如何使用sinc滤波器对∑-∆编码数据进行解调？

本文介绍在电机控制应用中，使用sinc滤波器对∑-∆编码数据进行解调。然后，详细探讨了sinc滤波器和控制算法同步的不同方法。

电机驱动器制造商不断提高其产品的性能和鲁棒性。一些改进是通过采用更先进的控制算法和更高的计算能力实现的。其他改进则通过最小化反馈电路中的非理想效应来实现，比如延迟、倾斜和温度漂移。

就电机控制算法的反馈而言，最关键的部分是相电流的测量。随着控制性能提高，系统对时序精度、偏移/增益误差、多反馈通道的同步等非理想效应越来越敏感。多年来，半导体公司一直致力于减少反馈信号链中的这些非理想效应，而且这种趋势很可能会持续下去。ADuM7701就是为测量相电流而优化的最新一代隔离式∑-∆ADC示例。虽然ADC的性能很重要，但也很可能在反馈路径的其余部分造成非理想效应。本文不考虑ADC，主要讨论反馈路径的其余部分。虽然本文着重介绍电机控制应用，但它也适用于任何需要∑-∆ADC紧密同步的其他系统。

使用∑-∆ADC时的典型信号链如图1所示。模拟输入电压通过让相电流通过一个电阻分流器来产生。∑-∆ADC将模拟信号转换成1位数据流，并提供电气隔离，因此ADC之后的一切都与电机相电位隔离。转换器之后是通过滤波方式执行的解调。该滤波器将1位信号转换为多位（M位）信号，并通过抽取过程降低数据更新速率。虽然滤波器抽取降低了数据速率，但速率通常仍然过高，无法匹配控制算法的更新速率。为了解决这个问题，我们增加了最后的降采样阶段。

图1. 一种用于测量相电流的∑-∆信号链。

本文假设滤波器和抽取级在FPGA中实现，并且滤波器是一个三阶sinc滤波器(sinc3)

∑-∆ADC和sinc滤波器的缺陷在于很难在同一个时域中进行控制，并且缺少指定的采样时刻。与具备专用的采样保持电路的传统ADC相比，这两种滤波器都有一些令人担忧的地方。不过也有办法解决这个问题。如本节所示，将sinc滤波器与系统的其余部分同步，并在适当的时刻采样相电流至关重要。如果未能正确做到这一点，测量结果将会大幅失真。

sinc滤波器的输出并不代表该时刻∑-∆ADC的输入。相反，输出是过去窗口期间输入的加权平均值。这是由滤波器的脉冲响应造成的。图2a显示了抽取率为5时sinc3的脉冲响应。从图中可以看出，滤波器输出如何成为输入序列的加权和，中间的采样获得较大权重，而序列开始/结束时的采样权重较低。

在继续讨论之前，需要给出几个基本定义。∑-∆ADC时钟，又称为调制器时钟，表示为 f_mod。抽取率(DR)决定抽取频率(f_dec)，并与f_mod关联，如公式1所示：

图2右侧显示了脉冲响应对滤波器阶跃响应的影响。应用该步骤时，滤波器输出不受影响，滤波器在3个完整的抽取周期之后达到稳定状态。因此，sinc3滤波器的一些重要特性可以表述为：

• 群延迟为1.5个抽取周期

• 建立时间为3个抽取周期

在将滤波器与控制系统同步时，这些属性非常重要，本文将始终会用到。

图2.(a)滤波器抽取率为5的sinc滤波器脉冲响应。(b)Sinc滤波器的阶跃响应以及与脉冲响应的关系。

在讨论sinc滤波器同步之前，必须先定义输入信号的特性。这反过来又会定义滤波器的同步特性。

图3显示了由电压源逆变器驱动的3相永磁电机的模拟相电流。调制方式为空间矢量PWM，开关频率为10kHz。将电机加载到5A峰值相电流和3000rpm转速。这种设置加上3个极对数，可以得到6.67ms电气基本周期。

