麦克斯韦方程、洛伦兹变换及近似（工程视角）

云脑智库 2022-01-29 00:00

年终搞个特价示波器奖励员工？ 精密双向电流感应放大器设计方案

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1. 洛伦兹变换

假设地面上有个火车以速度 $u$ 在运行，有个人在火车上往远处一个固定目标打手电，光以 $c$ 的速度往前传播。地面坐标系 $S(x,y,z,t)$ ，火车坐标系 $S\\\\'(x\\\\',y\\\\',z\\\\',t)$ ，根据相对性原理和光速不变，我们有

$x’=M(x,t,v,c),quad x=M(x’,t’,-v,c)$

$t’=L(x,t,v,c),quad t=L(x’,t’,-v,c)$

所以 $L,M$ 应是线性变换。假设火车速度方向沿着 $x$ 或 $x\\\\'$ 坐标轴方向，则 $y’=y,,z’=z$

$x’=a_1x+a_2t quad(1)$

$t’=b_1x+b_2t quad (2)$

对于 $S\\\\'$ 坐标系原点 $x’=0$ ，在 $S$ 坐标系的位置 $x=ut$ ，公式 (1) 变成

$0=a_1ut+a_2t,quad a_2=-a_1u$

$x’=a_1(x-ut)quad (3)$

对 $S$ 坐标系，光传播距离 $ct=sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ；对 $S\\\\'$ 坐标系光传播距离 $ct’=sqrt{x’^2+y’^2+z’^2}$ 。根据上面的间隔不变性，考虑到 $y=y\\\\', , z=z’$

$x^2-c^2t^2=x’^2-c^2t’^2quad (4)$

上面 (4) 对任意 $x,,t$ 都要成立，于是得到

$a_1^2u^2-c^2b_2^2=-c^2$

$a_1^2u+c^2b_1b_2=0$

$a_1^2-c^2b_1^2=1$

可求出

$a_1=b_2=gamma$

$b_1=-gamma u/c^2$

这里， $gamma=rac{1}{sqrt{1-(u/c)^2}}=rac{1}{sqrt{1-eta^2}}$

得到变换

$x’=gamma (x-ut)quad (5)$

$t’=gamma(t-ux/c^2) quad (6)$

如果速度 $f{u}$ 沿着任意方向，则可以将 $f{r}$ 分解成平行 $f{u}$ 和垂直 $f{u}$ 方向，即

$mathbf{r}_v\\\\'=mathbf{r}_v$

$mathbf{r}_p’=gamma (mathbf{r}_p-ut)$

$t’=gamma(t-mathbf{u}cdotmathbf{r}_p/c^2)$

根据简单的投影关系

$mathbf{r}_p=(mathbf{r}cdot mathbf{u})mathbf{u}/u^2$

$mathbf{r}_v=mathbf{r}-(mathbf{r}cdot mathbf{u})mathbf{u}/u^2$

所以广义洛伦兹变换，可写为

$mathbf{r}’=mathbf{r}-gamma mathbf{u}t+(gamma-1) (mathbf{r}cdot mathbf{u})mathbf{u}/u^2$

$t’=gamma t-gamma (mathbf{r}cdot mathbf{u})/c^2$

根据相对性原理

$mathbf{r}=mathbf{r}\\\\'+gamma mathbf{u}t\\\\'+(gamma-1) (mathbf{r}\\\\'cdot mathbf{u})mathbf{u}/u^2quad (7)$

$t=gamma t\\\\'+gamma (mathbf{r}\\\\'cdot mathbf{u})/c^2quad (8)$

公式(7-8)，Jackson经典电动力学可以发现，和J A Kong 教授1970年论文【Interactionof Acoustic Waves with Moving Media, The Journal of the Acoustical Society ofAmerica 48: 236, 1970】中的公式3一致。

2. 麦克斯韦方程组的洛伦兹协变性

在洛伦兹变换下，maxwell方程的形式保持不变，即麦克斯韦方程组满足洛伦兹协变性。可用微分变换法证明，为了简单，以速度沿着 $x(x’)$ 坐标轴为例，利用公式 (5-6)：

$rac{partial}{partial x}= rac{partial} {partial x’} rac{partial x’}{partial x} +rac{partial}{partial t’} rac{partial t’}{partial x}=gamma(rac{partial}{partial x\\\\'}-rac{u}{c^2}rac{partial}{partial t\\\\'}) quad (9)$

$rac{partial}{partial y}=rac{partial}{partial y\\\\'},,rac{partial}{partial z}=rac{partial}{partial z\\\\'}quad (10)$

$rac{partial} {partial t}= rac{partial} {partial t’}rac{partial t’}{partial t} +rac{partial} {partial x’}rac{partial x’}{partial t}=gamma(rac{partial} {partial t’}-u rac{partial} {partial x’})quad (11)$

利用(9-11)，以自由空间麦克斯韦方程组为例，电场对应的高斯定理变换为：

$gamma rac{partial E_x}{partial x\\\\'}-gammarac{u}{c^2} rac{partial E_x}{partial t\\\\'}+rac{partial E_y}{partial y\\\\'}+rac{partial E_z}{partial z\\\\'}=rac{ ho}{epsilon_0}quad (12)$

广义安培定理，以 $x$ 分量为例，变换为

$rac{partial B_z}{partial y\\\\'}-rac{partial B_y}{partial z\\\\'}=mu_0 J_x+rac{gamma}{c^2}rac{partial E_x}{partial t\\\\'}-rac{gamma u}{c^2}rac{partial E_x}{partial x\\\\'} quad (13)$

