现的虚警总数。Fehlner 将虚警次数定义为

Marcum 将虚警次数定义为  的倒数，即  。

检测概率

检测概率  是在噪声加信号的情况下信号的包络  超过门限电压  的概率，即目标被检测到的概率。根据包络的概率密度函数，计算检测概率  为

如果假设雷达信号是幅度为  的正弦波形  ，那么它的功率为  。将单个脉冲的信噪比  和  代入上式，得

  称为 Marcum   函数。Marcum   函数的积分非常复杂，Parl 开发了一个简单的算法来计算这个积分

对于  ，上式的递归是连续计算的，直到  。该算法的准确度随  值的增大而提高。

下图给出了在不同虚警概率  情况下，检测概率  与单个脉冲 SNR 之间的关系曲线。在实际中通常根据给定的  和  ，由此曲线得到单个脉冲 SNR 的门限。

为了避免检测概率计算中的数值积分，简化  的计算，North 提出了一个非常准确的近似计算公式

其中，余误差函数为

由上述式子可得出对于给定的  和  所要求的单个脉冲最小信噪比 SNR，即

当较小  、  相对较大，从而门限也较大时，DiFranco 和 Rubin 也给出了近似式

其中，  为标准正太分布。

Parl 算法计算单个脉冲检测概率的过程如下图所示，调用该函数即可得到相应的检测概率。

－ The End －

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