图3. 采用空间矢量脉宽调制时的电机相电流。

相电流可以看作由两个分量组成：平均分量和开关分量。出于控制目的，仅关注电流的平均分量，因此必须完全去除开关分量。要提取平均分量，最常见的方法是对与PWM同步的信号（用于电机终端）进行采样。如图4所示。最上面的信号显示相电流的开关波形，中间的信号显示对应的逆变器相位臂的高端PWM，最下面的信号显示来自PWM定时器的同步信号。PWM同步信号在PWM周期的开始和中间进行置位。为简明起见，假设所有三相的占空比都是50%，意味着电流只有一个上升斜坡和一个下降斜坡。在PWM同步信号的上升沿，电流取其平均值，因此如果恰好在那一刻采样电流，开关分量将被完全抑制。实际上，采样保持电路相当于一个在开关频率上具有无限衰减的滤波器。

图4. 在PWM周期的起始点和中心点处测量相电流会减弱电流纹波。

图5显示了将这种采样应用于图3中所示波形时的结果。右侧所示是实际相电流和采样电流的波形放大图。注意采样保持过程如何完全消除纹波。

图5.理想的相电流采样：(a)理想的采样相电流的基波周期，(b)相电流和采样相电流的波形放大图。

采样电流以每单位表示，其中0A映射到0.5，全比例值为8A。选择这个比例是为了更容易与后面的∑-∆测量值进行比较。图5所示的结果为理想场景，采样后只剩下基波分量。因此，可以将这些数据当做比较∑-∆测量值的基准值。

在理想的采样保持ADC中，由于严格控制采样时刻，所以能够提取基波分量。然而，∑-∆转换是一个连续的采样过程，纹波分量将不可避免地成为测量的一部分。

在∑-∆转换中，抽取率与信噪比(SNR)之间存在密切联系。抽取率越高，输出的有效位数(ENOB)越多。缺点是，随着抽取率增加，群延迟也会增加，因此设计者必须在信号分辨率和反馈链的延迟之间折中考量。一般来说，与控制周期相比，应将延迟保持在较小范围。对于电机控制，典型的抽取率在128到256之间，这可以很好地平衡信噪比和群延迟。

在数据手册规范中，通常使用256作为抽取率。例如，ADuM7701的ENOB为14位，抽取率为256。ENOB值如此高时，预计可以得到非常准确的测量结果。为了验证这一点，假设图3所示的相电流是采用∑-∆ADC在20MHz时测量所得，数据流则由使用256抽取率的sinc3进行解调。结果如图6a所示。

图6. (a)sinc滤波器的输出。(B)实际的相电流和sinc滤波器抽取输出的波形放大图。

相电流的基波分量非常明显，但与图5a所示的理想采样相比，测量信号存在很大的噪声。因此，虽然ADC和sinc滤波器本身提供了不错的ENOB数量，但反馈信号的质量却很差。从图6b可以看出其原因，该图是sinc滤波器输出和实际的相电流的波形放大图。注意相电流的10kHz开关分量是如何发生相移，以及几乎未被sinc滤波器衰减。现在，假设在每个PWM周期执行一次电机控制算法，并在周期开始时读取最新的sinc滤波器输出。实际上，sinc滤波器的输出会向下采样，以匹配控制算法的更新速率。向下采样和得到的信号在图6b中显示为采样sinc输出。图7a显示了按照PWM速率滤波和采样的整个基波周期的结果。

图7. (a)sinc滤波器的采样输出。(b)测量误差。

很明显，相电流测量失真严重，因此控制性能会非常差。如此，应该增加扭矩波纹，并且需要降低电流控制环路的带宽。从理想测量值（图5a）中减去图7a中的测量值，就可以得到误差（图7b）。误差约为原比例信号的7%，与预期的14ENOB相差甚远。

这个∑-∆测量和混叠场景演示了基于∑-∆的非常常见的电流测量模式，以及它是如何引导设计人员得出“∑-∆ADC不适合电机驱动器”这个结论的。但是，这个示例并没有显示出ADC本身的糟糕性能。相反，因为未能正确设置相电流测量值，所以余下信号链的性能欠佳。

ADC在几兆赫（一般为10MHz至20Hz）下对输入信号采样，在抽取率为256时，sinc滤波器有效去除调制噪声。在如此高的采样率下，滤波器输出中存在相电流纹波分量，在信号链的向下采样级，这可能成为一个问题（见图1）。如果纹波分量没有充分衰减，且电机控制算法以PWM速度消耗电流反馈，则结果会因为降采样而产生混叠。