将 (13) 代入 (12)，消去 (12) 中对时间 $t\\\\'$ 偏导，整理后得

$rac{partial [E_x]}{partial x\\\\'}+rac{partial [gamma (E_y-uB_z)]}{partial y\\\\'}+rac{partial [gamma (E_z+uB_y)]}{partial z\\\\'}=rac{[gamma( ho-rac{u}{c^2}J_x)]}{epsilon_0}quad (14)$

将公式 (14) 中括号[ ]里面的表达式分别替换成 $E\\\\'_x,,E\\\\'_y,,E\\\\'_z,, ho\\\\'$ ，则电场高斯定理保持形式不变，即 $ abla\\\\'cdot mathbf{E\\\\'}=rac{ ho\\\\'}{epsilon_0}$

用同样方法，如果将 (12) 带入 (13)，消去 (13) 中对 $x\\\\'$ 偏导，整理后得

$rac{partial [gamma (B_z-rac{u}{c^2}E_y)]}{partial y\\\\'}-rac{partial [gamma (B_y+rac{u}{c^2}E_z)]}{partial z\\\\'}=mu_0[gamma(J_x-u ho)]+rac{1}{c^2}rac{partial [E_x]}{partial t\\\\'}quad (15)$

将公式 (15) 中括号[ ]里面的表达式分别替换成 $B\\\\'_z,,,B\\\\'_y,,J\\\\'_x,,E\\\\'_x$ ，则广义安培定理保持形式不变。用同样的方法，可以证明，洛伦兹变换后麦克斯韦的形式保持不变。（大家可以推推看）

$ abla\\\\'cdot mathbf{E\\\\'}=rac{ ho\\\\'}{epsilon_0}$

$ abla\\\\' imes mathbf{B\\\\'}=rac{1}{c^2}rac{partial mathbf{E\\\\'}}{partial t\\\\'}+mu_0mathbf{J\\\\'}$

$ abla\\\\'cdot mathbf{B\\\\'}=0$

$ abla\\\\' imes mathbf{E\\\\'}=-rac{partial mathbf{B\\\\'}}{partial t\\\\'}$

3. 洛伦兹变换的近似

根据J A Kong教授的分析，如果 $u$ 相比 $v$ 远远小（ $gammaapprox1$ ），同时 $r\\\\'$ 很小（注意是两个条件，而不是仅仅一个低速近似），洛伦兹变换 (7-8) 可近似成伽利略变换

$mathbf{r}=mathbf{r’}+mathbf{u}t\\\\',quad t=t\\\\'quad (16)$

对于伽利略变换，空间和时间算符，由微分变换方法得

$ abla’= abla,quad rac{partial}{partial t’}=rac{partial}{partial t}+mathbf{u}cdot abla quad (17)$

更好的一个近似条件，是仅仅用低速近似，得到1阶近似的洛伦兹变换

$mathbf{r}=mathbf{r’}+mathbf{u}t\\\\',quad t=t\\\\'+(mathbf{r}\\\\'cdot mathbf{u})/c^2quad (18)$

再次利用微分变换得

$ abla’= abla+rac{mathbf{u}}{c^2}rac{partial}{partial t},quad rac{partial}{partial t’}=rac{partial}{partial t}+mathbf{u}cdot abla quad (19)$

和伽利略变换不同，空间导数的变换含有时间导数，时间导数的变换也含有空间导数，更好诠释了时空统一的相对论精神。但上述两种近似，麦克斯韦方程的形式会变化。

接下来证明，公式 (19) 两个变换的第二项相对于第一项的量级一致，采用平面波近似分析（此处不确定是否正确），

$ ablaapprox jk,quad u/c^2 partial/partial t= u/c^2 jomega= eta (jk) quad (20)$

$partial/partial t= jomega,quad mathbf{u} cdot abla approx u jk=eta(jomega) quad (21)$

可以看出第二项相比第一项，量级小 $eta=u/c$ 倍。

4. 写在最后的话

洛伦兹变换无论是数学的严格性，还是物理的对称性，都是无可替代的。但这并不代表近似的洛伦兹变换形式，在工程应用上没有意义。我们需要回答：（1）近似形式导出的方程是否具有工程收益？从计算电磁的角度，与求解严格的洛伦兹形式相比，近似形式的数值精度能否满足工程需求？计算时间、内存、编程难度是否具有优势？（2）近似形式的应用场景和工程边界在哪里？

我在港大做博士后的时候，最大的收益之一就是坑坑巴巴读了费曼的物理学讲义，但当时相对论章节是直接跳过的。而这次趁着学术界大讨论的时机，也算Push自己，学习下相关内容。上述的推导或观点若有错误，欢迎批评指正。

我们国家科技发展的一个问题，就是从物理到工程最后到产品，转换的时间相比欧美国家相对慢。因此物理学家和工程学家，更多的是要彼此尊重、欣赏，更重要的是“合作”。最后，用爱因斯坦的一句话来结束本文， “Scientists investigate that which already is; Engineers create that which has never been”。

——————————————————

上述绝大多数推导，并非原创。来自朗道、Jackson、J A Kong的论著，及以下文章链接。

简单推导洛伦兹变换（狭义相对论）

https://zhuanlan.zhihu.com/p/105732091?utm_source=wechat_timeline&ivk_sa=1024320u

洛伦兹变换

https://wenku.baidu.com/view/741651ed0975f46527d3e180.html

https://wuli.wiki/online/SRLrtz.html

洛伦兹变换公式的详细推导

https://blog.sciencenet.cn/blog-583426-780098.html

麦克斯韦方程组洛伦兹协变性的两种证明方法

https://wenku.baidu.com/view/17cc149ea65177232f60ddccda38376bae1fe08f.html

————————————————

J A Kong教授的博士生的博士后

2022年1月18日

－ The End －

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