根据标准采样理论，为了避免混叠，信号在一半采样频率以上时必须无能量。如果对∑-∆ADC输出向下采样至10kHz，那么5kHz或更高频率下的噪声将会混叠到测量值中。如图所示，在sinc滤波器之后，信号中还存在大量10kHz开关噪声。降低10kHz噪声的一种方法是增加抽取率，但是这样做会导致不可接受的长时间群延迟。我们需要采用一种不同的方法。

上一节讨论的抗混叠方法的主要问题如图8所示。sinc滤波器的输出在与相电流开关分量无关的某个时刻被读取。输出信号被读取时，滤波器根据脉冲响应对输入信号进行加权平均。这个加权平均值有时跨越开关波形的低点，有时跨越高点。因此，用作反馈的信号含有明显噪声，频率从0Hz到PWM频率的一半。

图8. 脉冲响应与开关波形无关。

∑-∆ADC连续采样，sinc滤波器输出乘以每个PWM周期的测量值（通常10到20）。由于每次测量跨越3个抽取周期，所以脉冲响应会重叠。为了简化起见，图8中仅显示三个测量/脉冲响应。

问题的根源在于：脉冲响应没有锁定为电流的开关分量，而开关分量又被锁定为PWM。解决方案是选择抽取率，使每个PWM周期都有固定的整数抽取周期。例如，如果PWM频率为10kHz，调制器时钟为20MHz，抽取率为200，那么每个PWM周期正好有10个抽取周期。每个PWM周期有固定的采样周期，脉冲响应始 终锁定为PWM，用于反馈的测量值在PWM周期内的同一点被捕获。采用这种同步方案的相电流测量如图9a所示。

图9.(a)脉冲响应锁定采用PWM时，sinc滤波器的采样输出。(b)测量误差。

显然，将响应同步与PWM同步会产生积极的影响。噪声会被消除，且乍一看，测量结果似乎与图5a中的理想测量值相似。但是，用理想测量值减去∑-∆测量值时，就会得出图9b所示的误差信号。误差大小与图7b中所示的值相似，但频谱发生了变化。现在，误差是一阶谐波，相当于增益误差。导致这种错误模式的原因如图10所示。

图10. 脉冲响应被锁定为开关周期内的某个固定点。

虽然消除了白噪声误差分量，但由于测量值受到开关分量的影响，信号仍然是失真的。在图10中，注意sinc滤波器的脉冲响应如何围绕开关波形的峰值给出加权平均值。根据脉冲响应相对于PWM的相位，偏差的大小仅受纹波电流的大小限制。如图3所示，纹波分量的幅值在基波周期内发生变化，基波电流峰值时纹波最高，过零点时纹波最低。因此，测量误差为一阶谐波分量。

为了消除一阶谐波测量误差，脉冲响应必须始终以PWM周期的起始点或中心为中心，此时相电流正好等于其平均值。图11显示了以开关周期的起始点为中心的脉冲响应。在这一点周围，开关波形是对称的，因此，通过在每一边都有相同数量的测量点，纹波分量在这一点周围均为零。

图11. 脉冲响应锁定为开关周期，并对准理想的测量点。

脉冲响应锁定，以平均电流的时刻为中心时，测量结果如图12a所示，测量误差如图12b所示。作为理想的采样测量，该信号不存在白噪声和增益误差。

图12. (a)脉冲响应锁定采用PWM，且以平均电流时刻为中心时，sinc滤波器的采样输出。(b)测量误差。

结果表明，∑-∆测量值的质量不仅仅取决于抽取率。只有在无混叠时，普遍认为“增加抽取率会提高ENOB”的这种观点才是正确的。控制滤波器相对于输入信号的更新率和相位比抽取率更重要。例如，比较图7（基于256的抽取率）和图12（基于200的抽取率）。降低抽取率可显著改善测量结果。

• 三阶sinc滤波器的脉冲响应时间为3个抽取周期，这意味着数据需要3个抽取周期才能通过滤波器。

• 滤波器的脉冲响应必须以平均电流时刻为中心。

• 脉冲响应的1.5个采样周期必须在平均电流时刻之前，另外1.5个采样周期必须在平均电流时刻之后。

• sinc滤波器在PWM周期内产生多个输出，但只使用其中一个输出。其余的输出都被忽略。

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